| dbpprop:abstract
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- In mathematics, a proof by infinite descent is a particular kind of proof by contradiction which relies on the fact that the natural numbers are well ordered. One typical application is to show that a given equation has no solutions. Assuming a solution exists, one shows that another exists, that is in some sense 'smaller'. Then one must show, usually with greater ease, that the infinite descent implied by having a whole sequence of solutions that are ever smaller, by our chosen measure, is an impossibility. This is a contradiction, so no such initial solution can exist. This illustrative description can be restated in terms of a minimal counterexample, giving a more common type of formulation of an induction proof. We suppose a 'smallest' solution - then derive a smaller one. That again is a contradiction. The method can be seen at work in one of the proofs of the irrationality of the square root of two. It was developed by and much used for Diophantine equations by Fermat. Two typical examples are solving the diophantine equation <math>x^4+y^4=z^2</math> and proving a prime p ≡ 1 (mod 4) can be expressed as a sum of two squares. In some cases, to a modern eye, what he was using was (in effect) the doubling mapping on an elliptic curve. More precisely, his method of infinite descent was an exploitation in particular of the possibility of halving rational points on an elliptic curve E by inversion of the doubling formulae. The context is of a hypothetical rational point on E with large co-ordinates. Doubling a point on E roughly doubles the length of the numbers required to write it (as number of digits): so that a 'halved' point is quite clearly smaller. In this way Fermat was able to show the non-existence of solutions in many cases of Diophantine equations of classical interest (for example, the problem of four perfect squares in arithmetic progression).
- El mètode de descens infinit és un argument matemàtic relacionat amb la demostració per inducció, i també amb la reducció a l'absurd. Utilitza el fet que una successió de nombres naturals estrictament decreixent és necessàriament finita. Aquest mètode descansa sobre un dels axiomes dels nombres naturals : tot conjunt no buit de nombres naturals té un element que és el més petit de tots. Per tant, per demostrar que els enters no posseeixen una propietat n'hi ha prou en demostrar que si existís algun enter que la tingués llavors se'n podria trobar un altre estrictament més petit que també la tindria.
- En matemáticas y en teoría de la demostración, se conoce como descenso infinito al método de demostración introducido por el matemático Pierre de Fermat en el siglo XVII, esta técnica se utiliza para demostrar afirmaciones del tipo no (P) para cada n dentro del conjunto de los números naturales o dentro de un subconjunto de este, se vale del principio del buen ordenamiento de los números naturales, el cual afirma que, todo subconjunto del conjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo, ergo, el método de descenso infinito consiste en afirmar lo siguiente: Si existe un n tal que P (n) sea verdadera, entonces, existe un elemento mínimo x dentro de N tal que P (x) es verdadera, luego demostrar que no es así definiendo una y a partir de x tal que y sea un número natural (según la estructura que nos provee la aseveración) y además que se tenga y < x, luego que la prueba de lugar a que se puede hacer lo mismo con y (definir una z de manera análoga a lo antedicho), etc. , lo cual esto deja en una condición de descenso infinito, por ende, se demuestra que no existe tal x, entonces, como el principio del buen ordenamiento es una condición necesaria en el conjunto de las supuestas n que hacen a P (n) verdadera y como el descenso infinito prueba que el principio del buen ordenamiento falla, se concluye que no existe n que satisfaga la proposición P.
- La méthode de descente infinie est un argument mathématique voisin de la démonstration par récurrence, mais aussi de la démonstration par l'absurde, qui utilise le fait qu'une suite d'entiers naturels strictement décroissante est nécessairement finie. Cette méthode repose sur l'un des axiomes des entiers naturels : tout ensemble non vide d'entiers naturels possède un plus petit élément.
- La discesa infinita è un tipo di dimostrazione matematica per assurdo, usata soprattutto in teoria dei numeri, applicabile nel caso di teoremi validi solo per gli interi positivi. È una variante della dimostrazione per induzione. {{matematica voce|Teorema|Principio della discesa infinita| Sia <math>\{a_n\}\in\mathbb{N}</math> una successione di numeri naturali debolmente decrescente. Allora <math>a_n</math> è costante da un certo punto in poi. Applicando questo metodo, se si vuole dimostrare che una proposizione è falsa, si suppone che essa sia valida per un certo n; se si riesce a dimostrare che questo implica che essa sia valida anche per un altro intero m minore di n abbiamo completato la nostra dimostrazione: ripetendo infatti il ragionamento, esisterebbe un terzo numero p minore di m per cui vale ancora la proposizione; iterando questo ragionamento si ottiene che esistono infiniti numeri interi positivi minori di n che la verificano. Questo è assurdo, e quindi la proposizione è falsa. Un altro modo per vedere la dimostrazione è pensare che se esistono alcuni numeri n che hanno una proprietà ci deve essere il minore. Ma il fatto che, una volta preso il minore, se ne possa trovare uno più piccolo contraddice la nostra ipotesi. Questo tipo di dimostrazione fu inventato da Pierre Fermat attorno al 1630, e fu da lui usata per dimostrare un caso particolare dell'ultimo teorema di Fermat, per n =4.
- 無限降下法（むげんこうかほう、英：Infinite descent）とは、数学の証明方法の一種。
- 无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设X为最小的解。 从X推出一个更小的解Y。 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。
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- In mathematics, a proof by infinite descent is a particular kind of proof by contradiction which relies on the fact that the natural numbers are well ordered. One typical application is to show that a given equation has no solutions. Assuming a solution exists, one shows that another exists, that is in some sense 'smaller'.
- El mètode de descens infinit és un argument matemàtic relacionat amb la demostració per inducció, i també amb la reducció a l'absurd. Utilitza el fet que una successió de nombres naturals estrictament decreixent és necessàriament finita. Aquest mètode descansa sobre un dels axiomes dels nombres naturals : tot conjunt no buit de nombres naturals té un element que és el més petit de tots.
- La méthode de descente infinie est un argument mathématique voisin de la démonstration par récurrence, mais aussi de la démonstration par l'absurde, qui utilise le fait qu'une suite d'entiers naturels strictement décroissante est nécessairement finie. Cette méthode repose sur l'un des axiomes des entiers naturels : tout ensemble non vide d'entiers naturels possède un plus petit élément.
- La discesa infinita è un tipo di dimostrazione matematica per assurdo, usata soprattutto in teoria dei numeri, applicabile nel caso di teoremi validi solo per gli interi positivi. È una variante della dimostrazione per induzione. {{matematica voce|Teorema|Principio della discesa infinita| Sia <math>\{a_n\}\in\mathbb{N}</math> una successione di numeri naturali debolmente decrescente. Allora <math>a_n</math> è costante da un certo punto in poi.
- 無限降下法（むげんこうかほう、英：Infinite descent）とは、数学の証明方法の一種。
- 无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设X为最小的解。 从X推出一个更小的解Y。 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。
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