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- In mathematical logic, Goodstein's theorem is a statement about the natural numbers, made by Reuben Goodstein, which states that every Goodstein sequence eventually terminates at 0. Kirby & Paris (1982) showed that it is unprovable in Peano arithmetic (but it can be proven in stronger systems, such as second order arithmetic). This was the third "natural" example of a true statement that is unprovable in Peano arithmetic (after Gerhard Gentzen's 1943 direct proof of the unprovability of ε0- induction in Peano arithmetic and the Paris–Harrington theorem). Earlier statements of this type had either been, except for Gentzen, extremely complicated, ad-hoc constructions (such as the statements generated by the construction given in Gödel's incompleteness theorem) or concerned metamathematics or combinatorial results. Kirby and Paris gave an interpretation of the Goodstein's theorem as a hydra game: the "Hydra" is a rooted tree, and a move consists of cutting off one of its "heads" (a branch of the tree), to which the hydra responds by growing a finite number of new heads according to certain rules. The Kirby-Paris interpretation of the theorem says that the Hydra will eventually be killed, regardless of the strategy that Hercules uses to chop off its heads, though this may take a very, very long time.
- Goodstein-Folgen sind spezielle Folgen natürlicher Zahlen. Sie spielen eine Rolle in einem mathematischen Satz, dem Satz von Goodstein. Das Besondere an diesem Satz ist, dass er sich zwar mit den Mitteln der Peano-Arithmetik formulieren, aber nicht ausschließlich mit ihnen beweisen lässt. Dies liegt daran, dass die Peano-Arithmetik die natürlichen Zahlen nicht eindeutig modelliert, d.h. , sie erlaubt auch andere Modelle als die natürlichen Zahlen, in denen der Satz von Goodstein nicht gilt. Dieser Satz ist ein Beispiel dafür, dass nicht jede unbeweisbare Aussage so kompliziert und „unvorstellbar“ sein muss wie die unbeweisbaren Aussagen im gödelschen Unvollständigkeitssatz.
- Goodsteinova věta, vyslovená v roce 1944 R. Goodsteinem, tvrdí: Pro každou Goodsteinovu posloupnost <math> m_0, m_1, m_2, \ldots \,\! </math> existuje takové přirozené číslo <math> n \,\! </math>, pro které je <math> m_n = 0 \,\! </math>. Definice Goodsteinovy posloupnosti je uvedena v samostatném článku zde.
- Una sucesión de Goodstein es una sucesión matemática que se obtiene por la aplicación de un operador de salto de base (<math>B) sobre una semilla dada. Quizás, antes de entrar a definir la propia sucesión de Goodstein, debiéramos aclarar lo que se entiende por operador de salto de base. El operador de salto de base es el resultado de la sustitución, en la representación de un número en su forma normal de Cantor en base b, de las ocurrencias de b por b+1. Así, denotaremos <math>B[b](n) como el resultado de aplicar el operador de salto de base b <math>B[b] al número n. Por ejemplo: Con b=2: <math>B[b](266)=2^{2^{2+1}} + 2^{2+1} + 2 Sustituyendo b por b+1: <math>B[b+1](266)=3^{3^{3+1}} + 3^{3+1} + 3 Una vez que tenemos claro este punto, podemos pasar a la definición propiamente dicha de sucesión de Goodstein. Las sucesiones de Goodstein son sucesiones que comienzan con un número natural cualquiera de partida (que en nuestro ejemplo podría ser n=266). Este sería el primer término de la sucesión, que denotaremos <math>G_0(266)=266. El segundo término de la sucesión <math>G_1(266) se obtiene mediante el operador de salto de base <math>B[2] sobre el primer término, y restando uno al resultado. Es decir: en su forma normal de Cantor, sustituimos cada dos por un tres, y al resultado le restamos la unidad. Así habríamos obtenido la sucesión de Goodstein de semilla igual a 266. Es evidente que, para cada entero de partida tendremos una sucesión de Goodstein diferente. Veamos los primeros términos de la sucesión de Goodstein para el número 266. Empezamos con 266. Su forma normal de Cantor es: <math>G_0(266) = 2^{2^{2+1}} + 2 ^{2+1} + 2 Para obtener el segundo término, aplicamos el operador de salto de base y restamos uno: <math>G_1(266) = B[2](266) - 1 =3^{3^{3+1}} + 3^{3+1} + 3 - 1 = 3^{3^{3+1}} + 3^{3+1} + 2 Y continuamos <math>G_2(266) = B[3]G_1(266) -1 = 4^{4^{4+1}} + 4^{4+1} + 1 <math>G_3(266) = B[4]G_2(266) -1 = 5^{5^{5+1}} + 5^{5+1} <math>G_4(266) = B[5]G_3(266) -1 = 6^{6^{6+1}} + 6^{6+1} -1 = 6^{6^{6+1}} + 5 \cdot 6^6 + 5 \cdot 6 ^5 + \ldots + 5 \cdot 6 + 5 <math>G_5(266) = B[6]G_4(266) -1 = 7^{7^{7+1}} + 5 \cdot 7^7 + 5 \cdot 7 ^5 + \ldots + 5 \cdot 7 + 4 Aparentemente esta succión crece indefinidamente y de una forma muy rápida. Pues bien, el Teorema de Goodstein demuestra que para cualquier valor de la semilla, toda sucesión de Goodstein termina en cero.
- En logique mathématique, le théorème de Goodstein est un énoncé arithmétique qui est indécidable dans l'axiomatique des entiers naturels de Peano, mais peut être démontré en utilisant l'axiomatique plus puissante de la théorie des ensembles, et plus particulièrement des ordinaux. Le théorème établit que toute suite de Goodstein se termine par 0. Il donne un exemple d'énoncé indécidable particulièrement simple, contrairement aux énoncés considérés dans le théorème d'incomplétude de Gödel.
- In matematica, il Teorema di Goodstein è un teorema sui numeri naturali, relativamente semplice da enunciare, la cui particolarità consiste nel fatto di essere indecidibile dall'Aritmetica di Peano ma dimostrabile nella teoria assiomatica degli insiemi. Esso può essere considerato un esempio di enunciato indecidibile dagli usuali assiomi dell'aritmetica più "naturale" rispetto alle complicate costruzioni dei teoremi di incompletezza di Gödel. Per enunciare il Teorema di Goodstein occorre dare alcune definizioni preliminari.
- グッドスタインの定理（グッドスタインのていり、Goodstein's theorem）は、数理論理学における自然数に関する命題であり、「全てのグッドスタイン数列は必ず0で終わる」という主張。ペアノ算術の範囲では証明も否定の証明もできないが、集合論の公理系、特に無限集合の公理を用いると真であることが言える。たとえばゲーデルの不完全性定理から導かれる決定不能な命題などは、いかにも不自然だったり人工的に見えたりする場合があるのに対し、この定理は「自然な」決定不能命題の例として知られる。
- Twierdzenie Goodsteina – twierdzenie teorii liczb sformułowane przez Goodsteina w 1944 roku dotyczące pewnej własności ciągów liczb naturalnych. Mimo że sformułowanie twierdzenia jest czysto arytmetyczne i względnie nieskomplikowane, twierdzenie to jest niezależne od aksjomatyki Peano, co udowodnili w 1982 roku Jeff Paris i Laurie Kirby.
- Теорема Гудштейна — твердження математичної логіки про натуральні числа, зроблене Рубеном Гудштейном, стверджує, що всі послідовності Гудштейна закінчуються нулем. Це теорема є невиводимою із аксіом Пеано, але може бути доведена в арифметиці другого порядку.
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- In mathematical logic, Goodstein's theorem is a statement about the natural numbers, made by Reuben Goodstein, which states that every Goodstein sequence eventually terminates at 0. Kirby & Paris (1982) showed that it is unprovable in Peano arithmetic (but it can be proven in stronger systems, such as second order arithmetic).
- Goodstein-Folgen sind spezielle Folgen natürlicher Zahlen. Sie spielen eine Rolle in einem mathematischen Satz, dem Satz von Goodstein. Das Besondere an diesem Satz ist, dass er sich zwar mit den Mitteln der Peano-Arithmetik formulieren, aber nicht ausschließlich mit ihnen beweisen lässt. Dies liegt daran, dass die Peano-Arithmetik die natürlichen Zahlen nicht eindeutig modelliert, d.h.
- Goodsteinova věta, vyslovená v roce 1944 R. Goodsteinem, tvrdí: Pro každou Goodsteinovu posloupnost <math> m_0, m_1, m_2, \ldots \,\! </math> existuje takové přirozené číslo <math> n \,\! </math>, pro které je <math> m_n = 0 \,\! </math>. Definice Goodsteinovy posloupnosti je uvedena v samostatném článku zde.
- Una sucesión de Goodstein es una sucesión matemática que se obtiene por la aplicación de un operador de salto de base (<math>B) sobre una semilla dada. Quizás, antes de entrar a definir la propia sucesión de Goodstein, debiéramos aclarar lo que se entiende por operador de salto de base. El operador de salto de base es el resultado de la sustitución, en la representación de un número en su forma normal de Cantor en base b, de las ocurrencias de b por b+1.
- En logique mathématique, le théorème de Goodstein est un énoncé arithmétique qui est indécidable dans l'axiomatique des entiers naturels de Peano, mais peut être démontré en utilisant l'axiomatique plus puissante de la théorie des ensembles, et plus particulièrement des ordinaux. Le théorème établit que toute suite de Goodstein se termine par 0.
- In matematica, il Teorema di Goodstein è un teorema sui numeri naturali, relativamente semplice da enunciare, la cui particolarità consiste nel fatto di essere indecidibile dall'Aritmetica di Peano ma dimostrabile nella teoria assiomatica degli insiemi. Esso può essere considerato un esempio di enunciato indecidibile dagli usuali assiomi dell'aritmetica più "naturale" rispetto alle complicate costruzioni dei teoremi di incompletezza di Gödel.
- Twierdzenie Goodsteina – twierdzenie teorii liczb sformułowane przez Goodsteina w 1944 roku dotyczące pewnej własności ciągów liczb naturalnych. Mimo że sformułowanie twierdzenia jest czysto arytmetyczne i względnie nieskomplikowane, twierdzenie to jest niezależne od aksjomatyki Peano, co udowodnili w 1982 roku Jeff Paris i Laurie Kirby.
- Теорема Гудштейна — твердження математичної логіки про натуральні числа, зроблене Рубеном Гудштейном, стверджує, що всі послідовності Гудштейна закінчуються нулем. Це теорема є невиводимою із аксіом Пеано, але може бути доведена в арифметиці другого порядку.
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