In mathematics, the n-th harmonic number is the sum of the reciprocals of the first n natural numbers: <math>H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}</math> <math>=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}. </math> This also equals n times the inverse of the harmonic mean of these natural numbers. Harmonic numbers were studied in antiquity and are important in various branches of number theory.

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  • In mathematics, the n-th harmonic number is the sum of the reciprocals of the first n natural numbers: <math>H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}</math> <math>=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}. </math> This also equals n times the inverse of the harmonic mean of these natural numbers. Harmonic numbers were studied in antiquity and are important in various branches of number theory. They are sometimes loosely termed harmonic series, are closely related to the Riemann zeta function, and appear in various expressions for various special functions. When the value of a large quantity of items has a Zipf's law distribution, the total value of the n most-valuable items is the n-th harmonic number. This leads to a variety of surprising conclusions in the Long Tail and the theory of network value.
  • En matemáticas, se define el n-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales: <math>H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}</math> Éste también es igual a n veces el inverso de la media armónica. Los números armónicos han sido estudiados desde la antigüedad y son importantes en muchas ramas de la teoría de números. A veces se denomina vagamente serie armónica. Están íntimamente relacionados con la función zeta de Riemann, y aparecen en diversas expresiones de funciones especiales.
  • File:HarmonicNumbers. svg Un grafico della crescita dell'n-esimo numero armonico <math>H_{n,1}</math> con <math>n=\lfloor{x}\rfloor</math> (linea rossa) insieme al suo limite asintotico <math>\gamma+\ln[x]</math> (linea blu). In matematica, per ogni intero naturale n si definisce come n-esimo numero armonico <math>H_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> . Si tratta evidentemente di numeri razionali e si dimostra che le corrispondenti frazioni ridotte ai minimi termini hanno numeratore dispari e denominatore pari. In concreto i primi termini della successione dei numeri armonici sono: I numeratori dei numeri armonici sono detti numeri di Wostenholme e costituiscono la successione A001008 di OEIS. I denominatori costituiscono la successione A002805 di OEIS. I numeri armonici costituiscono le somme troncate della serie armonica, notoriamente divergente. Essi sono strettamente collegati a quelli che si possono chiamare numeri armonici alternati <math>H'_n := \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\frac{1}{k}</math> . Questi sono le somme troncate della serie armonica alternata notoriamente convergente e sono esprimibili mediante i numeri armonici dalle formule <math>H'_{2n} = H_{2n}-H_n \qquad H'_{2n+1} = H_{2n}-H_n+\frac{1}{2n+1} </math> I numeri armonici (e quindi qnche i numeri armonici alternati) si possono esprimere analiticamente come <math>\,H_n = \gamma + \Psi(n+1)\,</math> mediante la costante di Eulero - Mascheroni e la funzione digamma (e di conseguenza mediante la funzione gamma) <math>\Psi(z) \equiv \psi_0(z) := \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} </math> Quindi i numeri armonici e numeri armonici alternati danno origine a due funzioni analitiche.
  • In de wiskunde wordt voor ieder geheel getal n het n-de harmonisch getal gedefinieerd als: <math>H_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> . Het gaat hier zoals te zien om rationale getallen en indien de sommatie uitgewerkt wordt leidt dit tot breuken met oneven tellers en even noemers:
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  • Harmonic Number
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  • In mathematics, the n-th harmonic number is the sum of the reciprocals of the first n natural numbers: <math>H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}</math> <math>=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}. </math> This also equals n times the inverse of the harmonic mean of these natural numbers. Harmonic numbers were studied in antiquity and are important in various branches of number theory.
  • En matemáticas, se define el n-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales: <math>H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}</math> Éste también es igual a n veces el inverso de la media armónica. Los números armónicos han sido estudiados desde la antigüedad y son importantes en muchas ramas de la teoría de números. A veces se denomina vagamente serie armónica.
  • File:HarmonicNumbers. svg Un grafico della crescita dell'n-esimo numero armonico <math>H_{n,1}</math> con <math>n=\lfloor{x}\rfloor</math> (linea rossa) insieme al suo limite asintotico <math>\gamma+\ln[x]</math> (linea blu). In matematica, per ogni intero naturale n si definisce come n-esimo numero armonico <math>H_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> .
  • In de wiskunde wordt voor ieder geheel getal n het n-de harmonisch getal gedefinieerd als: <math>H_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> . Het gaat hier zoals te zien om rationale getallen en indien de sommatie uitgewerkt wordt leidt dit tot breuken met oneven tellers en even noemers:
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  • Harmonic number
  • Número armónico
  • Numero armonico
  • Harmonisch getal
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