In mathematics, the Hausdorff−Young inequality bounds the Lq-norm of the Fourier coefficients of a periodic function for q ≥ 2. William Henry Young () proved the inequality for some special values of q, and Hausdorff () proved it in general. More generally the inequality also applies to the Fourier transform of a function on a locally compact group, such as Rn, and in this case and gave a sharper form of it called the Babenko–Beckner inequality. We consider the Fourier operator, namely let T be the operator that takes a function Parseval's theorem shows that T is bounded from to to to .

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  • 数学におけるハウスドルフ=ヤングの不等式(ハウスドルフ=ヤングのふとうしき、英: Hausdorff-Young inequality)は、周期函数のフーリエ係数のLq-ノルム(q ≥ 2)評価を与える不等式である。はじめに William Henry Young () は、特別な値の q に対してこの不等式を証明し、その後 Hausdorff () は一般の場合について証明した。より一般に、この不等式は Rn のような局所コンパクト群上の函数のフーリエ変換に対しても適用され、この場合については と がより強い評価を与えるバベンコ=ベックナーの不等式を発見している。 ここでフーリエ作用素を考える。すなわち単位円上の函数 に対して、そのフーリエ係数の列 を返す作用素 T を考える。パーセバルの定理によれば、T は から への有界作用素で、そのノルムは 1 である。一方、明らかに であるため、T は から へのノルム 1 の有界作用素でもある。したがってリース=ソリンの定理により、任意の 1 < p < 2 に対して、 から への作用素として T はノルム 1 で有界である。ここで である。すなわち次が得られる。 これが有名なハウスドルフ=ヤングの不等式である。p > 2 に対して、この不等式の自然な拡張は成り立たず、ある函数が に属するという事実は、それが に属するという事実を意味するのみであり、そのフーリエ級数の成長の次数についての他の情報は得られない。 (ja)
  • In mathematics, the Hausdorff−Young inequality bounds the Lq-norm of the Fourier coefficients of a periodic function for q ≥ 2. William Henry Young () proved the inequality for some special values of q, and Hausdorff () proved it in general. More generally the inequality also applies to the Fourier transform of a function on a locally compact group, such as Rn, and in this case and gave a sharper form of it called the Babenko–Beckner inequality. We consider the Fourier operator, namely let T be the operator that takes a function on the unit circle and outputs the sequence of its Fourier coefficients Parseval's theorem shows that T is bounded from to with norm 1. On the other hand, clearly, so T is bounded from to with norm 1. Therefore we may invoke the Riesz–Thorin theorem to get, for any 1 < p < 2 that T, as an operator from to , is bounded with norm 1, where In a short formula, this says that This is the well known Hausdorff–Young inequality. For p > 2 the natural extrapolation of this inequality fails, and the fact that a function belongs to , does not give any additional information on the order of growth of its Fourier series beyond the fact that it is in . (en)
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  • 数学におけるハウスドルフ=ヤングの不等式(ハウスドルフ=ヤングのふとうしき、英: Hausdorff-Young inequality)は、周期函数のフーリエ係数のLq-ノルム(q ≥ 2)評価を与える不等式である。はじめに William Henry Young () は、特別な値の q に対してこの不等式を証明し、その後 Hausdorff () は一般の場合について証明した。より一般に、この不等式は Rn のような局所コンパクト群上の函数のフーリエ変換に対しても適用され、この場合については と がより強い評価を与えるバベンコ=ベックナーの不等式を発見している。 ここでフーリエ作用素を考える。すなわち単位円上の函数 に対して、そのフーリエ係数の列 を返す作用素 T を考える。パーセバルの定理によれば、T は から への有界作用素で、そのノルムは 1 である。一方、明らかに であるため、T は から へのノルム 1 の有界作用素でもある。したがってリース=ソリンの定理により、任意の 1 < p < 2 に対して、 から への作用素として T はノルム 1 で有界である。ここで である。すなわち次が得られる。 これが有名なハウスドルフ=ヤングの不等式である。p > 2 に対して、この不等式の自然な拡張は成り立たず、ある函数が に属するという事実は、それが (ja)
  • In mathematics, the Hausdorff−Young inequality bounds the Lq-norm of the Fourier coefficients of a periodic function for q ≥ 2. William Henry Young () proved the inequality for some special values of q, and Hausdorff () proved it in general. More generally the inequality also applies to the Fourier transform of a function on a locally compact group, such as Rn, and in this case and gave a sharper form of it called the Babenko–Beckner inequality. We consider the Fourier operator, namely let T be the operator that takes a function Parseval's theorem shows that T is bounded from to to to . (en)
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  • ハウスドルフ=ヤングの不等式 (ja)
  • Hausdorff–Young inequality (en)
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