In number theory and algebraic number theory, the Fundamental Theorem of Arithmetic (or Unique-Prime-Factorization Theorem) states that any integer greater than 1 can be written as a unique product (up to ordering of the terms) of prime numbers. For example, <math>6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2, \,\!</math> <math>1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2 .

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  • In number theory and algebraic number theory, the Fundamental Theorem of Arithmetic (or Unique-Prime-Factorization Theorem) states that any integer greater than 1 can be written as a unique product (up to ordering of the terms) of prime numbers. For example, <math>6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2, \,\!</math> <math>1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2 . \,\!</math> are two examples of numbers satisfying the hypothesis of the theorem, that can be written as the product of prime numbers. Intuitively, this theorem characterizes prime numbers uniquely in the sense that they are the "fundamental numbers. " Proof of existence of a prime factorization is straightforward: proof of uniqueness is more challenging. Some proofs use the fact that if a prime number p divides the product of two natural numbers a and b, then p divides either a or b, a statement known as Euclid's lemma. Since multiplication on the integers is both commutative and associative, it does not matter in what way we write a number greater than 1 as the product of primes; it is generally common to write the (prime) factors in the order of smallest to largest. Some natural extensions of the hypothesis of this theorem allow any non-zero integer to be expressed as the product of "prime numbers" and "invertibles. " For example, 1 and -1 are allowed to be factors of such representations (although they are not considered to be prime). In this way, one can extend the Fundamental Theorem of Arithmetic to any Euclidean domain or principal ideal domain bearing in mind certain alterations to the hypothesis of the theorem. A ring in which the Fundamental Theorem of Arithmetic holds, is called a unique factorization domain. Many authors assume 0 to be a natural number that has no prime factorization. Thus Theorem 1 of Hardy & Wright (1979) takes the form, "Every positive integer, except 1, is a product of primes," and Theorem 2 (their "Fundamental") asserts uniqueness. By convention, the number 1 is not itself prime, but since it is the product of no numbers, it is often convenient to include it in the theorem by the empty product rule. (See, for example, Calculating the gcd.)
  • El teorema fonamental de l'aritmètica afirma que Aquesta expressió d'un enter com a producte de nombres primers s'anomena factorització. Per exemple 6936 = 2 · 3 · 17 o 1200 = 2 · 3 · 5 i cap altra factorització d'aquests números és possible. Aquest procés demostra que els primers es poden considerar els elements bàsics a partir dels quals es construeixen tots els enters; en concret, ens dóna un coneixement complet de tots els factors d'un número. Per exemple, en el cas del 6936, de la factorització anterior, que recordem que és única, sabem que tots els possibles factors (no primers) de 6936 són 2 · 3 · 17 amb [0 ≤ a ≤ 3], [0 ≤ b ≤ 1] i [0 ≤ c ≤ 2]. Això dóna un total de 4 · 2 · 3 = 24 factors
  • Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel.
  • En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo, <math> 6936 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17^2 \, </math> <math> 1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \, </math> No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores. Por definición, un producto vacío tiene por resultado 1, con lo cual el teorema vale también para 1 si se toma como el producto de cero factores.
  • Aritmetiikan peruslause on lukuteorian perustulos. Sen mukaan jokainen positiivinen ykköstä suurempi kokonaisluku voidaan esittää yksikäsitteisesti alkulukujen tulona. Koska kertolasku on kommutatiivista, ei tekijöiden järjestyksellä ole väliä tulossa. Yleensä kuitenkin luku esitetään alkutekijöidensa tulona muodossa <math>n=p_1^{k_1}\cdot ... \cdot p_n^{k_n}</math>, missä <math>p_1<p_2<\ldots<p_n</math>.
  • En mathématiques, et en particulier en arithmétique élémentaire, le théorème fondamental de l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers ou théorème de factorisation unique s'énonce ainsi: Par exemple, nous pouvons écrire <math>6936=2^3\times3\times17^2</math> ou encore <math>1200=2^4\times3\times5^2</math> et il n'existe aucune autre factorisation de 6936 ou 1200 sous forme de produits de nombres premiers, excepté par réarrangement des facteurs ci-dessus. Le nombre 1 est le produit de zéro nombre premier, de sorte que le théorème est aussi vrai pour 1. Ce résultat se généralise sur d'autres ensembles comme les anneaux factoriels ou les polynômes à coefficients dans les nombres réels ou complexes .
  • A számelmélet alaptétele, röviden SzAT a számelmélet egyik legalapvetőbb tétele, mely szerint minden 1-nél nagyobb természetes szám felbomlik, méghozzá (a szorzótényezők sorrendjétől eltekintve) egyféleképpen, prímszámok szorzatára. Például: <math>12=2\cdot 2\cdot 3</math>. Ha összevonjuk az azonos tényezőket, így fogalmazhatunk: minden 1-nél nagyobb természetes szám pontosan egyféleképpen írható fel prímhatványok szorzataként: <math>12=2^2\cdot 3</math>. Ezt az „egyféle” felírást a szám kanonikus alakjának is nevezik. A kanonikus alak prímszámok összeszorzásával, hatványozásával, hatványszorzásával foglalkozik. Nehezebb a kimondása az egész számok körében: ha n 0-tól és egységelemtől (1, ‒1) különböző egész szám, akkor felírható prímek szorzataként és ha <math>n=p_1\cdots p_r=q_1\cdots q_s</math> két ilyen felírás, akkor <math>r=s</math> és a <math>p_1,\dots,p_r</math> illetve a <math>q_1,\dots,q_s</math> számok kölcsönösen megfeleltethetők egymásnak úgy, hogy az egymással megfeleltetett számok egymás asszociáltjai (azaz azonosak vagy egymás ellentettjei) <math>-12=(-2)\cdot 2\cdot 3=2\cdot 2 \cdot (-3)</math>. Különös módon, bár már Eukleidész is igazolt az alaptétellel ekvivalens állításokat és persze hallgatólagosan minden számelmélettel foglalkozó matematikus használta, először Gauss mondta ki és bizonyította be 1801-ben kiadott Disquisitiones Arithmeticae című művében.
  • Il Teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che L'enunciato è facilmente verificabile per numeri naturali "piccoli": è facile scoprire che 70 è pari a 2×5×7 e 100 equivale a 2×2×5×5 ovvero 2×5, è altrettanto facile verificare che per questi numeri non possono esistere altre scomposizioni in fattori primi. È per garantire l'unicità della fattorizzazione che il numero 1 non viene considerato primo; se 1 fosse primo, ogni numero avrebbe infinite fattorizzazioni diverse. Per esempio: 10 potrebbe essere scritto come 5×2, ma anche come 5×2×1, o ancora 5×2×1×1×... ×1; in questo modo la proprietà di unicità non sarebbe rispettata. Il teorema fu dimostrato esplicitamente per la prima volta da Gauss nelle Disquisitiones Arithmeticae; Euclide, negli Elementi, aveva dimostrato l'esistenza della fattorizzazione. La validità del teorema è, nella teoria degli anelli, la definizione di anello a fattorizzazione unica.
  • 算術の基本定理（さんじゅつのきほんていり、英:fundamental theorem of arithmetic）とは「すべての自然数は素数か、素数の積としてただ一通りに表すことができる数である」という数論における定理である。例えば120は 2×3×5 と素因数分解され、これ以外の素因数分解された形として表わすことはできない。なおここでは1は「0個の素因数の積」と考えることにする。
  • In de wiskunde, en in het bijzonder in de getaltheorie, zegt de hoofdstelling van de rekenkunde dat elk positief geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als het product van priemgetallen, en dat dit op exact één manier mogelijk is (afgezien van de volgorde van de priemgetallen). Bijvoorbeeld kunnen we het volgende schrijven: <math>6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2, \,\!</math> <math>1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2 . \,\!</math> en er bestaan geen andere ontbindingen van 6936 of 1200 in priemfactoren, afgezien van verwisselingen in de volgorde van bovenstaande factoren. Merk op dat als 1 een priemgetal zou zijn, de ontbinding in priemfactoren niet uniek zou zijn geweest. Bijvoorbeeld is 1200 = 1 · 2 · 3 · 5. Bij het bewijs van deze stelling wordt onder meer gebruikgemaakt van het Euclidische algoritme.
  • I tallteori så sier aritmetikkens fundamentalteorem at ethvert naturlig tall større enn 1 kan skrives som en unik kombinasjon av primtall. For eksempel er: <math>36 = 2^2 \times 3^2</math> <math>6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2</math> Det er ingen annen måte å faktorisere disse tallene på (dette kalles primtallsfaktoriseringen av de nevnte tallene). Dette betyr at primtallene kan ses på som en type "byggesteiner" som alle de andre heltallene består av. Fordi multiplikasjon er kommutativ, spiller det ingen rolle hvilken faktor som skrives først (og som regel skriver man de fra minste til høyeste).
  • Podstawowe twierdzenie arytmetyki – stwierdzenie, że każdą liczbę naturalną można rozłożyć na czynniki pierwsze. Dokładniejsze sformułowanie twierdzenia brzmi następująco: Każdą liczbę całkowitą dodatnią można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Rozkład ten dotyczy każdej liczby całkowitej dodatniej. W szczególności, liczbę pierwszą można przedstawić jako iloczyn zawierający jeden czynnik, a liczbę 1 można przedstawić jako iloczyn zawierający zero czynników.
  • O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores. Este teorema foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de Euclides.
  • Teorema fundamentală a aritmeticii sau Teorema factorizării unice este o teoremă care afirmă că orice număr întreg poate fi exprimat în mod unic ca produs de numere prime. Este un corolar al teoremelor lui Euclid.
  • Основна́я теоре́ма арифме́тики утверждает: Каждое натуральное число <math>n>1</math> представляется в виде <math>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</math>, где <math>p_1,\dots,p_k</math> — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением». Как следствие, каждое натуральное число <math>n</math> единственным образом представимо в виде <math>n=p_1^{d_1}\cdot\dots\cdot p_k^{d_k}</math>, где <math>p_1 < \dots < p_k</math> — простые числа, и <math>d_1,\dots,d_k</math> — некоторые натуральные числа.
  • Aritmetikens fundamentalsats är ett teorem inom matematik; mer specifikt inom den gren av matematik som kallas talteori. Satsen säger att de positiva heltalen (det vill säga talen 1,2,3,... ) är "uppbyggda" av de så kallade primtalen: Varje positivt heltal kan skrivas som en produkt av primtal på precis ett sätt. Frasen "på precis ett sätt" innebär att det finns endast en uppsättning primtal som ger det givna heltalet; så är exempelvis talet 6 "uppbyggt" av de två primtalen 2 och 3: <math>6 = 2 \cdot 3</math>, men även <math>6 = 3 \cdot 2</math>; man gör ingen skillnad på de två produkterna <math>2 \cdot 3</math> och <math>3 \cdot 2</math>.
  • Her doğal sayının sonlu sayıda asal sayının kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılabileceğini ifade eden teorem. İspatını ilk olarak Öklid yapmıştır.
  • В теорії чисел основна теорема арифметики стверджує, що будь-яке натуральне число більше одиниці може бути представлене у вигляді добутку простих чисел і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників. Теорема має численні застосування в елементарній арифметиці, є мірилом подільності для теорії многочленів, гауссових чисел та евклідових кілець взагалі.
  • 算术基本定理，又称为素數的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为素數的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。例如:6936 = <math>2^3</math>×3×<math>17^2</math>，1200 = <math>2^4</math>×3×<math>5^2</math>。 算术基本定理的内容由两部分构成： 分解的存在性： 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素數乘积的方式是唯一的。 算术基本定理是初等數論中一个基本的定理,也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。
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  • Hardy
  • Wright
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  • In number theory and algebraic number theory, the Fundamental Theorem of Arithmetic (or Unique-Prime-Factorization Theorem) states that any integer greater than 1 can be written as a unique product (up to ordering of the terms) of prime numbers. For example, <math>6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2, \,\!</math> <math>1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2 .
  • El teorema fonamental de l'aritmètica afirma que Aquesta expressió d'un enter com a producte de nombres primers s'anomena factorització. Per exemple 6936 = 2 · 3 · 17 o 1200 = 2 · 3 · 5 i cap altra factorització d'aquests números és possible. Aquest procés demostra que els primers es poden considerar els elements bàsics a partir dels quals es construeixen tots els enters; en concret, ens dóna un coneixement complet de tots els factors d'un número.
  • Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel.
  • En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo, <math> 6936 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17^2 \, </math> <math> 1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \, </math> No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos.
  • Aritmetiikan peruslause on lukuteorian perustulos. Sen mukaan jokainen positiivinen ykköstä suurempi kokonaisluku voidaan esittää yksikäsitteisesti alkulukujen tulona. Koska kertolasku on kommutatiivista, ei tekijöiden järjestyksellä ole väliä tulossa. Yleensä kuitenkin luku esitetään alkutekijöidensa tulona muodossa <math>n=p_1^{k_1}\cdot ... \cdot p_n^{k_n}</math>, missä <math>p_1<p_2<\ldots<p_n</math>.
  • A számelmélet alaptétele, röviden SzAT a számelmélet egyik legalapvetőbb tétele, mely szerint minden 1-nél nagyobb természetes szám felbomlik, méghozzá (a szorzótényezők sorrendjétől eltekintve) egyféleképpen, prímszámok szorzatára. Például: <math>12=2\cdot 2\cdot 3</math>.
  • Il Teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che L'enunciato è facilmente verificabile per numeri naturali "piccoli": è facile scoprire che 70 è pari a 2×5×7 e 100 equivale a 2×2×5×5 ovvero 2×5, è altrettanto facile verificare che per questi numeri non possono esistere altre scomposizioni in fattori primi. È per garantire l'unicità della fattorizzazione che il numero 1 non viene considerato primo; se 1 fosse primo, ogni numero avrebbe infinite fattorizzazioni diverse.
  • 算術の基本定理（さんじゅつのきほんていり、英:fundamental theorem of arithmetic）とは「すべての自然数は素数か、素数の積としてただ一通りに表すことができる数である」という数論における定理である。例えば120は 2×3×5 と素因数分解され、これ以外の素因数分解された形として表わすことはできない。なおここでは1は「0個の素因数の積」と考えることにする。
  • In de wiskunde, en in het bijzonder in de getaltheorie, zegt de hoofdstelling van de rekenkunde dat elk positief geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als het product van priemgetallen, en dat dit op exact één manier mogelijk is (afgezien van de volgorde van de priemgetallen). Bijvoorbeeld kunnen we het volgende schrijven: <math>6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2, \,\!</math> <math>1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2 .
  • I tallteori så sier aritmetikkens fundamentalteorem at ethvert naturlig tall større enn 1 kan skrives som en unik kombinasjon av primtall. For eksempel er: <math>36 = 2^2 \times 3^2</math> <math>6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2</math> Det er ingen annen måte å faktorisere disse tallene på (dette kalles primtallsfaktoriseringen av de nevnte tallene). Dette betyr at primtallene kan ses på som en type "byggesteiner" som alle de andre heltallene består av.
  • Podstawowe twierdzenie arytmetyki – stwierdzenie, że każdą liczbę naturalną można rozłożyć na czynniki pierwsze. Dokładniejsze sformułowanie twierdzenia brzmi następująco: Każdą liczbę całkowitą dodatnią można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Rozkład ten dotyczy każdej liczby całkowitej dodatniej.
  • O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores. Este teorema foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de Euclides.
  • Teorema fundamentală a aritmeticii sau Teorema factorizării unice este o teoremă care afirmă că orice număr întreg poate fi exprimat în mod unic ca produs de numere prime. Este un corolar al teoremelor lui Euclid.
  • Основна́я теоре́ма арифме́тики утверждает: Каждое натуральное число <math>n>1</math> представляется в виде <math>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</math>, где <math>p_1,\dots,p_k</math> — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
  • Aritmetikens fundamentalsats är ett teorem inom matematik; mer specifikt inom den gren av matematik som kallas talteori. Satsen säger att de positiva heltalen (det vill säga talen 1,2,3,... ) är "uppbyggda" av de så kallade primtalen: Varje positivt heltal kan skrivas som en produkt av primtal på precis ett sätt.
  • Her doğal sayının sonlu sayıda asal sayının kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılabileceğini ifade eden teorem. İspatını ilk olarak Öklid yapmıştır.
  • В теорії чисел основна теорема арифметики стверджує, що будь-яке натуральне число більше одиниці може бути представлене у вигляді добутку простих чисел і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників.
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  • Fundamental theorem of arithmetic
  • Teorema fonamental de l'aritmètica
  • Základní věta aritmetiky
  • Teorema fundamental de la aritmética
  • Aritmetiikan peruslause
  • Théorème fondamental de l'arithmétique
  • A számelmélet alaptétele
  • Teorema fondamentale dell'aritmetica
  • 算術の基本定理
  • Hoofdstelling van de rekenkunde
  • Aritmetikkens fundamentalteorem
  • Podstawowe twierdzenie arytmetyki
  • Teorema fundamental da aritmética
  • Teorema fundamentală a aritmeticii
  • Основная теорема арифметики
  • Aritmetikens fundamentalsats
  • Aritmetiğin temel teoremi
  • Основна теорема арифметики
  • 算术基本定理
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