| dbpedia-owl:abstract
|
- Die hyperbolische Geometrie als Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie erhält man, wenn man anstelle des Parallelenaxioms eine seiner Verneinungen, das „hyperbolische Axiom“ annimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur einen gemeinsamen Punkt P). Es lässt sich zeigen, dass es dann durch den Punkt unendlich viele Nichtschneidende („Parallelen“) zu der Geraden gibt. Zwei davon sind in einer Grenzlage und heißen grenzparallel zur Geraden, während die restlichen Geraden überparallel genannt werden.
- In mathematics, hyperbolic geometry is a non-Euclidean geometry, meaning that the parallel postulate of Euclidean geometry is replaced. The parallel postulate in Euclidean geometry is equivalent to the statement that, in two dimensional space, for any given line R and point P not on R, there is exactly one line through P that does not intersect R; i.e. , that is parallel to R. In hyperbolic geometry there are at least two distinct lines through P which do not intersect R, so the parallel postulate is false. Models have been constructed within Euclidean geometry that obey the axioms of hyperbolic geometry, thus proving that the parallel postulate is independent of the other postulates of Euclid. Because there is no precise hyperbolic analogue to Euclidean parallel lines, the hyperbolic use of parallel and related terms varies among writers. In this article, the two limiting lines are called asymptotic and lines sharing a common perpendicular are called ultraparallel; the simple word parallel may apply to both. A characteristic property of hyperbolic geometry is that the angles of a triangle add to less than a straight angle. In the limit as the vertices go to infinity, there are even ideal hyperbolic triangles in which all three angles are 0°.
- La geometría hiperbólica (o lobachevskiana) es un modelo de geometría que satisface sólo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría euclideana y la geometría elíptica, la geometría hiperbólica es un modelo de curvatura constante: La geometría euclideana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.
- Hyperbolinen geometria käsittelee kaksiulotteista, negatiivisesti kaarevaa pintaa. Pinta muistuttaa muodoltaan hieman satulaa, ja joskus puhutaankin tässä yhteydessä satulapinnasta. Hyperbolisen geometrian "vastakohdan" voidaan monien ominaisuuksien puolesta ajatella olevan pallo- eli elliptisen geometrian, euklidisen geometrian jääden rajatapauksena näiden kahden väliin. Hyperbolinen geometria eroaa perinteisestä, euklidisesta, ääretöntä, tasaista tasoa käsittelevästä geometriasta monin tavoin. Muun muassa kolmion kulmien summa on aina vähemmän kuin 180 astetta, ja suoralle voidaan yksittäisen pisteen läpi piirtää ääretön määrä sille yhdensuuntaisia suoria.
- La geometria iperbolica, anche chiamata geometria della sella o geometria di Lobachevskij, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico. La geometria iperbolica è stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia ha creduto essere inconsistente, e più tardi da Bolyai, Gauss e Lobachevsky, con il nome di geometria astrale. A 150 anni dalla sua nascita, la geometria iperbolica è ancora un argomento centrale della matematica, ravvivato alla fine degli anni settanta dalle scoperte di William Thurston.
- 双曲幾何学（そうきょくきかがく、Template:Lang-en-short）またはボヤイ・ロバチェフスキー幾何学 とは、まっすぐな空間（ユークリッド空間、放物幾何的空間）ではなく、負の曲率を持つ曲がった空間における幾何学である。ユーグリッド幾何学の検証ということでサッケリーなども幾つかの定理を導いているが、完全で矛盾のない公理系を持つユークリッド幾何学ではない新しい幾何学と認識してまとめたのは同時期にそれぞれ独立に発表したロバチェフスキー（1829年発表）、ボヤイ（1832年発表）、およびガウス（発表せず）らの功績である。 ユークリッドのユークリッド原論の5番目の公準（任意の直線上にない一点を通る平行な直線がただ一本存在すること、 平行線公準）、それを否定する公理を付け加え、その新たな平行線公理と無矛盾な体系として得られる幾何学である非ユークリッド幾何学の一つである。双曲幾何学の場合には、「ある直線 L とその直線の外にある点 p が与えられたとき、p を通り L に平行な直線は無限に存在する」という公理に支えられて構成される。 双曲幾何学では、ユークリッド原論の平行線の公準以外の公理公準はすべて成立する。これは平行線の公準が独立した公準であり、ほかの公準からは証明できないということである。なぜならば他の公準から証明できるとすればその他の全ての公準が成り立つ双曲幾何学でも平行線の公準が成り立つはずだからである。この幾何学は、もともと平行線の公準をユークリッド原論のほかの公準から証明しようとして作られた幾何学だが、皮肉なことにこの幾何学により平行線の公準は独立でほかの公準からは証明できないことが証明された。 例えば、平面においては任意の直線にその直線上にない一点を通る平行線は一本しかないが、無限に開き続ける漏斗のようなものにおいては、任意の直線にその直線上にない一点を通る平行線は無限に存在することになる。 このような面はベルトラミーの擬球面と呼ばれ、双曲幾何学の成立する面（双曲平面）の一種である。また、ベルトラミーの擬球面などの双曲平面は、双曲幾何学が完成した後に発見された。
- In de wiskunde is de hyperbolische meetkunde een niet-Euclidische meetkunde. In de hyperbolische meetkunde vervangt men het parallellenpostulaat uit de Euclidische meetkunde. Het parallellenpostulaat is in de Euclidische meetkunde equivalent met de bewering dat, in de twee dimensionale ruimte, voor elke gegeven lijn l en een punt P, die niet op l ligt, er precies één lijn door P loopt, die l niet kruist, dat wil zeggen parallel aan l loopt. In de hyperbolische meetkunde zijn er ten minste twee verschillende lijnen door P die l niet snijden, dus is het parallellenpostulaat in de hyperbolische meetkunde onjuist. Binnen de Euclidische meetkunde zijn modellen gebouwd die gehoorzamen aan de axioma's van de hyperbolische meetkunde, en die zo bewezen dat het parallellenpostulaat onafhankelijk is van de andere postulaten van Euclides. Aangezien er geen precies hyperbolisch analogon voor Euclidische parallelle lijnen bestaat, varieert de hyperbolische betekenis van parallel en verwante termen tussen de diverse auteurs. In dit artikel worden de begrenzende lijnen asymptotisch genoemd en worden lijnen die een gemeenschappelijke loodlijn delen ultraparallel genoemd; het woord parallel kan op beide situaties van toepassing zijn.
- Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych.
- A geometria hiperbólica é uma geometria não euclidiana que não possui o postulado das paralelas, possuindo em seu lugar o postulado de Lobachevsky. Foi desenvolvida por Nikolai Ivanovich Lobachevsky. Com esta geometria, comprova-se que o postulado das paralelas é independente dos outros postulados de Euclides.
- Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит одна и только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её. В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются. Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще.
- 双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例，专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何倒底还有几多可以适用，以及会有甚麼特別的现象產生。在双曲几何的环境裡，平面的曲率是負数。
- I matematiska termer är hyperbolisk geometri en icke-euklidisk geometri. Termen ”hyperbolisk geometri” introducerades av Felix Klein år 1871. Två hyperboliska linjer definieras som parallella om dessa är disjunkta, vilket betyder att dessa inte har några gemensamma punkter. Det femte axiomet i euklidisk geometri är parallellaxiomet och detta axiom är mycket omtalat i och med det inte är lika enkelt att formulera samt att innebörden inte är lika självklar. Euklides försökte bevisa parallellaxiomet ur de fyra första axiomen utan resultat. De fyra första postulaten i Euklides elementa är: En rät linje ska kunna dras från en punkt till en annan. En rät linje som är begränsad ska kunna förlängas obegränsat. En cirkel ska kunna beskrivas kring varje på varje punkt som har en given radie. Alla räta vinklar är lika med varandra
- En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée parfois géométrie de Lobatchevski) est une géométrie non-euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats de la géométrie euclidienne, mais pour laquelle le postulat euclidien des parallèles est remplacé par le postulat que « par un point extérieur à une droite passe plus d'une droite parallèle ». On démontre qu'alors il y a une infinité de droites parallèles. En géométrie hyperbolique, le théorème de Pythagore n'est plus valable et la somme des angles d'un triangle n'est plus égale à 180°. Une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Lobatchevski, Klein et Poincaré ont créé des modèles de géométrie non euclidienne dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point. On peut citer, en deux dimensions : le disque de Poincaré, le demi-plan de Poincaré, ... LineOnHyper. svg Il existe une infinité de droites qui, comme d1, d2 et d3, passent par le point M et sont parallèles à la droite D (représentation de Lobatchevski) Geometrie-Hyperbolique-Paralleles. svg (représentation de Poincaré)
|
| rdfs:comment
|
- 双曲幾何学（そうきょくきかがく、Template:Lang-en-short）またはボヤイ・ロバチェフスキー幾何学 とは、まっすぐな空間（ユークリッド空間、放物幾何的空間）ではなく、負の曲率を持つ曲がった空間における幾何学である。ユーグリッド幾何学の検証ということでサッケリーなども幾つかの定理を導いているが、完全で矛盾のない公理系を持つユークリッド幾何学ではない新しい幾何学と認識してまとめたのは同時期にそれぞれ独立に発表したロバチェフスキー（1829年発表）、ボヤイ（1832年発表）、およびガウス（発表せず）らの功績である。 ユークリッドのユークリッド原論の5番目の公準（任意の直線上にない一点を通る平行な直線がただ一本存在すること、 平行線公準）、それを否定する公理を付け加え、その新たな平行線公理と無矛盾な体系として得られる幾何学である非ユークリッド幾何学の一つである。双曲幾何学の場合には、「ある直線 L とその直線の外にある点 p が与えられたとき、p を通り L に平行な直線は無限に存在する」という公理に支えられて構成される。 双曲幾何学では、ユークリッド原論の平行線の公準以外の公理公準はすべて成立する。これは平行線の公準が独立した公準であり、ほかの公準からは証明できないということである。なぜならば他の公準から証明できるとすればその他の全ての公準が成り立つ双曲幾何学でも平行線の公準が成り立つはずだからである。この幾何学は、もともと平行線の公準をユークリッド原論のほかの公準から証明しようとして作られた幾何学だが、皮肉なことにこの幾何学により平行線の公準は独立でほかの公準からは証明できないことが証明された。 例えば、平面においては任意の直線にその直線上にない一点を通る平行線は一本しかないが、無限に開き続ける漏斗のようなものにおいては、任意の直線にその直線上にない一点を通る平行線は無限に存在することになる。 このような面はベルトラミーの擬球面と呼ばれ、双曲幾何学の成立する面（双曲平面）の一種である。また、ベルトラミーの擬球面などの双曲平面は、双曲幾何学が完成した後に発見された。
- Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych.
- A geometria hiperbólica é uma geometria não euclidiana que não possui o postulado das paralelas, possuindo em seu lugar o postulado de Lobachevsky. Foi desenvolvida por Nikolai Ivanovich Lobachevsky. Com esta geometria, comprova-se que o postulado das paralelas é independente dos outros postulados de Euclides.
- 双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例，专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何倒底还有几多可以适用，以及会有甚麼特別的现象產生。在双曲几何的环境裡，平面的曲率是負数。
- Die hyperbolische Geometrie als Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie erhält man, wenn man anstelle des Parallelenaxioms eine seiner Verneinungen, das „hyperbolische Axiom“ annimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind.
- In mathematics, hyperbolic geometry is a non-Euclidean geometry, meaning that the parallel postulate of Euclidean geometry is replaced. The parallel postulate in Euclidean geometry is equivalent to the statement that, in two dimensional space, for any given line R and point P not on R, there is exactly one line through P that does not intersect R; i.e. , that is parallel to R.
- La geometría hiperbólica (o lobachevskiana) es un modelo de geometría que satisface sólo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas.
- Hyperbolinen geometria käsittelee kaksiulotteista, negatiivisesti kaarevaa pintaa. Pinta muistuttaa muodoltaan hieman satulaa, ja joskus puhutaankin tässä yhteydessä satulapinnasta. Hyperbolisen geometrian "vastakohdan" voidaan monien ominaisuuksien puolesta ajatella olevan pallo- eli elliptisen geometrian, euklidisen geometrian jääden rajatapauksena näiden kahden väliin.
- La geometria iperbolica, anche chiamata geometria della sella o geometria di Lobachevskij, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico. La geometria iperbolica è stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia ha creduto essere inconsistente, e più tardi da Bolyai, Gauss e Lobachevsky, con il nome di geometria astrale.
- In de wiskunde is de hyperbolische meetkunde een niet-Euclidische meetkunde. In de hyperbolische meetkunde vervangt men het parallellenpostulaat uit de Euclidische meetkunde. Het parallellenpostulaat is in de Euclidische meetkunde equivalent met de bewering dat, in de twee dimensionale ruimte, voor elke gegeven lijn l en een punt P, die niet op l ligt, er precies één lijn door P loopt, die l niet kruist, dat wil zeggen parallel aan l loopt.
- Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.
- I matematiska termer är hyperbolisk geometri en icke-euklidisk geometri. Termen ”hyperbolisk geometri” introducerades av Felix Klein år 1871. Två hyperboliska linjer definieras som parallella om dessa är disjunkta, vilket betyder att dessa inte har några gemensamma punkter. Det femte axiomet i euklidisk geometri är parallellaxiomet och detta axiom är mycket omtalat i och med det inte är lika enkelt att formulera samt att innebörden inte är lika självklar.
- En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée parfois géométrie de Lobatchevski) est une géométrie non-euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats de la géométrie euclidienne, mais pour laquelle le postulat euclidien des parallèles est remplacé par le postulat que « par un point extérieur à une droite passe plus d'une droite parallèle ». On démontre qu'alors il y a une infinité de droites parallèles.
|
