Gödel's incompleteness theorems are two theorems of mathematical logic that demonstrate the inherent limitations of every formal axiomatic system containing basic arithmetic. These results, published by Kurt Gödel in 1931, are important both in mathematical logic and in the philosophy of mathematics. The theorems are widely, but not universally, interpreted as showing that Hilbert's program to find a complete and consistent set of axioms for all mathematics is impossible.

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  • Gödel's incompleteness theorems are two theorems of mathematical logic that demonstrate the inherent limitations of every formal axiomatic system containing basic arithmetic. These results, published by Kurt Gödel in 1931, are important both in mathematical logic and in the philosophy of mathematics. The theorems are widely, but not universally, interpreted as showing that Hilbert's program to find a complete and consistent set of axioms for all mathematics is impossible. The first incompleteness theorem states that no consistent system of axioms whose theorems can be listed by an effective procedure (i.e., an algorithm) is capable of proving all truths about the arithmetic of the natural numbers. For any such formal system, there will always be statements about the natural numbers that are true, but that are unprovable within the system. The second incompleteness theorem, an extension of the first, shows that the system cannot demonstrate its own consistency. Employing a diagonal argument, Gödel's incompleteness theorems were the first of several closely related theorems on the limitations of formal systems. They were followed by Tarski's undefinability theorem on the formal undefinability of truth, Church's proof that Hilbert's Entscheidungsproblem is unsolvable, and Turing's theorem that there is no algorithm to solve the halting problem. (en)
  • 25بك المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016) مبرهنات عدم الاكتمال لغودل هي مبرهنتان في المنطق الرياضي تم برهانهما من قبل كورت غودل في عام 1931. وهما نظريتان تنصان على حدود جميع الأنظمة الشكلية في الحساب.تعتبر هاتان النظريتان مهمتين في فلسفة الرياضيات. وتستخدم لتظهر أنه من المستحيل بوساطة برنامج هيلبرت إيجاد مجموعة كاملة من البديهيات لكل علم الرياضيات، وبالتالي إعطاء جواب سلبي لمسألة هلبرت الثانية. (ar)
  • Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in formalen Systemen. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Leistungsfähigkeit auf. Er weist nach, dass es in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik, Aussagen geben muss, die man weder formal beweisen noch widerlegen kann. Der Satz beweist damit die Unmöglichkeit des Hilbertprogramms, welches von David Hilbert unter anderem begründet wurde, um die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen. Der Satz wurde 1931 vom österreichischen Mathematiker Kurt Gödel veröffentlicht. Genauer werden zwei Unvollständigkeitssätze unterschieden. Der Erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass es in hinreichend starken widerspruchsfreien Systemen immer unbeweisbare Aussagen gibt. Der Zweite Unvollständigkeitssatz besagt, dass hinreichend starke widerspruchsfreie Systeme ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen können. Durch diese Sätze ist der Mathematik eine prinzipielle Grenze gesetzt: Nicht jeder mathematische Satz kann aus den Axiomen eines mathematischen Teilgebietes (zum Beispiel Arithmetik, Geometrie und Algebra) formal abgeleitet oder widerlegt werden. In der Wissenschaftstheorie und in anderen Gebieten der Philosophie zählt der Satz zu den meistrezipierten der Mathematik. Das Buch Gödel, Escher, Bach und die Werke von John Randolph Lucas werden häufig exemplarisch hervorgehoben. (de)
  • Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas. El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse a partir de ellos. En particular, la conclusión del teorema se aplica siempre que la teoría aritmética en cuestión sea recursiva, esto es, una teoría en la que el proceso de deducción pueda llevarse a cabo mediante un algoritmo. La prueba del teorema es totalmente explícita y en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en términos de números naturales es verdadera. El segundo teorema de incompletitud es un caso particular del primero: afirma que una de las sentencias indecidibles de dicha teoría es aquella que «afirma» la consistencia de la misma. Es decir, que si el sistema de axiomas en cuestión es consistente, no es posible demostrarlo mediante dichos axiomas. Los teoremas de incompletitud de Gödel son uno de los grandes avances de la lógica matemática, y supusieron —según la mayoría de la comunidad matemática— una respuesta negativa al segundo problema de Hilbert. (es)
  • Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (en) (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). Ils ont marqué un tournant dans l'histoire de la logique en apportant une réponse formelle et négative à la question de la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le programme de Hilbert. Le premier théorème établit qu'une théorie suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique est nécessairement incomplète, au sens où il existe des énoncés qui n'y sont ni démontrables, ni réfutables (un énoncé est démontrable si on peut le déduire des axiomes de la théorie, il est réfutable si on peut déduire sa négation). On parle alors d'énoncés indécidables dans la théorie. Le second théorème traite le problème des preuves de cohérence d'une théorie : une théorie est cohérente s'il existe des énoncés qui n'y sont pas démontrables (ou, ce qui revient au même, si on ne peut y démontrer A et non A) ; par exemple on exprime souvent la cohérence de l'arithmétique par le fait que l'énoncé 0 = 1 n'y est pas démontrable. Sous des hypothèses à peine plus fortes que celles du premier théorème on peut construire un énoncé exprimant la cohérence d'une théorie dans le langage de celle-ci. Le second théorème affirme alors que si la théorie est cohérente cet énoncé ne peut pas en être conséquence, ce que l'on peut résumer par : « une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence ». (fr)
  • In logica matematica, i teoremi di incompletezza di Gödel sono due famosi teoremi dimostrati da Kurt Gödel nel 1931. Essi fanno parte dei teoremi limitativi, che precisano cioè le proprietà che i sistemi formali non possono avere. (it)
  • ゲーデルの不完全性定理(ゲーデルのふかんぜんせいていり、独: Gödelscher Unvollständigkeitssatz)又は単に不完全性定理とは、数学基礎論における重要な定理で、クルト・ゲーデルが1930年に証明したものである。 第1不完全性定理 自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。 第2不完全性定理 自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。 (ja)
  • De onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn twee stellingen over de beperkingen van formele systemen, beide bewezen door Kurt Gödel in 1931. Door deze onvolledigheidsstellingen gaf Gödel het platonisme binnen de wiskunde een nieuw elan. (nl)
  • Twierdzenie Gödla to jeden z najbardziej znanych rezultatów logiki matematycznej. W istocie znane są dwa różne twierdzenia Gödla: pierwsze z nich to twierdzenie o niezupełności, drugie zaś to jego wniosek nazywany też twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności. Oba twierdzenia zostały udowodnione w 1931 roku przez austriackiego matematyka i logika Kurta Gödla. Uważa się również, że twierdzenia te dają negatywną odpowiedź na drugi problem Hilberta, i w ten sposób mają spore znaczenie w filozofii matematyki. Oprócz rozpatrywanych w tym artykule twierdzeń, Gödel udowodnił też twierdzenie o istnieniu modelu i twierdzenie o nierozstrzygalności (patrz: teoria, struktura matematyczna). (pl)
  • Os teoremas da incompletude de Gödel são dois teoremas da lógica matemática que estabelecem limitações inerentes a quase todos os sistemas axiomáticos, exceto aos mais triviais. Os teoremas, provados por Kurt Gödel em 1931, são importantes tanto para a lógica matemática quanto para a filosofia da matemática. Os dois resultados são amplamente, mas não universalmente, interpretados como indicações de que o programa de Hilbert para encontrar um conjunto completo e consistente de axiomas para toda a matemática é impossível, dando uma resposta negativa para o segundo problema de Hilbert. O primeiro teorema da incompletude afirma que nenhum sistema consistente de axiomas, cujos teoremas podem ser listados por um “procedimento efetivo” (e.g., um programa de computador que pode ser qualquer tipo de algoritmo), é capaz de provar todas as verdades sobre as relações dos números naturais (aritmética). Para qualquer um desses sistemas, sempre haverá afirmações sobre os números naturais que são verdadeiras, mas que não podem ser provadas dentro do sistema. O segundo teorema da incompletude, uma extensão do primeiro, mostra que tal sistema não pode demonstrar sua própria consistência. * Teorema 1: "Qualquer teoria axiomática recursivamente enumerável e capaz de expressar algumas verdades básicas de aritmética não pode ser, ao mesmo tempo, completa e consistente. Ou seja, sempre há em uma teoria consistente proposições verdadeiras que não podem ser demonstradas nem negadas." * Teorema 2: "Uma teoria, recursivamente enumerável e capaz de expressar verdades básicas da aritmética e alguns enunciados da teoria da prova, pode provar sua própria consistência se, e somente se, for inconsistente." (pt)
  • Теоре́ма Гёделя о неполноте́ и втора́я теоре́ма Гёделя — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение. Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула. Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики. Обе эти теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1930 году (опубликованы в 1931) и имеют непосредственное отношение ко второй проблеме из знаменитого списка Гильберта. (ru)
  • 在数理逻辑中,哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。简单地说,第一条定理指出: 这条定理是在数学界以外最著名的定理之一,也是误解最多的定理之一。它是形式逻辑中的定理,所以容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理,但事实上是错误的。稍后我们可以看到一些。 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后,哥德尔证明了他的第二条定理。该定理指出: 这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。大卫·希尔伯特提出,像实分析那样较为复杂的体系的相容性,可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终,全部数学的相容性都可以归结为基本算术的相容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的相容性不能在自身内部证明,因此当然就不能用来证明比它更强的系统的相容性了。 (zh)
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  • Gödel incompleteness theorem
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  • 25بك المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016) مبرهنات عدم الاكتمال لغودل هي مبرهنتان في المنطق الرياضي تم برهانهما من قبل كورت غودل في عام 1931. وهما نظريتان تنصان على حدود جميع الأنظمة الشكلية في الحساب.تعتبر هاتان النظريتان مهمتين في فلسفة الرياضيات. وتستخدم لتظهر أنه من المستحيل بوساطة برنامج هيلبرت إيجاد مجموعة كاملة من البديهيات لكل علم الرياضيات، وبالتالي إعطاء جواب سلبي لمسألة هلبرت الثانية. (ar)
  • In logica matematica, i teoremi di incompletezza di Gödel sono due famosi teoremi dimostrati da Kurt Gödel nel 1931. Essi fanno parte dei teoremi limitativi, che precisano cioè le proprietà che i sistemi formali non possono avere. (it)
  • ゲーデルの不完全性定理(ゲーデルのふかんぜんせいていり、独: Gödelscher Unvollständigkeitssatz)又は単に不完全性定理とは、数学基礎論における重要な定理で、クルト・ゲーデルが1930年に証明したものである。 第1不完全性定理 自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。 第2不完全性定理 自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。 (ja)
  • De onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn twee stellingen over de beperkingen van formele systemen, beide bewezen door Kurt Gödel in 1931. Door deze onvolledigheidsstellingen gaf Gödel het platonisme binnen de wiskunde een nieuw elan. (nl)
  • Twierdzenie Gödla to jeden z najbardziej znanych rezultatów logiki matematycznej. W istocie znane są dwa różne twierdzenia Gödla: pierwsze z nich to twierdzenie o niezupełności, drugie zaś to jego wniosek nazywany też twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności. Oba twierdzenia zostały udowodnione w 1931 roku przez austriackiego matematyka i logika Kurta Gödla. Uważa się również, że twierdzenia te dają negatywną odpowiedź na drugi problem Hilberta, i w ten sposób mają spore znaczenie w filozofii matematyki. Oprócz rozpatrywanych w tym artykule twierdzeń, Gödel udowodnił też twierdzenie o istnieniu modelu i twierdzenie o nierozstrzygalności (patrz: teoria, struktura matematyczna). (pl)
  • 在数理逻辑中,哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。简单地说,第一条定理指出: 这条定理是在数学界以外最著名的定理之一,也是误解最多的定理之一。它是形式逻辑中的定理,所以容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理,但事实上是错误的。稍后我们可以看到一些。 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后,哥德尔证明了他的第二条定理。该定理指出: 这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。大卫·希尔伯特提出,像实分析那样较为复杂的体系的相容性,可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终,全部数学的相容性都可以归结为基本算术的相容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的相容性不能在自身内部证明,因此当然就不能用来证明比它更强的系统的相容性了。 (zh)
  • Gödel's incompleteness theorems are two theorems of mathematical logic that demonstrate the inherent limitations of every formal axiomatic system containing basic arithmetic. These results, published by Kurt Gödel in 1931, are important both in mathematical logic and in the philosophy of mathematics. The theorems are widely, but not universally, interpreted as showing that Hilbert's program to find a complete and consistent set of axioms for all mathematics is impossible. (en)
  • Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in formalen Systemen. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Leistungsfähigkeit auf. Er weist nach, dass es in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik, Aussagen geben muss, die man weder formal beweisen noch widerlegen kann. Der Satz beweist damit die Unmöglichkeit des Hilbertprogramms, welches von David Hilbert unter anderem begründet wurde, um die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen. Der Satz wurde 1931 vom österreichischen Mathematiker Kurt Gödel veröffentlicht. (de)
  • Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas. La prueba del teorema es totalmente explícita y en ella se construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en términos de números naturales es verdadera. (es)
  • Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (en) (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). Ils ont marqué un tournant dans l'histoire de la logique en apportant une réponse formelle et négative à la question de la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le programme de Hilbert. (fr)
  • Os teoremas da incompletude de Gödel são dois teoremas da lógica matemática que estabelecem limitações inerentes a quase todos os sistemas axiomáticos, exceto aos mais triviais. Os teoremas, provados por Kurt Gödel em 1931, são importantes tanto para a lógica matemática quanto para a filosofia da matemática. Os dois resultados são amplamente, mas não universalmente, interpretados como indicações de que o programa de Hilbert para encontrar um conjunto completo e consistente de axiomas para toda a matemática é impossível, dando uma resposta negativa para o segundo problema de Hilbert. (pt)
  • Теоре́ма Гёделя о неполноте́ и втора́я теоре́ма Гёделя — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение. Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула. Обе эти теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1930 году (опубликованы в 1931) и имеют непосредственное отношение ко второй проблеме из знаменитого списка Гильберта. (ru)
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  • Gödel's incompleteness theorems (en)
  • مبرهنات عدم الاكتمال لغودل (ar)
  • Gödelscher Unvollständigkeitssatz (de)
  • Teoremas de incompletitud de Gödel (es)
  • Théorèmes d'incomplétude de Gödel (fr)
  • Teoremi di incompletezza di Gödel (it)
  • ゲーデルの不完全性定理 (ja)
  • Onvolledigheidsstellingen van Gödel (nl)
  • Twierdzenie Gödla (pl)
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  • Теорема Гёделя о неполноте (ru)
  • 哥德尔不完备定理 (zh)
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