| dbpprop:abstract
|
- The term hypercomplex number has been used in mathematics for the elements of algebras that extend or go beyond complex number arithmetic. Hypercomplex numbers have had a long lineage of devotees including Hermann Hankel, Georg Frobenius, Eduard Study, and Élie Cartan. Study of particular hypercomplex systems leads to their representation with linear algebra. This article gives an overview of the key systems, including some not originally considered by the pioneers before modern insight from linear algebra. The most common use of the term hypercomplex number refers to algebraic systems with dimensionality (axes), as contained in the following list. For others see also under number. Despite their different algebraic properties, it is noted that none of these extensions form a field, because the field of complex numbers is algebraically closed — see fundamental theorem of algebra.
- Hyperkomplexe Zahlen sind Verallgemeinerungen der komplexen Zahlen. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen als algebraische Struktur betrachtet. Manchmal werden auch die Quaternionen als die hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.
- En matemàtica, els nombres hipercomplexos són una extensió dels nombres complexos construïts mitjançant eines de l'àlgebra abstracta, tals com quaternions, octonions, ...
- V matematice se pojmem hyperkomplexní čísla označují určité rozšíření komplexních čísel. Formálně lze hyperkomplexní čísla zavést např. jako distributivní čísla s jednou reálnou a n imaginárními osami. Takto matematicky hyperkomplexní čísla definují např. Kantor a Solodovnikov – jako unitální a distributivní číselné systémy, které obsahují aspoň jednu imaginární osu a jsou uzavřené vzhledem k operacím sčítání a násobení. Prvky jsou generovány s pomocí reálných koeficientů <math>(a_0,~... , a_n)</math> a bázového systému <math>\{ 1,~i_1, ... , i_n \} </math> (<math>n \in \{ 1, 2, 3... \}</math>). Koeficienty splňují distributivní, asociativní a komutativní zákon vzhledem k reálné (1) a imaginárním (<math>~i_n</math>) osám báze. Jsou možné tři typy <math>~i_n</math>, pro které platí: <math>i_n^2 \in \{ -1, 0, +1 \}</math>. Hyperkomplexní čísla tvoří určitou konečně-rozměrnou algebru nad reálnými čísly. Čistě formálně lze zavést řadu typů "hyperkomplexních čísel". Z fyzikálního hlediska se však jako "dobré" či "přirozené" ukazuje jen rozšíření pojmu komplexního čísla o dva další typy čísel, a to kvaterniony (dimenze 4) nebo oktoniony (dimenze 8). Zatímco pro násobení komplexních čísel platí komutativní i asociativní zákon, pro násobení kvaternionů neplatí zákon komutativní, a pro násobení oktonionů neplatí ani komutativní, ani asociativní zákon. Je překvapivé, že více „přirozených“ hyperkomplexních čísel de facto neexistuje. Souvisí to s faktem, že existují pouze čtyři normované algebry s dělením: reálná čísla, komplexní čísla, kvaterniony a oktoniony. Např. tzv. sedeniony (dimenze 16) již nejsou normovanou algebrou s dělením. Skutečnost, že existuje tak málo „přirozených“ typů hyperkomplexních čísel, má hluboké matematická a fyzikální důsledky. Např. vektorový součin, dobře známý pro dimenzi 3, existuje již jen pro dimenzi 7. Podobně konformní zobrazení, dobře známé z teorie komplexních čísel, lze v jistém dobrém smyslu zobecnit jen pro kvaterniony (dimenzi 4) a oktoniony (dimenzi 8). Právě čtyři Hurwitzovy algebry mají úzký vztah k Lieovým grupám (a jimi popsaným) spojitým symetriím, které jsou pro fyziku zásadní. Často bývá zjednodušeně usuzováno, že zatímco na komplexní čísla lze nahlížet jako na body (vektory) v rovině, na hyperkomplexní čísla se lze obecně dívat jako na body (vektory) v nějakém vícerozměrném Euklidovském prostoru (dimenze 4 pro kvaterniony, dimenze 8 pro oktoniony). Ve skutečnosti je však mezi prvky Euklidovského prostoru a hyperkomplexními čísly též určitý principiální rozdíl. Zatímco mezi vektory požadovaná operace dělení vůbec neexistuje, pro kvaterniony a oktoniony je operace dělení definována a má navíc algebraickou strukturu grupy. Kvaterniony a oktoniony (jako všechny čtyři Hurwitzovy algebry) mají tedy strukturu grupy vůči součtu i násobení svých prvků. Určité podcenění rozdílu mezi kvaterniony a čtyřvektory již mělo četné fyzikální dopady. Např. je známo, že původní Maxwellova teorie elektromagnetického pole byla formulována v kvaternionické podobě. V této podobě je speciálně relativistická invariance i existence spinu v teorii již bezprostředně přítomná a zjevná. Speciální relativita i spin tak mohly být objeveny o několik desetiletí dříve. Přepsání této kvaternionické teorie do „vektorové“ podoby, které po Maxwellově smrti provedli Gibbs a Heaviside, nemělo tedy jen příznivé důsledky.
- En matemática, los números hipercomplejos son una extensión de los números complejos construidos mediante herramientas del álgebra abstracta, tales como cuaterniones, tessarines, cocuaterniones, octoniones, bicuaterniones y sedeniones.
- En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l'arithmétique des nombres complexes. Les nombres hypercomplexes ont eu un grand nombre de partisans incluant Hermann Hankel, Georg Frobenius, Eduard Study et Elie Cartan. L'étude des systèmes hypercomplexes particuliers conduit à leur représentation avec l'algèbre linéaire. Cet article donne une vue d'ensemble des différents systèmes, incluant certains types qui n'ont pas été considérés par les pionniers avant la perception moderne issue de l'algèbre linéaire. Pour les détails, les références et les sources, suivre le lien associé au nombre particulier.
- In matematica i numeri ipercomplessi sono un'estensione dei numeri complessi costruiti usando l'algebra astratta sui quaternioni, ottetti e i sedenioni.
- liczby hiperzespolone – w matematyce rozszerzenia liczb zespolonych skonstruowane za pomocą metod algebry. Najbardziej znanymi są kwaterniony, tessariny, kokwaterniony, oktoniony, bikwaterniony i sedeniony.
- Em matemática, números hipercomplexos são extensões dos números complexos construídos por meios da álgebra abstrata, tal como os quaterniões, coquaterniões, tessarinos, coquaternions, octoniões, split-octoniões, biquaternions e sedeniões. A forma geral de um número hipercomplexo é dada por: <math>a_0 + a_1 \cdot i_1 + a_2 \cdot i_2 + ... + a_n \cdot i_n (1)</math> onde n é um inteiro determinado e <math>a_0, a_1, a_2, ... , a_n</math> são números reais arbitrários e <math>i_0, i_1, i_2, ... , i_n</math> são tais que <math>a_0 + a_1 \cdot i_1 + a_2 \cdot i_2 + ... + a_n \cdot i_n = b_0 + b_1 \cdot i_1 + b_2 \cdot i_2 + ... + b_n \cdot i_n</math> se e somente se: <math>a_0=b_0 a_1=b_1 a_2=b_2 ... a_n=b_n\,\!</math> A equação na forma (1) é chamada de número complexo de n-ésima ordem. Cada multiplicação de duas bases "ia" e "ib" é necessariamente um elemento do conjunto do número hipercomplexo que está sendo definido. Em outras palavras, dados dois números inteiros (de 1 a n) a e b, e números reais p0 até <math>pn</math>, podemos definir uma multiplicação tal que: <math>i_a \cdot i_b = p_0 + p_1 \cdot i_1 + p_2 \cdot i_2 + ... + p_n \cdot i_n</math> Logo, para números hipercomplexos de n-ésima ordem, <math>n \cdot n \cdot (n+1)</math>, números de tais constantes devem ser definidas para se determinar a forma algébrica. .
- Numerele hipercomplexe sunt obţinute prin generalizarea construcţiei numerelor complexe pornind de la numerele reale. Ele formează algebre reale în care numărul de dimensiuni este o putere a lui 2 : cuaternioni : patru dimensiuni octonioni : opt dimensiuni sedenioni : şaisprezece dimensiuni
- В математике гиперко́мпле́ксные числа — различные расширения вещественных чисел, подобные комплексным числам.
- Hyperkomplexa tal är utvidgningar av de komplexa talen, så som kvaternioner, oktonioner och sedenioner. Liksom komplexa tal kan ses som punkter i ett plan, kan hyperkomplexa tal ses som punkter i Euklidiska rum med högre dimensioner (4 dimensioner för kvaternioner, 8 för oktonioner och 16 för sedenioner). Mer precist uttryckt bildar de n-dimensionella algebror på de reella talen. Inga av dessa utvidgningar bildar emellertid någon talkropp, eftersom en kropp av komplexa tal är algebraiskt sluten – se algebrans fundamentalsats. Kvaternioner, oktonioner och sedenioner genereras av Cayley-Dicksons konstruktion. Ett annan exempel på hyperkomplexa tal är Cliffordalgebra.
- Гіперко́мплексні чи́сла - математичні об'єкти, що будуються внаслідок подальшого узагальнення поняття про число після комплексних чисел. Часто під гіперкомплексною системою (тобто системою, елементи якої вважаються гіперкомплексними числами) розуміють будь-яку скінченновимірну алгебру над полем. При цьому часто накладають іще додаткову умову, щоб це була алгебра над полем дійсних або комплексних чисел; у першому випадку кажуть про «дійсну» гіперкомплексну систему, у другому — про «комплексну». Іноді не вимагають скінченновимірності. Іноді додатково вимагають, щоб система дійсних чисел була підалгеброю даної системи або щоб дана система містила одиничний елемент.
- 超複數是複數在抽象代數中的引申,以高維度呈現。例如: 4維度的 四元數,tessarines,coquaternions 8維度的 八元數,biquaternions 16維度的 十六元數 普遍格式: <math> x = \sum_{k=0}^N a_k x_k </math> <math> x_0 = 1, a_k \in \mathbb{R} </math>
|
| rdfs:comment
|
- The term hypercomplex number has been used in mathematics for the elements of algebras that extend or go beyond complex number arithmetic. Hypercomplex numbers have had a long lineage of devotees including Hermann Hankel, Georg Frobenius, Eduard Study, and Élie Cartan. Study of particular hypercomplex systems leads to their representation with linear algebra.
- Hyperkomplexe Zahlen sind Verallgemeinerungen der komplexen Zahlen. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen als algebraische Struktur betrachtet. Manchmal werden auch die Quaternionen als die hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.
- En matemàtica, els nombres hipercomplexos són una extensió dels nombres complexos construïts mitjançant eines de l'àlgebra abstracta, tals com quaternions, octonions, ...
- V matematice se pojmem hyperkomplexní čísla označují určité rozšíření komplexních čísel. Formálně lze hyperkomplexní čísla zavést např. jako distributivní čísla s jednou reálnou a n imaginárními osami. Takto matematicky hyperkomplexní čísla definují např. Kantor a Solodovnikov – jako unitální a distributivní číselné systémy, které obsahují aspoň jednu imaginární osu a jsou uzavřené vzhledem k operacím sčítání a násobení.
- En matemática, los números hipercomplejos son una extensión de los números complejos construidos mediante herramientas del álgebra abstracta, tales como cuaterniones, tessarines, cocuaterniones, octoniones, bicuaterniones y sedeniones.
- En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l'arithmétique des nombres complexes. Les nombres hypercomplexes ont eu un grand nombre de partisans incluant Hermann Hankel, Georg Frobenius, Eduard Study et Elie Cartan. L'étude des systèmes hypercomplexes particuliers conduit à leur représentation avec l'algèbre linéaire.
- In matematica i numeri ipercomplessi sono un'estensione dei numeri complessi costruiti usando l'algebra astratta sui quaternioni, ottetti e i sedenioni.
- liczby hiperzespolone – w matematyce rozszerzenia liczb zespolonych skonstruowane za pomocą metod algebry. Najbardziej znanymi są kwaterniony, tessariny, kokwaterniony, oktoniony, bikwaterniony i sedeniony.
- Em matemática, números hipercomplexos são extensões dos números complexos construídos por meios da álgebra abstrata, tal como os quaterniões, coquaterniões, tessarinos, coquaternions, octoniões, split-octoniões, biquaternions e sedeniões. A forma geral de um número hipercomplexo é dada por: <math>a_0 + a_1 \cdot i_1 + a_2 \cdot i_2 + ... + a_n \cdot i_n (1)</math> onde n é um inteiro determinado e <math>a_0, a_1, a_2, ...
- Numerele hipercomplexe sunt obţinute prin generalizarea construcţiei numerelor complexe pornind de la numerele reale. Ele formează algebre reale în care numărul de dimensiuni este o putere a lui 2 : cuaternioni : patru dimensiuni octonioni : opt dimensiuni sedenioni : şaisprezece dimensiuni
- В математике гиперко́мпле́ксные числа — различные расширения вещественных чисел, подобные комплексным числам.
- Hyperkomplexa tal är utvidgningar av de komplexa talen, så som kvaternioner, oktonioner och sedenioner. Liksom komplexa tal kan ses som punkter i ett plan, kan hyperkomplexa tal ses som punkter i Euklidiska rum med högre dimensioner (4 dimensioner för kvaternioner, 8 för oktonioner och 16 för sedenioner). Mer precist uttryckt bildar de n-dimensionella algebror på de reella talen.
- Гіперко́мплексні чи́сла - математичні об'єкти, що будуються внаслідок подальшого узагальнення поняття про число після комплексних чисел.
- 超複數是複數在抽象代數中的引申,以高維度呈現。例如: 4維度的 四元數,tessarines,coquaternions 8維度的 八元數,biquaternions 16維度的 十六元數 普遍格式: <math> x = \sum_{k=0}^N a_k x_k </math> <math> x_0 = 1, a_k \in \mathbb{R} </math>
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
