| dbpedia-owl:abstract
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- Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … und enthalten damit alle natürlichen Zahlen sowie deren additive Inverse. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Symbol abgekürzt (das „Z“ steht für das deutsche Wort „Zahlen“). Das alternative Symbol ist mittlerweile weniger verbreitet; ein Nachteil dieses Fettdruck-Symbols ist die schwierige handschriftliche Darstellbarkeit. Die obige Aufzählung der ganzen Zahlen gibt auch gleichzeitig in aufsteigender Folge deren natürliche Anordnung wieder. Die Zahlentheorie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt. Die Repräsentation ganzer Zahlen im Computer erfolgt üblicherweise durch den Datentyp Integer. Die ganzen Zahlen werden im Mathematikunterricht üblicherweise in der fünften bis siebten Klasse eingeführt.
- The integers are formed by the natural numbers including 0 together with the negatives of the non-zero natural numbers (−1, −2, −3, ...). Viewed as a subset of the real numbers, they are numbers that can be written without a fractional or decimal component, and fall within the set {... , −2, −1, 0, 1, 2, ...}. For example, 21, 4, and −2048 are integers; 9.75 and 5½ are not integers. The set of all integers is often denoted by a boldface Z, which stands for Zahlen. The set is the finite set of integers modulo n (for example). The integers (with addition as operation) form the smallest group containing the additive monoid of the natural numbers. Like the natural numbers, the integers form a countably infinite set. In algebraic number theory, these commonly understood integers, embedded in the field of rational numbers, are referred to as rational integers to distinguish them from the more broadly defined algebraic integers (but with "rational" meaning "quotient of integers", this attempt at precision suffers from circularity).
- Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ... ), los negativos de los números naturales (... , −3, −2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 ó −3 (se leen "menos uno", "menos tres", etc. ), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ... ) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo "más" delante de los positivos: +1, +5, etc. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {... , −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ... }, que proviene del alemán Zahlen ("números", pronunciado). Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo: −783 y 154 son números enteros 45,23 y −34/95 no son números enteros Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado. Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos. También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
- Kokonaislukujen joukko voidaan määritellä {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}. Jos lähdetään luonnollisista luvuista, huomataan etteivät kaikki vähennyslaskut (esimerkiksi 2−5) ole mahdollisia luonnollisten lukujen joukon N puitteissa, vaikka yhteenlaskut aina ovat. Kokonaisluvut voidaan täsmällisesti määritellä luonnollisten lukujen erotuksiksi. Näin saaduista objekteista useat voidaan samaistaa; esimerkiksi 0−3 = 2−5. Samaistusehto on esitettävissä pelkän yhteenlaskun avulla: a−b = c−d siinä ja vain siinä tapauksessa että a+d = b+c (vrt. ristiin kertominen). Kokonaislukua a sanotaan positiiviseksi kun a > 0, epänegatiiviseksi kun a ≥ 0 ja negatiiviseksi kun a < 0. Aina, kun a on vähintään b:n suuruinen, niin a−b on luonnollinen luku. Siitä päätellään luonnollisten lukujen olevan osa kokonaislukujen joukkoa Z. Yhteenlaskukin voidaan laajentaa kaikkien kokonaislukujen väliseksi asettamalla (a−b)+(c−d) = (a+c)−(b+d), joka määrittely on selvästi sopusoinnussa sen kanssa, minkä varmasti tiedämme pätevän silloin kun a−b ja c−d ovat luonnollisia lukuja. Määrittelyn tulos ei myöskään riipu siitä, että kyseiset kaksi erotusta samaistetaan joidenkin muiden kanssa. Kokonaislukujen kertolaskukin on määriteltävissä luonnollisten lukujen avulla. Tulos tästä kaikesta on, että kokonaisluvun käsite ja kokonaislukujen laskutoimitukset on voitu melko yksinkertaisin konstruktioin perustaa luonnollisiin lukuihin. Vastaavanlaisella menettelyllä päästäisiin kokonaisluvuista rationaalilukuihin käyttämällä osamääriä, vaikkeivät kokonaislukujen osamäärät aina olekaan kokonaislukuja. Kokonaislukuja on numeroituvasti ääretön määrä.
- I numeri interi (o numeri relativi) sono formati dall'unione dei numeri naturali (0, 1, 2, ... ) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,... ), costruiti ponendo un segno meno davanti ai naturali positivi. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z o, perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero. Gli interi vengono quindi definiti come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di numeri naturali. I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un numero razionale: i matematici esprimono questo fatto dicendo che Z è un anello commutativo ma non un campo.
- 整数（せいすう、Template:Lang-en-short, Template:Lang-de-short, Template:Lang-fr-short）とは、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる自然数 (1, 2, 3, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (−1, −2, −3, …) の総称である。 ファイル:Number-line. gif 整数の全体からなる集合は普通、太字の Z または黒板太字の で表す。これはドイツ語 Template:Lang（「数」の意・複数形）に由来する。 代数的数論ではしばしば「代数体の整数環」の元という意味で代数的整数あるいは「整数」という言葉を用いる。有理数全体の成す体はそれ自身が代数体の最も簡単な例であり、有理数体の代数体としての整数環すなわち、「有理数の中で整なもの」の全体の成す環は、本項でいう意味での整数全体の成す環である。一般の「整数」との区別のためにここでいう意味の整数を有理整数 Template:Lang と呼ぶことがある。
- Een geheel getal is een natuurlijk getal {0, 1, 2, ... } of de negatieve vorm ervan {-1, -2, ... } (-0 is hetzelfde als 0, zodat die er dus niet weer bij wordt genomen). De verzameling van de gehele getallen wordt voorgesteld door, naar het Duitse woord Zahlen (getallen). De verzameling is gesloten onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal. De verzameling is niet gesloten voor deling: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op (bijvoorbeeld 1/2, zie Rationaal getal). Formeel wiskundig kan men de gehele getallen karakteriseren als de kleinste verzameling met de eigenschappen: De elementen van hebben een bepaalde volgorde, maar geen onder- of bovengrens. Strikter geformuleerd: de verzameling wordt totaal geordend door de relatie < (kleiner dan) en bevat in die ordening zowel oneindig stijgende als oneindig dalende ketens. ... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ... Deze orde heeft de eigenschappen: als a < b en c < d dan is a + c < b + d als a < b en 0 < c dan is ac < bc Een belangrijke eigenschap van de gehele getallen is verder de reststelling: Gegeven de gehele getallen a en b, met b verschillend van 0, dan kunnen we altijd twee unieke gehele getallen q en r vinden zodat: a = bq + r met 0 ≤ r < |b|. In bovenstaande stelling noemen we q het quotiënt en r de rest van de deling van a door b. Als in bovenstaande stelling r=0, is de breuk a/b=q, en dus geheel. Als r verschillend is van 0, is de breuk a/b een niet-geheel rationaal getal, met een geheel deel q (de cijfers voor de komma) en een gebroken of fractioneel deel r/b (de cijfers na de komma). De verzameling van de gehele getallen is gelijkmachtig met (heeft "evenveel" elementen als) de verzameling van natuurlijke getallen; beide zijn aftelbaar oneindig, (hebben elementen). Men bewijst dit door de gehele getallen af te tellen in de volgorde: 0,-1,1,-2,2,-3,3, ... , of formeel-wiskundig: de volgende functie f: → beeldt de natuurlijke getallen een-eenduidig (bijectief) af op de gehele getallen: f(2n) = n en f(2n+1)= -(n+1) Het gedeelte van de wiskunde dat zich bezig houdt met de gehele getallen heet getaltheorie.
- Heltall er et tall i mengden {... , -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Mengden av heltall noteres Z eller, og er i matematikken tallet 0 og alle naturlige tall {1, 2, 3, 4, 5... } samt deres negative verdier {-1, -2, -3, -4, -5...}. Heltall er som navnet antyder hele tall, og omfatter altså ikke tall med desimaler. En heltallsdivisjon gir to heltall som svar, kvotient og rest. Mens forholdet 7/3 er lik det rasjonale tallet 2,3333... (desimaltallsdivisjon), vil heltallsdivisjonen 7/3 gi kvotient=2 og rest=1. Kvotienten er forholdet avrundet ned til nærmeste hele tall.
- Liczby całkowite – intuicyjnie definiując są to: liczby naturalne dodatnie oraz liczby przeciwne do nich a także liczba zero. Liczby całkowite są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych i tym samym liczb rzeczywistych, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.
- Os números inteiros são constituídos dos números naturais {0, 1, 2, 3, ... } e de seus simétricos {-1, -2, -3, ...}. Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos. O conjunto de todos os inteiros é denominado por Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos. Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois inteiros são inteiros. Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <. Matemáticos expressam o fato de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros dizendo que (Z, +, *) é um anel comutativo. A ordem de Z é dada por ... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z uma ordenação total sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que zero; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido: se a < b e c < d, então a + c < b + d se a < b e 0 < c, então ac < bc Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável. Os inteiros não formam um corpo, já que, por exemplo, não existe um inteiro x tal que 2x = 1. O menor corpo que contém os inteiros são os números racionais. Uma importante propriedade dos inteiros é a divisão com resto: dados dois inteiros a e b com b ≠ 0, podemos sempre achar inteiros q e r tais que: a = b q + r e tal que 0 <= r < |b|. q é chamado o quociente e r, o resto da divisão de a por b. Os números q e r são unicamente determinados por a e b. Esta divisão torna possível o Algoritmo Euclidiano para calcular o máximo divisor comum, que também mostra que o máximo divisor comum entre dois inteiros pode ser escrito como a soma de múltiplos destes dois inteiros. Tudo isto pode ser resumido dizendo-se que Z é um domínio euclidiano. Isto implica que Z é um domínio de ideal principal e que todo número inteiro podem ser escrito como produto de números primos de forma única (desde que o 1 não seja considerado primo). Este é o teorema fundamental da aritmética. O ramo da matemática que estuda os inteiros é chamado de teoria dos números.
- Heltalen är mängden av alla naturliga tal (0, 1, 2, ... ) och samt motsvarande negativa tal (-1, -2, -3, ...). Mängden av hela tal betecknas med den fetstilta bokstaven Z (ibland), från det tyska ordet för tal, Zahl. Ibland definierar man delmängder av Z: Z,Z och Z. Z är 1, 2, 3, 4, 5 ... Z är 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Z är ... -5, -4, -3, -2, -1 Beroende på definition kan endera Z eller Z vara detsamma som mängden naturliga tal Mängden av hela tal är uppräkneligt oändlig och har kardinaltalet Alef-noll. Den är också en delmängd av mängden av rationella tal som i sin tur är en delmängd av mängden av reella tal som är en delmängd av mängden komplexa tal. När det gäller datorsystem används termen heltal (de hela talen) som distinktion till flyttal eftersom de i datorer hanteras, beräknas och lagras olika.
- Множество целых чисел (от ср. -лат. cifra от араб. صفر «пустой, нуль») —, определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел дает снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида -n и числа нуль. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения. Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель в книге «Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке.
- 自然数（例如1、2、3）、负的自然数（例如−1、−2、−3）与零（0）合起來统称为整数。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示为粗體Z或，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。 在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。
- En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel muni d'un signe positif ou négatif qui indique sa position par rapport à zéro sur un axe orienté. Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s'identifient aux entiers naturels : 0, 1, 2, 3… tandis que les entiers négatifs sont leur opposés : 0, −1, −2, −3… L'entier zéro lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif. Un nombre réel est entier s'il est sans partie fractionnaire, c'est-à-dire si son écriture décimale ne comprend pas de chiffre « après la virgule ». Les entiers relatifs permettent d'exprimer un bilan de variation d'unités (positif pour un gain, négatif pour une perte) ou une position sur un axe orienté discret, par rapport à un point origine. Ils donnent un sens à la différence de deux entiers naturels quelconques. L'ensemble des entiers relatifs est noté « Z », lettre capitale grasse dans les textes dactylographiés, peu à peu supplantée par la graphie manuscrite avec une double barre oblique : « ». La présence d'un astérisque en exposant (« Z* ») désigne en général l'ensemble des entiers relatifs non nuls, même si cette notation est utilisée parfois pour l'ensemble des éléments inversibles, c'est-à-dire la paire d'entiers {−1; 1}. La notation « Z » désigne l'ensemble des entiers négatifs. Il est plus rare de trouver la notation « Z », remplacée par la notation « N » des entiers naturels par identification. Cet ensemble est ordonné pour la relation de comparaison usuelle héritée des entiers naturels. Il est aussi muni des opérations d'addition et de multiplication qui fondent la notion d'anneau en algèbre. Les entiers relatifs sont parfois appelés entiers rationnels, suivant la dénomination rational integer en anglais, et comme cas particuliers d'entiers algébriques sur le corps de nombres des rationnels. On trouve cette appellation chez Nicolas Bourbakiet certains mathématiciens s'inscrivant dans le mouvement des mathématiques modernes, parmi lesquels Georges Papy.
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- 整数（せいすう、Template:Lang-en-short, Template:Lang-de-short, Template:Lang-fr-short）とは、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる自然数 (1, 2, 3, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (−1, −2, −3, …) の総称である。 ファイル:Number-line. gif 整数の全体からなる集合は普通、太字の Z または黒板太字の で表す。これはドイツ語 Template:Lang（「数」の意・複数形）に由来する。 代数的数論ではしばしば「代数体の整数環」の元という意味で代数的整数あるいは「整数」という言葉を用いる。有理数全体の成す体はそれ自身が代数体の最も簡単な例であり、有理数体の代数体としての整数環すなわち、「有理数の中で整なもの」の全体の成す環は、本項でいう意味での整数全体の成す環である。一般の「整数」との区別のためにここでいう意味の整数を有理整数 Template:Lang と呼ぶことがある。
- Liczby całkowite – intuicyjnie definiując są to: liczby naturalne dodatnie oraz liczby przeciwne do nich a także liczba zero. Liczby całkowite są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych i tym samym liczb rzeczywistych, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.
- 自然数（例如1、2、3）、负的自然数（例如−1、−2、−3）与零（0）合起來统称为整数。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示为粗體Z或，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。 在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。
- Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … und enthalten damit alle natürlichen Zahlen sowie deren additive Inverse. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Symbol abgekürzt (das „Z“ steht für das deutsche Wort „Zahlen“). Das alternative Symbol ist mittlerweile weniger verbreitet; ein Nachteil dieses Fettdruck-Symbols ist die schwierige handschriftliche Darstellbarkeit.
- The integers are formed by the natural numbers including 0 together with the negatives of the non-zero natural numbers (−1, −2, −3, ...). Viewed as a subset of the real numbers, they are numbers that can be written without a fractional or decimal component, and fall within the set {... , −2, −1, 0, 1, 2, ...}. For example, 21, 4, and −2048 are integers; 9.75 and 5½ are not integers.
- Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ... ), los negativos de los números naturales (... , −3, −2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 ó −3 (se leen "menos uno", "menos tres", etc. ), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ... ) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo "más" delante de los positivos: +1, +5, etc.
- Kokonaislukujen joukko voidaan määritellä {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}. Jos lähdetään luonnollisista luvuista, huomataan etteivät kaikki vähennyslaskut (esimerkiksi 2−5) ole mahdollisia luonnollisten lukujen joukon N puitteissa, vaikka yhteenlaskut aina ovat. Kokonaisluvut voidaan täsmällisesti määritellä luonnollisten lukujen erotuksiksi. Näin saaduista objekteista useat voidaan samaistaa; esimerkiksi 0−3 = 2−5.
- I numeri interi (o numeri relativi) sono formati dall'unione dei numeri naturali (0, 1, 2, ... ) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,... ), costruiti ponendo un segno meno davanti ai naturali positivi. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z o, perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero. Gli interi vengono quindi definiti come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di numeri naturali.
- Een geheel getal is een natuurlijk getal {0, 1, 2, ... } of de negatieve vorm ervan {-1, -2, ... } (-0 is hetzelfde als 0, zodat die er dus niet weer bij wordt genomen). De verzameling van de gehele getallen wordt voorgesteld door, naar het Duitse woord Zahlen (getallen). De verzameling is gesloten onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal.
- Heltall er et tall i mengden {... , -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Mengden av heltall noteres Z eller, og er i matematikken tallet 0 og alle naturlige tall {1, 2, 3, 4, 5... } samt deres negative verdier {-1, -2, -3, -4, -5...}. Heltall er som navnet antyder hele tall, og omfatter altså ikke tall med desimaler. En heltallsdivisjon gir to heltall som svar, kvotient og rest. Mens forholdet 7/3 er lik det rasjonale tallet 2,3333...
- Os números inteiros são constituídos dos números naturais {0, 1, 2, 3, ... } e de seus simétricos {-1, -2, -3, ...}. Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos. O conjunto de todos os inteiros é denominado por Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.
- Множество целых чисел (от ср. -лат. cifra от араб. صفر «пустой, нуль») —, определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел дает снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида -n и числа нуль. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое.
- Heltalen är mängden av alla naturliga tal (0, 1, 2, ... ) och samt motsvarande negativa tal (-1, -2, -3, ...). Mängden av hela tal betecknas med den fetstilta bokstaven Z (ibland), från det tyska ordet för tal, Zahl. Ibland definierar man delmängder av Z: Z,Z och Z. Z är 1, 2, 3, 4, 5 ... Z är 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Z är ...
- En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel muni d'un signe positif ou négatif qui indique sa position par rapport à zéro sur un axe orienté. Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s'identifient aux entiers naturels : 0, 1, 2, 3… tandis que les entiers négatifs sont leur opposés : 0, −1, −2, −3… L'entier zéro lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif.
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