In mathematics, there is a variety of spurious proofs of obvious contradictions. Although the proofs are flawed, the errors, usually by design, are comparatively subtle. These fallacies are normally regarded as mere curiosities, but can be used to show the importance of rigor in mathematics. Pseudaria, an ancient book of false proofs, is attributed to Euclid. This page is an evaluative and critical listing of some of the more common invalid proofs.

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  • In mathematics, there is a variety of spurious proofs of obvious contradictions. Although the proofs are flawed, the errors, usually by design, are comparatively subtle. These fallacies are normally regarded as mere curiosities, but can be used to show the importance of rigor in mathematics. Pseudaria, an ancient book of false proofs, is attributed to Euclid. This page is an evaluative and critical listing of some of the more common invalid proofs.
  • En matemáticas, hay múltiples demostraciones matemáticas de contradicciones obvias. A pesar de que las demostraciones son erróneas, los errores son sutiles, y la mayor parte de las veces, intencionados. Estas falacias se consideran normalmente meras curiosidades, pero pueden ser usadas para ilustrar la importancia del rigor en esta área. La mayoría de estas demostraciones dependen de variantes del mismo error. El error consisten en usar una función f que no es biyectiva, para observar que f(x) = f(y) para ciertas x e y, concluyendo (erróneamente) que por tanto x = y. La división por cero es un caso particular: la función f es x → x × 0, y el paso erróneo es comenzar con x × 0 = y × 0 y con ello concluir que x = y.
  • Le terme Pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses. Étant donné que toute proposition fausse est équivalente à une autre proposition fausse, n'importe quel résultat faux est équivalent à <math>x \ne y \Rightarrow x = y</math> (un exemple célèbre est celui de Bertrand Russell avec l'égalité 2 + 2 = 5). Nous nous contenterons ici de regarder le cas d'égalités entre nombres, et nous détaillerons différents vices parmi les plus répandus qui conduisent à ces erreurs. Les méthodes proposées dans cet article se veulent en outre les méthodes les plus courantes, les plus instructives, et dans la mesure du possible, les plus directes.
  • In matematica, un sofisma algebrico è una dimostrazione o un ragionamento matematico contenente un errore, che porta quindi ad un risultato errato o contraddittorio. Usualmente questi sofismi sono utilizzati a scopo didattico, per dimostrare l'importanza del rigore nelle dimostrazioni matematiche; per questo motivo, gli errori presentati sono in generale molto sottili e difficili da rilevare (relativamente al pubblico cui sono destinati), ma portano a conclusioni evidentemente erronee. La storia della matematica registra comunque numerosi casi di ragionamenti erronei dovuti a matematici importanti. Di seguito vengono riportati alcuni esempi classici di sofismi algebrici, suddivisi in base alla tipologia dell'errore che viene introdotto.
  • I matematikk er det et utvalg av uekte eller falske bevis av åpenbare motsigelser. Selv om bevisene er feilaktige er feilene, som regel konstruerte, utformet på en finurlig måte. Feiltagelse betraktes vanligvis som kuriositeter men kan brukes til å vise viktigheten av de strenge prinsippene i matematikken.
  • Em matemática, uma prova inválida é uma sequência aparentemente lógica de afirmações que geram uma conclusão absurda. Como uma verdade não pode implicar uma falsidade, conclui-se que deve haver algum passo falso na prova. A maioria dessas provas usa a divisão por zero e a raiz quadrada. Por exemplo, prova-se que 2 + 2 = 5 escrevendo-se (2 + 2 - 5) (2 - 2) = 0, reagrupando-se os termos como (2 + 2) (2 - 2) = 5 (2 - 2) e cancelando o termo (2-2). Ou prova-se que 1 = -1 escrevendo-se <math>(1)^2 = (-1)^2</math> e cancelando o expoente. Não deve ser confundido com o paradoxo, que, em sua maioria, são resultados válidos mas que vão contra a intuição.
  • 在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明。即使其證明是有缺陷的，其錯誤－通常是經過設計的－卻常是較難抓摸的。這些謬論一般都儘止於好奇而已，但可以被使用顯示嚴謹在數學中的重要性。 大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射的函數f，以觀察對某些x和y，會有f(x)=f(y)，來（錯誤地）做出x=y的結論。零除數是此類錯誤的一特例；f為將x映射至x×0的函數，而其錯誤的一步是起於將x×0=y×0的等式做成x=y的結論。相似地，下面證明了5=4的句子也是以函數f(x)=x的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個x和y會使得x=y的一正確申論，然後做出了x=y的一錯誤結論。
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  • In mathematics, there is a variety of spurious proofs of obvious contradictions. Although the proofs are flawed, the errors, usually by design, are comparatively subtle. These fallacies are normally regarded as mere curiosities, but can be used to show the importance of rigor in mathematics. Pseudaria, an ancient book of false proofs, is attributed to Euclid. This page is an evaluative and critical listing of some of the more common invalid proofs.
  • En matemáticas, hay múltiples demostraciones matemáticas de contradicciones obvias. A pesar de que las demostraciones son erróneas, los errores son sutiles, y la mayor parte de las veces, intencionados. Estas falacias se consideran normalmente meras curiosidades, pero pueden ser usadas para ilustrar la importancia del rigor en esta área. La mayoría de estas demostraciones dependen de variantes del mismo error.
  • Le terme Pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses. Étant donné que toute proposition fausse est équivalente à une autre proposition fausse, n'importe quel résultat faux est équivalent à <math>x \ne y \Rightarrow x = y</math> (un exemple célèbre est celui de Bertrand Russell avec l'égalité 2 + 2 = 5).
  • In matematica, un sofisma algebrico è una dimostrazione o un ragionamento matematico contenente un errore, che porta quindi ad un risultato errato o contraddittorio. Usualmente questi sofismi sono utilizzati a scopo didattico, per dimostrare l'importanza del rigore nelle dimostrazioni matematiche; per questo motivo, gli errori presentati sono in generale molto sottili e difficili da rilevare (relativamente al pubblico cui sono destinati), ma portano a conclusioni evidentemente erronee.
  • I matematikk er det et utvalg av uekte eller falske bevis av åpenbare motsigelser. Selv om bevisene er feilaktige er feilene, som regel konstruerte, utformet på en finurlig måte. Feiltagelse betraktes vanligvis som kuriositeter men kan brukes til å vise viktigheten av de strenge prinsippene i matematikken.
  • Em matemática, uma prova inválida é uma sequência aparentemente lógica de afirmações que geram uma conclusão absurda. Como uma verdade não pode implicar uma falsidade, conclui-se que deve haver algum passo falso na prova. A maioria dessas provas usa a divisão por zero e a raiz quadrada. Por exemplo, prova-se que 2 + 2 = 5 escrevendo-se (2 + 2 - 5) (2 - 2) = 0, reagrupando-se os termos como (2 + 2) (2 - 2) = 5 (2 - 2) e cancelando o termo (2-2).
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  • Invalid proof
  • Demostración inválida
  • Pseudo-démonstration d'égalité entre nombres
  • Sofisma algebrico
  • Ugyldige bevis
  • Provas inválidas
  • 無效證明
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