| dbpprop:abstract
|
- Gödel's completeness theorem is a fundamental theorem in mathematical logic that establishes a correspondence between semantic truth and syntactic provability in first-order logic. It was first proven by Kurt Gödel in 1929. A first-order formula is called logically valid if it is true in every structure for its language. The completeness theorem shows that if a formula is logically valid then there is a finite deduction (a formal proof) of the formula. The deduction is a finite object that can be verified by hand or computer. This relationship between truth and provability establishes a close link between model theory and proof theory in mathematical logic. An important consequence of the completeness theorem is that it is possible to enumerate the logical consequences of any effective first-order theory, by enumerating all the correct deductions using axioms from the theory. Gödel's incompleteness theorem, referring to a different meaning of completeness, shows that if any sufficiently strong effective theory of arithmetic is consistent then there is a formula (depending on the theory) which can neither be proven nor disproven within the theory. Nevertheless the completeness theorem applies to these theories, showing that any logical consequence of such a theory is provable from the theory.
- Der Gödelsche Vollständigkeitssatz ist der Hauptsatz der mathematischen Logik. Er zeigt für ein formales System der Prädikatenlogik erster Stufe die Korrektheit und Vollständigkeit: Jeder Satz, der semantisch aus einer Formelmenge folgt, lässt sich mit den Schlussregeln des Systems aus der Formelmenge herleiten, und umgekehrt. Für die Logik erster Stufe sind also syntaktische und semantische Folgerung gleichbedeutend.
- Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky (také jen Gödelova věta o úplnosti či věta o úplnosti) je základní větou matematické logiky. Dává do souvislosti syntaktický pojem dokazatelnosti a sémantický pojem pravdivosti v modelu.
- El teorema de completitud de Gödel es un importante teorema de la lógica matemática, que fue demostrado por primera vez por Kurt Gödel en 1929 y que en su forma más conocida establece lo siguiente: La palabra "demostrable" significa que existe una deducción formal de la fórmula. La deducción consiste de una lista finita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante una básica regla de inferencia. A partir de dicha deducción, es posible verificar si cada uno de los pasos es correcto mediante un algoritmo (por ejemplo mediante una computadora, o a mano). Una fórmula es lógicamente válida si es verdadera en todo modelo para el lenguaje utilizado en la fórmula. Para expresar de manera formal el teorema de completitud de Gödel, se debe definir el significado de la palabra modelo en este contexto. Esta es una definición básica en la teoría de modelos.
- Le théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre a été démontré par Kurt Gödel (1929, thèse de doctorat, sur la complétude du calcul logique). Il affirme que le calcul des prédicats est complet au sens où toute proposition qui est vraie dans ce calcul peut être démontrée.
- Gödel teljességi tétele a matematikai logika fontos tétele, azt mondja ki, hogy ha egy elsőrendű elméletben egy tetszőleges mondat minden modellben igaz, akkor bizonyítható is.
- Il Teorema di completezza di Gödel è un teorema fondamentale della logica matematica ottenuto dal logico Kurt Gödel nel 1929. Esso stabilisce una corrispondenza tra verità semantica dimostrabilità logica nella logica del primo ordine. Una formaula del primo ordine è detta logicamente valida se è vera in ogni struttura del suo linguaggio. Il teorema di completezza mostra come se una formula è valida, allora esiste una prova della formula, ottenibile in numero finito di passi. La deduzione è dunque verificabile a mano o al calcolatore. La relazione tra verità e dimostrabilità stabilisce uno stretto legame tra teoria dei modelli e teoria della dimostrabilità nella logica matematica. Un'importante conseguenza del teorema di completezza è che è possibile enumerare le conseguenze logiche di ogni teoria del primo ordine, enumerandone tutte le deduzioni corrette usando gli assiomi della teoria. I teoremi di incompletezza di Gödel, riferendosi ad un differente significato di completezza, mostrano come se una sufficientemente potente formalizzazione dell'aritmetica è consistente, allora esiste una formula F, dipendente dalla formalizzazione scelta, di cui non si può dimostrare la verità né di F, né della sua negazione.
- ゲーデルの完全性定理（独: Gödelscher Vollständigkeitssatz）とは、一階述語論理における意味論的真理と統語論的立証性の対応を確立した数理論理学の基礎を成す定理である。1929年、クルト・ゲーデルが証明した。 一階述語論理の論理式が妥当であるとは、その言語のあらゆる構造についてそれが真であることを指す。完全性定理は、論理式が論理的に妥当ならば、その論理式の有限な演繹（形式的証明）が存在することを示した。その演繹は有限であり、人間またはコンピュータによって検証可能である。この真理値と立証可能性の関係により、数理論理学におけるモデル理論と証明論の密接な関係が確立された。 完全性定理の重要な帰結の1つとして、任意の一階の理論について、その理論の公理を使った正しい演繹を全て数え上げることで、論理的帰結を数え上げることが可能であると示された。 ゲーデルの不完全性定理（この場合の「完全性」の意味は異なる）は、十分に強力な算術理論が無矛盾なら、その理論体系内で真偽を証明できない論理式が存在することを示した。その場合も、そのような理論体系に完全性定理を適用でき、その理論体系における任意の論理的帰結はその理論体系内で証明可能である。
- O Teorema da completude de Gödel é um importante teorema da lógica matemática, demonstrado originalmente por Kurt Gödel, em 1929. Ele defende, em sua forma mais usual, que toda formula logicamente válida pode ser demonstrada no cálculo de predicados de primeira ordem, isto é, existe uma derivação formal para esta formula. Tal derivação é uma lista finita de passos em que cada passo é obtido através de um axioma, ou de regras de inferência básicas aplicadas a passos anteriores. Uma formula é dita logicamente válida se for verdadeira em todos os modelos da linguagem subjacente. Modelo neste contexto, define um conjunto universo a ser considerado e as devidas interpretações das funções e predicados de primeira ordem. Em outras palavras, o Teorema da Completude de Gödel diz que as regras de inferência da lógica de primeira ordem são completas no sentido de que nenhuma nova regra de inferência é necessária para dereivar todas as formulas logicamente válidas. O resultado dual à completude é a correção. O fato de que a Cálculo de predicados de primeira ordem é correto, ou seja, que somente sentenças logicamente válidas podem ser derivadas na lógica de primeira ordem, é garantido pelo Teorema da Correção.
- Теорема Геделя о полноте является одной из фундаментальных теорем математической логики: она устанавливает однозначную связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике первого порядка. Впервые эта теорема была доказана Куртом Гёделем в 1929.
- Теорема Геделя про повноту — твердження про повноту класичного числення предикатів: якщо предикатна формула істинна в будь-якій інтерпретації, то її можна вивести в численні предикатів. Доведена К. Геделем. Теорема Геделя про повноту є однією з найважливіших теорем математичної логіки. Вона демонструє, що класичне числення предикатів містить всі логічні закони, які можуть бути подані через предикативні формули. Відомі численні варіанти та узагальнення теореми Геделя про повноту. Наприклад, якщо з множин предикативних формул M неможливо вивести протиріччя за допомогою правил числення предикатів, то існує модель для M, тобто така інтерпретація, в якій істинні всі формули з M. Цей результат став однією з відправних точок при конструюванні теорії моделей.
- 哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在 1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。 上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验（比如通过计算机或手工）。 一个公式被称为“逻辑上有效”的，如果它在这个公式的语言的所有模型中都为真。为了形式的陈述哥德尔完备性定理，你必须定义这个上下文中词语“模型”的意义。这是模型论的基本定义。 在另一个方向上，哥德尔完备性定理声称一阶谓词演算的推理规则是“完备的”，在不需要额外的推理规则来证明所有逻辑上有效的公式的意义上。完备性的逆命题是“可靠性”。一阶谓词演算的实情是可靠的，就是说，只有逻辑上有效的陈述可以在一阶逻辑中证明，这是可靠性定理断言的。 处理在不同的模型中什么为真的数理逻辑分支叫做模型论。研究在特定形式系统中什么为可以形式证明的分支叫做证明论。完备性定理建立了在这两个分支之间的基本联系。给出了在语义和语法之间的连接。但完备性定理不应当被误解为消除了在这两个概念之间的区别；事实上另一个著名的结果哥德尔不完备定理，证实了对“在数学中什么是形式证明可以完成的”有着固有的限制。不完备定理的名声与另一种意义的“完备”有关，参见模型论。 更一般版本的哥德尔完备性定理成立。它声称对于任何一阶理论 T 和在这个理论中的任何句子 S，有一个 S 的自 T 的形式演绎，当且仅当 S 被 T 的所有模型满足。这个更一般的定理被隐含使用，例如，在一个句子被证实可以用群论的公理证明的时候，通过考虑一个任意的群并证实这个句子被这个群所满足。完备性定理是一阶逻辑的中心性质，不在所有逻辑中成立。比如二阶逻辑就没有完备性定理。 完备性定理等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理，在不带有选择公理的 Zermelo–Fraenkel 集合论中有着等价的可证明性。
|
| rdfs:comment
|
- Gödel's completeness theorem is a fundamental theorem in mathematical logic that establishes a correspondence between semantic truth and syntactic provability in first-order logic. It was first proven by Kurt Gödel in 1929. A first-order formula is called logically valid if it is true in every structure for its language. The completeness theorem shows that if a formula is logically valid then there is a finite deduction (a formal proof) of the formula.
- Der Gödelsche Vollständigkeitssatz ist der Hauptsatz der mathematischen Logik. Er zeigt für ein formales System der Prädikatenlogik erster Stufe die Korrektheit und Vollständigkeit: Jeder Satz, der semantisch aus einer Formelmenge folgt, lässt sich mit den Schlussregeln des Systems aus der Formelmenge herleiten, und umgekehrt. Für die Logik erster Stufe sind also syntaktische und semantische Folgerung gleichbedeutend.
- Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky (také jen Gödelova věta o úplnosti či věta o úplnosti) je základní větou matematické logiky. Dává do souvislosti syntaktický pojem dokazatelnosti a sémantický pojem pravdivosti v modelu.
- El teorema de completitud de Gödel es un importante teorema de la lógica matemática, que fue demostrado por primera vez por Kurt Gödel en 1929 y que en su forma más conocida establece lo siguiente: La palabra "demostrable" significa que existe una deducción formal de la fórmula. La deducción consiste de una lista finita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante una básica regla de inferencia.
- Le théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre a été démontré par Kurt Gödel (1929, thèse de doctorat, sur la complétude du calcul logique). Il affirme que le calcul des prédicats est complet au sens où toute proposition qui est vraie dans ce calcul peut être démontrée.
- Gödel teljességi tétele a matematikai logika fontos tétele, azt mondja ki, hogy ha egy elsőrendű elméletben egy tetszőleges mondat minden modellben igaz, akkor bizonyítható is.
- Il Teorema di completezza di Gödel è un teorema fondamentale della logica matematica ottenuto dal logico Kurt Gödel nel 1929. Esso stabilisce una corrispondenza tra verità semantica dimostrabilità logica nella logica del primo ordine. Una formaula del primo ordine è detta logicamente valida se è vera in ogni struttura del suo linguaggio. Il teorema di completezza mostra come se una formula è valida, allora esiste una prova della formula, ottenibile in numero finito di passi.
- O Teorema da completude de Gödel é um importante teorema da lógica matemática, demonstrado originalmente por Kurt Gödel, em 1929. Ele defende, em sua forma mais usual, que toda formula logicamente válida pode ser demonstrada no cálculo de predicados de primeira ordem, isto é, existe uma derivação formal para esta formula. Tal derivação é uma lista finita de passos em que cada passo é obtido através de um axioma, ou de regras de inferência básicas aplicadas a passos anteriores.
- Теорема Геделя о полноте является одной из фундаментальных теорем математической логики: она устанавливает однозначную связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике первого порядка. Впервые эта теорема была доказана Куртом Гёделем в 1929.
- Теорема Геделя про повноту — твердження про повноту класичного числення предикатів: якщо предикатна формула істинна в будь-якій інтерпретації, то її можна вивести в численні предикатів. Доведена К. Геделем.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
