| dbpprop:abstract
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- In order theory, a branch of mathematics, a Hasse diagram (HAHS uh) is a simple picture of a finite partially ordered set, forming a drawing of the transitive reduction of the partial order. Concretely, for a partially ordered set (S, ≤) one represents each element of S as a vertex on the page and draws a line segment or curve that goes upward from x to y if x < y, and there is no z such that x < z < y (here, < is obtained from ≤ by removing elements for all x). In this case, we say y covers x, or y is an immediate successor of x. Furthermore it is required that the vertices are positioned in such a way that each curve meets exactly two vertices: its two endpoints. Any such diagram (given that the vertices are labeled) uniquely determines a partial order, and any finite partial order has a unique transitive reduction, but there are many possible placements of elements in the plane, resulting in different Hasse diagrams for a given order that may have widely varying appearances. Hasse diagrams are named after Helmut Hasse (1898–1979); according to Birkhoff (1948), they are so-called because of the effective use Hasse made of them. However, Hasse was not the first to use these diagrams; they appear, e.g. , in Vogt (1895). Although Hasse diagrams were originally devised as a technique for making drawings of partially ordered sets by hand, they have more recently been created automatically using graph drawing techniques. The phrase "Hasse diagram" may also refer to the transitive reduction as an abstract directed acyclic graph, independently of any drawing of that graph, but this usage is eschewed here.
- In der Mathematik ist ein Hasse-Diagramm eine bestimmte graphische Darstellung endlicher halbgeordneter Mengen. Solche Diagramme wurden 1967 von dem Mathematiker Helmut Hasse eingeführt. Das Hasse-Diagramm für eine Halbordnung <math>(M, \leq)</math> ist ein gerichteter Graph, wobei die Elemente von <math>M</math> die Knoten bilden. Zwei Knoten <math>a</math> und <math>b</math> werden durch eine Kante verbunden, wenn <math>a < b</math> gilt und es kein <math>c</math> gibt mit <math>a<c<b</math>. Die Richtung der Kante wird dadurch zum Ausdruck gebracht, dass sich der Knoten <math>b</math> oberhalb von <math>a</math> befindet. Solch eine Anordnung lässt sich erreichen, da das Hasse-Diagramm zyklenfrei ist. Schleifen bei Reflexivität werden weggelassen. Manchmal werden Hasse-Diagramme auch verwendet, um Striktordnungen (Ordnungsrelationen zweiter Art) darzustellen.
- V matematické disciplíně teorie uspořádání se používá Hasseův diagram k zobrazení konečné částečně uspořádané množiny. Konkrétně pro uspořádanou množinu (S,≤) reprezentujeme v Hasseově diagramu každý prvek množiny S jako vrchol grafu. Dva vrcholy se spojí čarou (hranou) vedenou zdola nahoru od x k y, jestliže x < y a neexistuje takové z, že x < z < y (zde je < binární relace získaná z ≤ odejmutím prvků pro každé x). Říkáme také, že y pokrývá x nebo že y je bezprostřední předchůdce prvku x. Vrcholy grafu musí být umístěny tak, aby každá hrana spojovala právě dva vrcholy.
- En matemáticas, un diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito. Esto se consigue eliminando información redundante. Para ello se dibuja una arista ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber otros elementos intermedios. En un diagrama de Hasse se elimina la necesidad de representar: ciclos de un elemento, puesto que se entiende que una relación de orden parcial es reflexiva. aristas que se deducen de la transitividad (matemática) de la relación.
- En mathématiques, le diagramme de Hasse, du nom du mathématicien allemand Helmut Hasse, est une représentation visuelle d'un ordre fini. Similaire à la représentation habituelle d’un graphe sur papier, il en facilite la compréhension. Pour dessiner un diagramme de Hasse : On représente les éléments de l’ordre par des points. Si un élément x est plus grand qu’un autre élément y selon « ≤ », on place la représentation de x plus haut que celle de y. Le fait que deux éléments sont en relation est représenté par un segment entre ces deux points. Du fait de la disposition des points, on n’a pas besoin d’orienter ces segments avec une flèche (on sait qu’on va du bas vers le haut). Pour ne pas charger le schéma, on ne représente pas toute la relation d’ordre, mais seulement sa réduction réflexive transitive : d’une part si x ≤ y, mais qu’il existe z différent de x et de y tel que (x ≤ z) ∧ (z ≤ y), alors on ne trace pas le segment entre x et y; d’autre part on ne représente pas les boucles d’un élément vers lui-même. On veille autant que possible à ne pas croiser les segments. En cas d’ordre infini, on peut néanmoins aussi utiliser le diagramme de Hasse pour représenter une restriction finie de l’ordre.
- A matematikában a Hasse-diagram a részbenrendezett halmazok ábrázolására használt ábra. Egy tetszőleges <math>(M, \leq)</math> részbenrendezett halmaz Hasse diagramja olyan irányított gráf, amelyben a részbenrendezett halmaz <math>M</math> alaphalmazának az elemei alkotják a gráf pontjait, és a gráfban az <math>a</math> és <math>b</math> pontok között pontosan akkor halad él, ha <math>a < b</math> teljesül és nincs olyan <math>c</math> elem, amelyre <math>a<c<b</math> teljesülne az adott részbenrendezésben. Az él irányítását a diagramon úgy ábrázoljuk, hogy a <math>b</math> pontot az <math>a</math> pont fölött helyezzük el. Ezzel az elrendezéssel azért lehet ábrázolni az élek irányítását, mert a Hasse diagram körmentes. A reflexivitásból adódó hurokéleket a diagramon nem ábrázoljuk.
- Un reticolo della divisibilità, noto anche come diagramma di Hasse, in matematica è una semplice rappresentazione di un insieme finito parzialmente ordinato. Prende nome da Helmut Hasse. In pratica si rappresenta ogni membro di S come vertice e si traccia una linea che va verso l'alto da x a y se x < y e non esiste z tale che x < z < y. In questo caso si dice che y copre x o che y è un successore immediato di x. Inoltre è richiesto che i vertici siano posizionati in modo che ogni segmento incontri esattamente due vertici: i due estremi. Ogni diagramma di questo tipo (poiché i vertici sono etichettati) determina unicamente un ordinamento parziale ma esistono più diagrammi corrispondenti ad un dato ordine.
- ハッセ図（ハッセず、英: Hasse diagram）は、数学における有限な半順序集合を単純に図示するもので、半順序の推移簡約を描いたものである。具体的には半順序集合 (S, ≤) があるとき、S の個々の元を頂点とし、x < y で、しかも x < z < y となるような z が存在しない場合にのみ x から y に上向きの線（辺）を描く（ここで、< は全ての x について (x,x) という元を除くことで ≤ から得られる）。 この場合、「yはxを被覆する」または「yはxの immediate successor（直接の後続）である」という。さらに、各辺が両端の頂点以外を通らないように頂点を配置する必要がある。このような図（頂点にはラベルが付属するものとする）は半順序を一意に特定し、任意の有限な半順序では推移簡約が一意に定まる。ただし、図における元の配置の仕方は様々なものが考えられ、ひとつの順序集合に対して見た目の異なるハッセ図が多数存在することになる。 ハッセ図はヘルムート・ハッセ（1898年-1979年）に因んで名付けられている。Birkhoff (1948) によれば、ハッセが事実上この図を生み出したからだという。しかし、ハッセが最初にこの図を使ったわけではなく、Vogt (1895) などには既にこの図が使われている。ハッセ図は半順序集合を手で図示する技法として生まれたが、最近ではグラフ描画技法を使って自動的に描くことができる。 「ハッセ図」という言葉は、個々のグラフの描画とは関係なく、抽象概念としての有向非循環グラフの推移簡約を指すこともある。ただし、本項目ではこの意味では使わない。
- Een Hasse-diagram is in de wiskunde een grafische voorstelling van een eindige, partieel geordende verzameling. Het diagram is genoemd naar de Duitse wiskundige Helmut Hasse (1898–1979). In het diagram worden de elementen van de verzameling getekend als punten en de ordeningsrelatie weergegeven door twee elementen die elkaars directe opvolger en voorganger zijn, te verbinden door een lijn en de grotere van de twee hoger te tekenenen dan de kleinere. Dus als x < y en er is geen element tussen deze twee, zodat x een directe voorganger is van y, wordt y hoger dan x geplaatst en beide door een lijn verbonden. Op deze manier ontstaat een overzichtelijke voorstelling van de ordening. Zouden we alle vergelijkbare elementen verbinden, dan zou door de veelheid van lijnen vaak een onoverzichtelijke wirwar ontstaan.
- Diagram Hassego – graf skierowany przedstawiający częściowy porządek w zbiorze, w odpowiedni sposób przedstawiony graficznie. Niech <math>\! P=(S,\le)</math> będzie zbiorem S z częściowym porządkiem <math>\! \le</math>. Mówi się, że element s zbioru S nakrywa element t, jeżeli <math>\! t\le s</math>, oraz nie istnieje w S taki element u, że <math>\! t \le u \le s</math>. Diagram Hassego zbioru S i danego na nim porządku <math>\! \le</math> przedstawia graf, którego wierzchołki reprezentują elementy zbioru S, i którego dwa wierzchołki <math>\! s</math> i <math>\! t</math> połączone są krawędzią (biegnącą z s do t) wtedy i tylko wtedy, gdy s nakrywa t. Na diagramie nie oznacza się kierunku kawędzi grafu; zamiast tego element nakrywający jest rysowany wyżej od elementów przezeń nakrywanych, za czym wszystkie krawędzie są skierowane w dół.
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| rdfs:comment
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- In order theory, a branch of mathematics, a Hasse diagram (HAHS uh) is a simple picture of a finite partially ordered set, forming a drawing of the transitive reduction of the partial order. Concretely, for a partially ordered set (S, ≤) one represents each element of S as a vertex on the page and draws a line segment or curve that goes upward from x to y if x < y, and there is no z such that x < z < y (here, < is obtained from ≤ by removing elements for all x).
- In der Mathematik ist ein Hasse-Diagramm eine bestimmte graphische Darstellung endlicher halbgeordneter Mengen. Solche Diagramme wurden 1967 von dem Mathematiker Helmut Hasse eingeführt. Das Hasse-Diagramm für eine Halbordnung <math>(M, \leq)</math> ist ein gerichteter Graph, wobei die Elemente von <math>M</math> die Knoten bilden.
- V matematické disciplíně teorie uspořádání se používá Hasseův diagram k zobrazení konečné částečně uspořádané množiny. Konkrétně pro uspořádanou množinu (S,≤) reprezentujeme v Hasseově diagramu každý prvek množiny S jako vrchol grafu. Dva vrcholy se spojí čarou (hranou) vedenou zdola nahoru od x k y, jestliže x < y a neexistuje takové z, že x < z < y (zde je < binární relace získaná z ≤ odejmutím prvků pro každé x).
- En matemáticas, un diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito. Esto se consigue eliminando información redundante. Para ello se dibuja una arista ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber otros elementos intermedios. En un diagrama de Hasse se elimina la necesidad de representar: ciclos de un elemento, puesto que se entiende que una relación de orden parcial es reflexiva.
- En mathématiques, le diagramme de Hasse, du nom du mathématicien allemand Helmut Hasse, est une représentation visuelle d'un ordre fini. Similaire à la représentation habituelle d’un graphe sur papier, il en facilite la compréhension. Pour dessiner un diagramme de Hasse : On représente les éléments de l’ordre par des points. Si un élément x est plus grand qu’un autre élément y selon « ≤ », on place la représentation de x plus haut que celle de y.
- A matematikában a Hasse-diagram a részbenrendezett halmazok ábrázolására használt ábra.
- Un reticolo della divisibilità, noto anche come diagramma di Hasse, in matematica è una semplice rappresentazione di un insieme finito parzialmente ordinato. Prende nome da Helmut Hasse. In pratica si rappresenta ogni membro di S come vertice e si traccia una linea che va verso l'alto da x a y se x < y e non esiste z tale che x < z < y. In questo caso si dice che y copre x o che y è un successore immediato di x.
- Een Hasse-diagram is in de wiskunde een grafische voorstelling van een eindige, partieel geordende verzameling. Het diagram is genoemd naar de Duitse wiskundige Helmut Hasse (1898–1979). In het diagram worden de elementen van de verzameling getekend als punten en de ordeningsrelatie weergegeven door twee elementen die elkaars directe opvolger en voorganger zijn, te verbinden door een lijn en de grotere van de twee hoger te tekenenen dan de kleinere.
- Diagram Hassego – graf skierowany przedstawiający częściowy porządek w zbiorze, w odpowiedni sposób przedstawiony graficznie. Niech <math>\! P=(S,\le)</math> będzie zbiorem S z częściowym porządkiem <math>\! \le</math>. Mówi się, że element s zbioru S nakrywa element t, jeżeli <math>\! t\le s</math>, oraz nie istnieje w S taki element u, że <math>\! t \le u \le s</math>.
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