In mathematics, an action of a group is a way of interpreting the elements of the group as "acting" on some space in a way that preserves the structure of that space. Common examples of spaces that groups act on are sets, vector spaces, and topological spaces. Actions of groups on vector spaces are called representations of the group. on the finite set by specifying that 0 (the identity element) sends , and that 1 sends . This action is not canonical. A common way of specifying non-canonical actions is to describe a homomorphism on a point is assumed to be identical to the action of its image

Property Value
dbo:abstract
  • In mathematics, an action of a group is a way of interpreting the elements of the group as "acting" on some space in a way that preserves the structure of that space. Common examples of spaces that groups act on are sets, vector spaces, and topological spaces. Actions of groups on vector spaces are called representations of the group. Some groups can be interpreted as acting on spaces in a canonical way. For example, the symmetric group of a finite set consists of all bijective transformations of that set; thus, applying any element of the permutation group to an element of the set will produce another element of the set. More generally, symmetry groups such as the homeomorphism group of a topological space or the general linear group of a vector space, as well as their subgroups, also admit canonical actions. For other groups, an interpretation of the group in terms of an action may have to be specified, either because the group does not act canonically on any space or because the canonical action is not the action of interest. For example, we can specify an action of the two-element cyclic group on the finite set by specifying that 0 (the identity element) sends , and that 1 sends . This action is not canonical. A common way of specifying non-canonical actions is to describe a homomorphism from a group G to the group of symmetries of a set X. The action of an element on a point is assumed to be identical to the action of its image on the point . The homomorphism is also frequently called the "action" of G, since specifying is equivalent to specifying an action. Thus, if G is a group and X is a set, then an action of G on X may be formally defined as a group homomorphism from G to the symmetric group of X. The action assigns a permutation of X to each element of the group in such a way that: * the identity element of G is assigned the identity transformation of X; * any product gk of two elements of G is assigned the composition of the permutations assigned to g and k. If X has additional structure, then is only called an action if for each , the permutation preserves the structure of X. The abstraction provided by group actions is a powerful one, because it allows geometrical ideas to be applied to more abstract objects. Many objects in mathematics have natural group actions defined on them. In particular, groups can act on other groups, or even on themselves. Because of this generality, the theory of group actions contains wide-reaching theorems, such as the orbit stabilizer theorem, which can be used to prove deep results in several fields. (en)
  • Durch eine Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung werden in der Mathematik die Elemente einer Gruppe so mit Selbstabbildungen einer Menge identifiziert, dass dabei immer das Produkt zweier Gruppenelemente der Hintereinanderausführung der zugehörigen Abbildungen entspricht. Die Menge zusammen mit der Operation von auf heißt -Menge, die operierende Gruppe wird Transformationsgruppe genannt.Die Gruppenoperation ermöglicht es in der Algebra, der Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, die Symmetrien von Objekten mit Hilfe von Symmetriegruppen zu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund, und die operierende Gruppe ist häufig von vornherein als Gruppe von Abbildungen gegeben.Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in der Gruppentheorie wichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. Dabei steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund. (de)
  • En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. (fr)
  • Una acción de un grupo sobre un conjunto es una aplicación que cumple: 1. * donde es el elemento neutro del grupo. 2. * . Estas dos condiciones implican que, para cada elemento de , la aplicación es una función biyectiva. Otra posible definición, que se deriva de esto, es que una acción es un homomorfismo de grupos. . (es)
  • In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche). (it)
  • 数学における群作用(ぐんさよう、英: group action)は、群を用いて物体の対称性を記述する方法である。 (ja)
  • Działanie grupy – sposób opisania symetrii obiektów za pomocą pojęcia grupy. Istotne elementy obiektu opisane są za pomocą zbioru, a jego symetrie za pomocą jego grupy symetrii, która składa się z wzajemnie jednoznacznych przekształceń geometrycznych wspomnianego zbioru. Wówczas grupę tę nazywa się także grupą permutacji (szczególnie, jeśli zbiór jest skończony lub nie jest przestrzenią liniową) lub grupą przekształceń (szczególnie, gdy zbiór jest przestrzenią liniową, a grupa działa jak przekształcenia liniowe zbioru). Działanie grupy jest elastycznym uogólnieniem pojęcia grupy symetrii, w której każdy jej element „działa” jak wzajemnie jednoznaczne przekształcenie (lub „symetria”) pewnego zbioru, lecz bez utożsamiania tego elementu ze wspomnianym przekształceniem. Pozwala to bardziej wyczerpująco opisać symetrie obiektu, takiego jak wielościan, przez zadziałanie tej samej grupy na kilku różnych zbiorach, np. zbiorze wierzchołków, zbiorze krawędzi i zbiorze ścian wielościanu. Niezmienniczość działania grup na obiektach geometrycznych była główną ideą tzw. programu erlangeńskiego Feliksa Kleina. Ewaryst Galois w swoich pracach dotyczących rozwiązywania wielomianów przez pierwiastniki badał działanie grup Galois na zbiorach pierwiastków wielomianu. Umożliwiając stosowanie idei geometrycznych do bardziej abstrakcyjnych tworów działania grup dostarczają wysokiego poziomu abstrakcji. Wiele obiektów matematycznych ma naturalnie określone na sobie działanie grupy. W szczególności grupy mogą działać także na innych grupach, a nawet na samych sobie. Mimo wspomnianej ogólności teoria działań grup zawiera szeroko stosowane w praktyce twierdzenia, jak np. , które mogą być środkiem podczas dowodzenia mocnych wyników w innych działach matematyki. (pl)
  • In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra en de meetkunde, is groepswerking, of groepsactie (group action), een begrip waarmee symmetrieën van wiskundige objecten beschreven kunnen worden met behulp van groepen. Men beschouwt een verzameling wiskundige objecten, en beschrijft de symmetrieën van een wiskundig object door zijn symmetriegroep, die bestaat uit bijectieve transformaties die het object niet veranderen. In dit geval wordt de groep ook wel een permutatiegroep genoemd (als de verzameling eindig is en niet een vectorruimte vormt) of een transformatiegroep (als de verzameling een vectorruimte is en de groep als lineaire transformaties op de verzameling werkt). (nl)
  • Uma ação (AO 1945: acção), em topologia, de um grupo G num espaço topológico X é um homomorfismo de G no grupo dos homeomorfismos de X. (pt)
  • Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп. (ru)
  • 数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:群的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。 (zh)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 12781 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 745023622 (xsd:integer)
dbp:date
  • March 2015
dbp:id
  • p/a010550
dbp:reason
  • The isometries of a space are a subgroup of the affine group of that space, but not an affine group in themselves
dbp:title
  • Action of a group on a manifold
  • Group Action
dbp:urlname
  • GroupAction
dct:subject
http://purl.org/linguistics/gold/hypernym
rdf:type
rdfs:comment
  • En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. (fr)
  • Una acción de un grupo sobre un conjunto es una aplicación que cumple: 1. * donde es el elemento neutro del grupo. 2. * . Estas dos condiciones implican que, para cada elemento de , la aplicación es una función biyectiva. Otra posible definición, que se deriva de esto, es que una acción es un homomorfismo de grupos. . (es)
  • In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche). (it)
  • 数学における群作用(ぐんさよう、英: group action)は、群を用いて物体の対称性を記述する方法である。 (ja)
  • In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra en de meetkunde, is groepswerking, of groepsactie (group action), een begrip waarmee symmetrieën van wiskundige objecten beschreven kunnen worden met behulp van groepen. Men beschouwt een verzameling wiskundige objecten, en beschrijft de symmetrieën van een wiskundig object door zijn symmetriegroep, die bestaat uit bijectieve transformaties die het object niet veranderen. In dit geval wordt de groep ook wel een permutatiegroep genoemd (als de verzameling eindig is en niet een vectorruimte vormt) of een transformatiegroep (als de verzameling een vectorruimte is en de groep als lineaire transformaties op de verzameling werkt). (nl)
  • Uma ação (AO 1945: acção), em topologia, de um grupo G num espaço topológico X é um homomorfismo de G no grupo dos homeomorfismos de X. (pt)
  • Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп. (ru)
  • 数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:群的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。 (zh)
  • In mathematics, an action of a group is a way of interpreting the elements of the group as "acting" on some space in a way that preserves the structure of that space. Common examples of spaces that groups act on are sets, vector spaces, and topological spaces. Actions of groups on vector spaces are called representations of the group. on the finite set by specifying that 0 (the identity element) sends , and that 1 sends . This action is not canonical. A common way of specifying non-canonical actions is to describe a homomorphism on a point is assumed to be identical to the action of its image (en)
  • Durch eine Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung werden in der Mathematik die Elemente einer Gruppe so mit Selbstabbildungen einer Menge identifiziert, dass dabei immer das Produkt zweier Gruppenelemente der Hintereinanderausführung der zugehörigen Abbildungen entspricht. Die Menge zusammen mit der Operation von auf heißt -Menge, die operierende Gruppe (de)
  • Działanie grupy – sposób opisania symetrii obiektów za pomocą pojęcia grupy. Istotne elementy obiektu opisane są za pomocą zbioru, a jego symetrie za pomocą jego grupy symetrii, która składa się z wzajemnie jednoznacznych przekształceń geometrycznych wspomnianego zbioru. Wówczas grupę tę nazywa się także grupą permutacji (szczególnie, jeśli zbiór jest skończony lub nie jest przestrzenią liniową) lub grupą przekształceń (szczególnie, gdy zbiór jest przestrzenią liniową, a grupa działa jak przekształcenia liniowe zbioru). (pl)
rdfs:label
  • Group action (en)
  • Gruppenoperation (de)
  • Acción (matemática) (es)
  • Action de groupe (mathématiques) (fr)
  • Azione di gruppo (it)
  • 群作用 (ja)
  • Groepswerking (nl)
  • Działanie grupy na zbiorze (pl)
  • Ação (matemática) (pt)
  • Действие группы (ru)
  • 群作用 (zh)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageRedirects of
is foaf:primaryTopic of