| dbpprop:abstract
|
- In mathematical logic, Gödel's incompleteness theorems, proved by Kurt Gödel in 1931, are two theorems stating inherent limitations of all but the most trivial formal systems for arithmetic of mathematical interest. The theorems are of considerable importance to the philosophy of mathematics. They are widely regarded as showing that Hilbert's program to find a complete and consistent set of axioms for all of mathematics is impossible, thus giving a negative answer to Hilbert's second problem.
- Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in Formalen Sprachen. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Mächtigkeit auf und weist nach, dass es in hinreichend mächtigen Systemen Aussagen gibt – und geben muss – die man weder formal beweisen, noch widerlegen kann. Der Satz findet sich in der Arbeit von Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. in: Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), S. 173 ff.
- En lògica matemàtica, els teoremes d'incompletesa de Gödel són dos cèlebres teoremes demostrats per Kurt Gödel l'any 1930. Simplificant, el primer teorema afirma: En qualsevol formalització consistent de les matemàtiques que sigui prou forta per definir el concepte de nombres naturals, es pot construir una afirmació que ni es pot demostrar ni es pot refutar dins d'aquest sistema. Aquest teorema és un dels més famosos fora de les matemàtiques i un dels pitjor compresos. És un teorema de lògica formal, i com a tal és fàcil malinterpretar-lo. N'hi ha molts que semblen similars a aquest primer teorema d'incompletesa de Gödel, però que en realitat no són certs (vegeu la secció «Malentesos en torn als teoremes de Gödel»). El segon teorema, que es demostra formalitzant part de la demostració del primer teorema dins el propi sistema, afirma: Cap sistema consistent es pot usar per demostrar-se a sí mateix. Aquest resultat fou devastador per a l'aproximació filosòfica a les matemàtiques conegudes com el programa de formalització de Hilbert. David Hilbert proposà que la consistència dels sistemes més complexos, tals com l'anàlisi real, es podien demostrar en termes de sistemes més senzills. Finalment, la consistència de totes les matemàtiques es podria reduir a l'aritmètica bàsica. El segon teorema d'incompletesa de Gödel demostra que l'aritmètica bàsica no es pot usar per demostrar la seva pròpia consistència i, per tant, tampoc pot demostrar la consistència de cap altre sistema més fort.
- Gödelovy věty o neúplnosti jsou dvě důležité matematické věty, které mají zcela výsadní postavení v celé moderní matematické logice. Důležitou roli však hrají v celé matematice, zejména pak v teorii modelů, aritmetice a v teorii množin. Dokázal je roku 1931 rakouský logik Kurt Gödel. Gödelovy věty jsou velmi významné i z hlediska filosofie matematiky, stanovují totiž hranice axiomatické metody v matematice. Plyne z nich například neproveditelnost takzvaného Hilbertova programu, který si kladl za cíl vytvořit bezespornou, úplnou teorii, s efektivně zadatelnou množinou axiomů, v níž by bylo možné interpretovat aritmetiku přirozených čísel.
- En lógica matemática, los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas demostrados por Kurt Gödel en 1930. Simplificando, el primer teorema afirma: Este teorema es uno de los más famosos fuera de las matemáticas, y uno de los peor comprendidos. Es un teorema en lógica formal, y como tal es fácil malinterpretarlo. Hay multitud de afirmaciones que parecen similares a este primer teorema de incompletud de Gödel, pero que en realidad no son ciertas. Éstas se comentan en Malentendidos en torno a los teoremas de Gödel. El segundo teorema de la incompletitud de Gödel, que se demuestra formalizando parte de la prueba del primer teorema dentro del propio sistema, afirma: Este resultado fue devastador para la aproximación filosófica a las matemáticas conocida como el programa de formalización Hilbert. David Hilbert propuso que la consistencia de los sistemas más complejos, tales como el análisis real, se podía probar en términos de sistemas más sencillos. Finalmente, la consistencia de todas las matemáticas se podría reducir a la aritmética básica. El segundo teorema de la incompletud de Gödel demuestra que la aritmética básica no se puede usar para demostrar su propia consistencia, y por lo tanto tampoco puede demostrar la consistencia de nada más fuerte.
- Gödelin epätäydellisyyslauseet ovat Kurt Gödelin vuonna 1931 todistamat kaksi lausetta. Epätäydellisyyslauseen mukaan lukuteorian sisältävä aksiomaattinen järjestelmä on epätäydellinen sillä aina on tosia lauseita, joita ei voi todistaa järjestelmän sisäisillä menetelmillä.
- Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, démontrés par Kurt Gödel en 1931 dans son article Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés).
- A Gödel-tétel ide irányít át. Más jelentéseihezd lásd a Gödel-tétel (egyértelműsítő lap) cikket. Gödel első nemteljességi tétele a matematikai logika és a metamatematika nagy jelentőségű tétele, mely destruktív hatást gyakorolt a matematika formális nyelvekre építő megalapozási kísérleteire. Amellett, hogy a tételnek az analitikus nyelvfilozófiában is fontos szerepe van, bizonyításának módszere nagyban hozzájárult a rekurzív matematika fejlődéséhez.
- In logica matematica, i teoremi di incompletezza di Gödel sono due famosi teoremi dimostrati da Kurt Gödel nel 1931. Essi fanno parte dei teoremi limitativi, che precisano cioè le proprietà che i sistemi formali non possono avere.
- ゲーデルの不完全性定理（ゲーデルのふかんぜんせいていり、独: Gödelsche Unvollständigkeitssatz）又は単に不完全性定理とは、数学基礎論における重要な定理の一つで、クルト・ゲーデルが1931年に発表したもの。 第1不完全性定理 自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。 第2不完全性定理 自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。
- De onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn twee stellingen over de beperkingen van formele systemen, beide bewezen door Kurt Gödel in 1931. Door deze onvolledigheidsstellingen gaf Gödel het platonisme binnen de wiskunde een nieuw elan.
- Twierdzenie Gödla to jeden z najbardziej znanych rezultatów logiki matematycznej. W istocie znane są dwa różne twierdzenia Gödla: pierwsze z nich to twierdzenie o niezupełności, drugie zaś to jego bezpośredni (równoważny) wniosek nazywany też twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności. Oba twierdzenia zostały udowodnione w 1931 roku przez austriackiego matematyka i logika Kurta Gödla. Uważa się również, że twierdzenia te dają negatywną odpowiedź na drugi problem Hilberta, i w ten sposób mają spore znaczenie w filozofii matematyki. Inne bardzo ważne twierdzenia Gödla to: twierdzenie o istnieniu modelu i twierdzenie o nierozstrzygalności.
- O teorema da incompletude de Gödel, às vezes também designado por teoremas da indecidibilidade, é o nome atribuído a dois resultados demonstrados por Kurt Gödel: Teorema 1: "Qualquer teoria axiomática recursivamente enumerável e capaz de expressar algumas verdades básicas de aritmética não pode ser, ao mesmo tempo, completa e consistente. Ou seja, sempre há em uma teoria consistente proposições verdadeiras que nao podem ser demonstradas ou negadas. " Teorema 2: "Uma teoria, recursivamente enumerável e capaz de expressar verdades básicas da aritmética e algumas verdades de probabilidade formal, pode provar sua própria consistência se, e somente se, for inconsistente. " O primeiro teorema garante a existência das chamadas proposições indecidíveis, ou seja, que nao podem ser provadas verdadeiras ou falsas em um dado sistema axiomático (e.g. a Hipótese do Continuum é indecidível no sistema ZFC). O segundo teorema impõe uma restrição a qualquer sistema axiomático: não é possível ser consistente e provar sua própria consistência, o que não impede que essa consistência seja provada por outro sistema (e.g. a consistência dos Axiomas de Peano da Aritmética podem ser provados através dos axiomas ZFC). Essas duas proposições, aparentemente simples, tiveram profunda repercussão no pensamento científico da época. O resultado foi devastador para uma abordagem filosófica à matemática conhecida como Programa de Hilbert. David Hilbert propôs que a consistência de sistemas mais complexos, como análise real, poderiam ser provados em termos de sistemas mais simples. Assim, a consistência de toda a matemática seria reduzida à aritmética básica. O segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que a aritmética básica não pode ser usada para provar sua própria consistência, portanto a proposta de Hilbert de reduzir a Matématica a um conjunto finito de axiomas completo e consistente (segundo problema de Hilbert) não podia ser possível.
- Теоремы Гёделя о неполноте — две теоремы математической логики о неполноте формальных систем определённого рода.
- Gödels (första) ofullständighetssats säger att : I varje motsägelsefritt formellt system som är tillräckligt komplext för att kunna beskriva aritmetik för naturliga tal, går det att formulera satser som varken kan bevisas eller motbevisas inom ramen för det formella systemet. Ett formellt system är här en välpreciserad metod för att härleda matematiska satser rent mekaniskt. Man kräver också att det går att mekaniskt räkna upp alla de satser som det formella systemet kan härleda. Exempelvis utesluter man idéer som att ta samtliga sanna aritmetiska satser som axiom i systemet. Gödel bevisade också en variant av sin sats, Gödels andra ofullständighetssats, som säger att: Inget "tillräckligt starkt" motsägelsefritt formellt system kan bevisa sin egen motsägelsefrihet. Tillräckligt stark i detta sammanhang betyder att systemet är tillräckligt kraftfullt för att det inom systemet ska gå att formulera de aritmetiska operationer som används i beviset av den första satsen. Gödels satser fick stor betydelse inom matematikfilosofin och de tankar som fanns både bland formalisterna, som strävade efter att axiomatisera hela matematiken och logicisterna som försökte bygga upp matematiken från logik. Gödels sats har också använts som argument för åsikten att maskiner aldrig kan göras intelligenta och att människan är förmer än en maskin, ett argument som fått kritik för att missbruka Gödels ursprungliga sats och generalisera dem utanför deras givna matematiska sammanhang. Problemet med dessa argument är oftast att de utgår från att människor kan göra saker som det inte finns belägg för att vi kan. Man brukar resonera så här: Eftersom jag som människa kan förstå att den sats som Gödel konstruerar måste vara sann, trots att detta inte kan bevisas i systemet, så måste jag kunna göra saker som systemet inte kan. Mitt medvetande är alltså inte ett motsägelsefritt formellt system. Alltså är jag inte en maskin. Det finns i huvudsak tre problem med detta, ett för varje rad i argumentet. För det första gäller ens insikt bara motsägelsefria system och det är i allmänhet svårt, även för människor, att kontrollera att ett system är motsägelsefritt. Man kan därför ifrågasätta huruvida man verkligen kan ha den insikt som nämns i den första punkten, i konkreta fall. För det andra motsäger inte ofullständighetssatsen hypotesen att ens medvetande är ett motsägelsefritt formellt system, ty även sådana kan bevisa att andra motsägelsefria system är ofullständiga. Det skulle ändå kunna vara så att det finns en sats som man inte kan bevisa vara sann, men som ett annat formellt system kan bevisa vara sann. För det tredje är det inte säkert att varje maskin med nödvändighet måste ha ett medvetande som är ett motsägelsefritt formellt system. Det skulle för det första kunna vara ett motsägelsefullt system. Det skulle också kunna avvika helt från definitionen av ett formellt system. Man skulle till exempel kunna bygga in slumpmässiga nycker i dess sätt att resonera. Även i de fall där en maskin är programmerad att resonera med hjälp av ett formellt system kan fel i hårdvaran göra att den inte uppför sig som den är avsedd att göra, exempelvis genom att en bit i minnet byter värde. Det skulle kunna leda till att maskinen "upptäcker" faktum som den inte skulle ha sett om den höll sig till sitt program. En sådan maskins "medvetande" skulle inte uppfylla förutsättningarna som gör Gödels bevis giltigt. Ofullständighetssatsen har jämförts med Heisenbergs obestämbarhetsrelation i kvantfysiken.
- Gödel'in çağdaşı olan ünlü matematikçi Hilbert, matematikteki tüm ispatların, belli bir yöntemle, yani aksiyomatik bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilirse, matematikteki tüm doğruları da bu aksiyomlardan elde edebilecekti. Gödel bunun olanaksızlığını gösterdi. Bunu kısaca şu şekilde yaptı: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilirse, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi. Ve Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır: Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise eksiksiz değildir. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir. İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır. KaynakGödel Teoreminin Yapay Zeka Üzerine Eksiklik Teoremi
- Ге́деля теоре́ма про неповноту́ — загальна назва двох теорем, що були доведені К. Геделем. Перша теорема Геделя про неповноту стверджує, що якщо формальна система арифметики несуперечлива, то в ній знайдеться формально нерозв’язне твердження, тобто така замкнута формула A, що ані A, ані ┐A не є теоремами цієї системи. Друга теорема Геделя про неповноту стверджує, що в якості A можна взяти формулу, яка природнім чином висловлює несуперечливість формальної арифметики. Перша і друга теореми Геделя про неповноту являють собою найважніші метатеореми. Вони довели нездійсненість в цілому програми Гільберта, яка передбачала повну формалізацію істотної частини математики і обґрунтування отриманої формальної системи шляхом доведення її несуперечливості фінітними методами.
- 在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。简单地说，第一条定理指出： 任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。 这条定理是在数学界以外最著名的定理之一，也是误解最多的定理之一。形式逻辑中有一条定理也同样容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上是错误的。稍后我们可以看到一些对哥德尔定理的误解。 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了他的第二条定理。该定理指出： 任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性。 这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。大卫·希尔伯特(David Hilbert)提出，像实分析那样较为复杂的体系的相容性，可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终，全部数学的相容性可以归结为基本算术的相容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的相容性不能在自身内部证明，因此当然就不能用来证明比它更强的系统的相容性了。
|
| rdfs:comment
|
- In mathematical logic, Gödel's incompleteness theorems, proved by Kurt Gödel in 1931, are two theorems stating inherent limitations of all but the most trivial formal systems for arithmetic of mathematical interest. The theorems are of considerable importance to the philosophy of mathematics. They are widely regarded as showing that Hilbert's program to find a complete and consistent set of axioms for all of mathematics is impossible, thus giving a negative answer to Hilbert's second problem.
- Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in Formalen Sprachen. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Mächtigkeit auf und weist nach, dass es in hinreichend mächtigen Systemen Aussagen gibt – und geben muss – die man weder formal beweisen, noch widerlegen kann.
- En lògica matemàtica, els teoremes d'incompletesa de Gödel són dos cèlebres teoremes demostrats per Kurt Gödel l'any 1930. Simplificant, el primer teorema afirma: En qualsevol formalització consistent de les matemàtiques que sigui prou forta per definir el concepte de nombres naturals, es pot construir una afirmació que ni es pot demostrar ni es pot refutar dins d'aquest sistema. Aquest teorema és un dels més famosos fora de les matemàtiques i un dels pitjor compresos.
- Gödelovy věty o neúplnosti jsou dvě důležité matematické věty, které mají zcela výsadní postavení v celé moderní matematické logice. Důležitou roli však hrají v celé matematice, zejména pak v teorii modelů, aritmetice a v teorii množin. Dokázal je roku 1931 rakouský logik Kurt Gödel. Gödelovy věty jsou velmi významné i z hlediska filosofie matematiky, stanovují totiž hranice axiomatické metody v matematice.
- En lógica matemática, los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas demostrados por Kurt Gödel en 1930. Simplificando, el primer teorema afirma: Este teorema es uno de los más famosos fuera de las matemáticas, y uno de los peor comprendidos. Es un teorema en lógica formal, y como tal es fácil malinterpretarlo. Hay multitud de afirmaciones que parecen similares a este primer teorema de incompletud de Gödel, pero que en realidad no son ciertas.
- Gödelin epätäydellisyyslauseet ovat Kurt Gödelin vuonna 1931 todistamat kaksi lausetta. Epätäydellisyyslauseen mukaan lukuteorian sisältävä aksiomaattinen järjestelmä on epätäydellinen sillä aina on tosia lauseita, joita ei voi todistaa järjestelmän sisäisillä menetelmillä.
- Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, démontrés par Kurt Gödel en 1931 dans son article Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés).
- A Gödel-tétel ide irányít át. Más jelentéseihezd lásd a Gödel-tétel (egyértelműsítő lap) cikket. Gödel első nemteljességi tétele a matematikai logika és a metamatematika nagy jelentőségű tétele, mely destruktív hatást gyakorolt a matematika formális nyelvekre építő megalapozási kísérleteire. Amellett, hogy a tételnek az analitikus nyelvfilozófiában is fontos szerepe van, bizonyításának módszere nagyban hozzájárult a rekurzív matematika fejlődéséhez.
- In logica matematica, i teoremi di incompletezza di Gödel sono due famosi teoremi dimostrati da Kurt Gödel nel 1931. Essi fanno parte dei teoremi limitativi, che precisano cioè le proprietà che i sistemi formali non possono avere.
- De onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn twee stellingen over de beperkingen van formele systemen, beide bewezen door Kurt Gödel in 1931. Door deze onvolledigheidsstellingen gaf Gödel het platonisme binnen de wiskunde een nieuw elan.
- Twierdzenie Gödla to jeden z najbardziej znanych rezultatów logiki matematycznej. W istocie znane są dwa różne twierdzenia Gödla: pierwsze z nich to twierdzenie o niezupełności, drugie zaś to jego bezpośredni (równoważny) wniosek nazywany też twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności. Oba twierdzenia zostały udowodnione w 1931 roku przez austriackiego matematyka i logika Kurta Gödla.
- O teorema da incompletude de Gödel, às vezes também designado por teoremas da indecidibilidade, é o nome atribuído a dois resultados demonstrados por Kurt Gödel: Teorema 1: "Qualquer teoria axiomática recursivamente enumerável e capaz de expressar algumas verdades básicas de aritmética não pode ser, ao mesmo tempo, completa e consistente. Ou seja, sempre há em uma teoria consistente proposições verdadeiras que nao podem ser demonstradas ou negadas.
- Теоремы Гёделя о неполноте — две теоремы математической логики о неполноте формальных систем определённого рода.
- Gödels (första) ofullständighetssats säger att : I varje motsägelsefritt formellt system som är tillräckligt komplext för att kunna beskriva aritmetik för naturliga tal, går det att formulera satser som varken kan bevisas eller motbevisas inom ramen för det formella systemet. Ett formellt system är här en välpreciserad metod för att härleda matematiska satser rent mekaniskt.
- Gödel'in çağdaşı olan ünlü matematikçi Hilbert, matematikteki tüm ispatların, belli bir yöntemle, yani aksiyomatik bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilirse, matematikteki tüm doğruları da bu aksiyomlardan elde edebilecekti. Gödel bunun olanaksızlığını gösterdi.
- Ге́деля теоре́ма про неповноту́ — загальна назва двох теорем, що були доведені К. Геделем.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
