| dbpprop:abstract
|
- Functional analysis is the branch of mathematics, and specifically of analysis, concerned with the study of vector spaces and operators acting upon them. It has its historical roots in the study of functional spaces, in particular transformations of functions, such as the Fourier transform, as well as in the study of differential and integral equations. This usage of the word functional goes back to the calculus of variations, implying a function whose argument is a function. Its use in general has been attributed to Italian mathematician and physicist Vito Volterra and its founding is largely attributed to Polish mathematician Stefan Banach.
- Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von Vektorräumen und stetigen Abbildungen auf solchen befasst. Hierbei werden Analysis, Topologie und Algebra verknüpft. Ziel dieser Untersuchungen ist es, abstrakte Aussagen zu finden, die sich auf verschiedenartige konkrete Probleme anwenden lassen. Von zentraler Bedeutung sind die Begriffe Funktional für eine Abbildung von Vektoren auf skalare Größen und Operator für eine Abbildung von Vektoren auf Vektoren. (Der Begriff des Operators ist eigentlich viel allgemeiner. Sinnvollerweise betrachtet man sie jedoch auf algebraisch und topologisch strukturierten Räumen, wie z. B. topologischen / metrischen / normierten Vektorräumen aller Art. ) Beispiele: Funktional: Folgengrenzwert, Norm, bestimmtes Integral Operator: Differentiation, unbestimmtes Integral, Faltung, Shift-Operatoren für Folgen Grundbegriffe der Analysis wie Stetigkeit, Ableitungen usw. werden in der Funktionalanalysis auf Funktionale und Operatoren erweitert. Gleichzeitig weitet man die Resultate der linearen Algebra auf topologisch lineare Räume aus, was mit sehr bedeutsamen Ergebnissen verbunden ist. Die historischen Wurzeln der Funktionalanalysis liegen im Studium der Fourier-Transformation (und ähnlicher Transformationen) und der Untersuchung von Differential- und Integralgleichungen. Der Wortbestandteil „funktional“ geht zurück auf die Variationsrechnung. Als Begründer der modernen Funktionalanalysis gelten Stefan Banach, Frigyes Riesz und Maurice René Fréchet.
- Funkcionální analýza je matematická disciplína spadající do matematické analýzy. Zabývá se studiem prostorů funkcí a operátorů na nich. Za zakladatele funkcionální analýzy je považován Stefan Banach.
- El análisis funcional es la rama de las matemáticas, y específicamente del análisis, que trata del estudio de espacios de funciones. Tienen sus raíces históricas en el estudio de transformaciones tales como transformación de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. La palabra funcional se remonta al cálculo de variaciones, implicando una función cuyo argumento es una función. Su uso en general se ha atribuido a Volterra. En la visión moderna inicial, se consideró el análisis funcional como el estudio de los espacios vectoriales normados completos sobre los reales o los complejos. Tales espacios se llaman Espacios de Banach. Un ejemplo importante es el espacio de Hilbert, donde la norma surge de un producto escalar. Estos espacios son de importancia fundamental en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Más general y modernamente, el análisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fréchet y otros espacios vectoriales localmente convexos y aún topológicos. Un objeto importante de estudio en análisis funcional son los operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y de Hilbert. Éstos conducen naturalmente a la definición de C* álgebra y otras álgebras de operadores. Los espacios de Hilbert pueden ser clasificados totalmente: hay un espacio único de Hilbert módulo isomorfismo para cada cardinal de la base (hilbertiana). Puesto que los espacios de Hilbert finito-dimensionales se entienden completamente en álgebra lineal, y puesto que los morfismos de los espacios de Hilbert se pueden dividir siempre en morfismos de espacios con dimensionalidad alef-0 (<math>\aleph_0</math>), análisis funcional de Hilbert trata sobre todo con el espacio único de Hilbert de dimensionalidad alef-0, y sus morfismos. Los espacios de Banach generales son mucho más complicados que los espacios de Hilbert. No hay definición clara de qué constituiría una base, por ejemplo. Para cualquier número real p ≥ 1, un ejemplo de un espacio de Banach viene dado por los espacios L). En los espacios de Banach, una gran parte del estudio involucra al espacio dual: el espacio de todas funcionales lineales continuas. Como en álgebra lineal, el dual del dual no es siempre isomorfo al espacio original, pero hay un monomorfismo natural de un espacio en su doble dual siempre. Esto se explica en el artículo espacio dual. La noción de derivada se amplía a las funciones arbitrarias entre los espacios de Banach; resulta que la derivada de una función en cierto punto es realmente una función lineal continua. Aquí enumeramos algunos resultados importantes del análisis funcional: Teorema de Banach-Steinhaus es un resultado en conjuntos equicontinuos de operadores. Teorema espectral da una fórmula integral para los operadores normales en un espacio de Hilbert. Es de importancia central en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Teorema de Hahn-Banach es sobre la extensión de funcionales continuos desde un subespacio a todo el espacio, de una manera que preserve la norma. Teorema de la función abierta y teorema de la gráfica cerrada. Teorema del punto fijo de Banach
- Funktionaalianalyysi on matematiikan, erityisesti matemaattisen analyysin, osa-alue, joka tutkii funktioavaruuksia. Funktionaalianalyysi sai alkunsa erilaisten muunnosten, kuten Fourier'n muunnoksen, tutkimisesta sekä differentiaali- ja integraaliyhtälöiden ratkaisujen tutkimisesta. Termi funktionaali on peräisin variaatiolaskennasta, ja tarkoittaa funktiota, joka saa argumenttinaan toisia funktioita. Käsitettä käytti ensimmäisinä laajemmalti Vito Volterra ja Stefan Banach.
- L'analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques et plus particulièrement de l'analyse qui étudie les espaces de fonctions. Elle prend ses racines historiques dans l'étude des transformations telles que la transformation de Fourier et dans l'étude des équations différentielles ou intégro-différentielles. Le terme fonctionnelle trouve son origine dans le cadre du calcul des variations, pour désigner des fonctions dont les arguments sont des fonctions. Son emploi a été généralisé à de nouveaux domaines par le mathématicien et physicien italien Vito Volterra. Le mathématicien polonais Stefan Banach est souvent considéré comme le fondateur de l'analyse fonctionnelle moderne.
- L'analisi funzionale è il settore della matematica e in particolare dell' analisi che si occupa dello studio di spazi di funzioni. Affonda le sue radici storiche nello studio delle trasformate come la trasformata di Fourier e nello studio delle equazioni differenziali e integrali. La parola 'funzionale' viene dal calcolo delle variazioni, e indica una funzione il cui argomento è una funzione. Il suo uso in senso più generale è attribuito a Volterra.
- 関数解析学（かんすうかいせきがく、functional analysis）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している。特定のクラスの関数からなるベクトル空間にある種の位相構造を定めた関数空間や、その公理化によって得られる線形位相空間の構造が研究される。主な興味の対象は、様々な関数空間上で積分や微分によって定義される線型作用素の振る舞いを通じた積分方程式や微分方程式の線型代数学的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い。
- Oorspronkelijk is functionaalanalyse de wiskundige analyse (meer bepaald de differentiaalrekening) toegepast op functies van functies. De oudste problemen in de functionaalanalyse zijn de extremaalproblemen van de variatierekening. Het gaat er daarbij om, een functie uit een gegeven klasse van functies te isoleren die een extreme (minimale of maximale) waarde van een of andere eigenschap bereikt. In documenten van de Europese Unie en van het Vlaamse Fonds voor Wetenschappelijk Onderzoek duikt het synoniem functieanalyse op.
- Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad transformacją Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi. Słowo funkcjonał pochodzi z rachunku wariacyjnego, gdzie oznacza funkcję, której argument jest funkcją (ale wartość jest liczbą). Prawdopodobnie, od słowa "funkcjonał" pochodzi nazwa "analiza funkcjonalna", chociaż w niej bada się także bardziej ogólne operatory, których zarówno argumenty jak i wartości są wektorami (to znaczy wartość może nie być liczbą). Uogólnieniem analizy funkcjonalnej jest teoria operatorów gdzie argumentami operatora mogą być dowolne obiekty matematyczne (to znaczy nie koniecznie wektory). Upowszechnienie analizy funkcjonalnej zawdzięcza się matematykowi i fizykowi Vito Volterze, a stworzenie jej podstaw przypisuje się Stefanowi Banachowi, aczkolwiek część wyników uzyskał niezależnie na początku drugiej połowy XIX wieku węgierski matematyk József Szoboszló, jego prace zaginęły jednak podczas rewizji żandarmerii cesarskiej i odkryto je dopiero w latach 90. XX wieku.
- A análise funcional é o ramo da matemática, e mais especificamente da análise, que trata do estudo de espaços de funções. Tem suas raízes históricas no estudo de transformações, tais como a Transformada de Fourier, e no estudo de equações diferenciais e equações integrais. A palavra funcional remonta ao cálculo de variações, implicando uma função cujo argumento é uma função. Seu uso em geral é atribuído a Volterra. Um grande impulso para o avanço da análise funcional durante o século XX foi a modelagem, devida a John von Neumann, da mecânica quântica em espaços de Hilbert. Entre os teoremas importantes da análise funcional, estão: teorema de Hahn-Banach teorema da função aberta teorema do ponto fixo de Banach teorema do ponto fixo de Schauder teorema de Banach-Alaoglu
- Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения. Например — пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют такие понятия, как мера, метрика, норма, скалярное произведение. Для рассмотрения отображений пространств вводятся такие термины, как «оператор» и «функционал».
- Funktionalanalys, gren av den moderna matematiken där funktionsrum, och oändligtdimensionella vektorrum i allmänhet, studeras. Man skulle kunna säga att funktionalanalys är ett slags studium av geometri och linjär algebra i oändligtdimensionella rum. En viktig skillnad från det ändligtdimensionella fallet är att den topologiska strukturen hos vektorrummet nu är av största betydelse. Bland dessa vektorrum är Banachrum och Hilbertrum av speciellt intresse, då dessa rum besitter vissa av de egenskaper vi känner igen från ändligtdimensionella vektorrum. Medan Hilbertrummen är de oändligtdimensionella rum som har flest sådana egenskaper, studerar man ofta topologiska vektorrum med mindre struktur, t ex Frechétrum, F-rum och LF-rum. Detta synsätt gör det möjligt att använda sig av intuition baserad på vanlig geometri för att studera funktioner. Exempelvis kan man överföra Pythagoras sats i klassisk geometri till en Pythagoras sats som gäller för funktioner i ett Hilbertrum.
- 1. Поняття простору. Найзагальнішими просторами, що фігурують в функціональному аналізі є топологічні векторні простори. Так називається векторний (лінійний) простір над полем комплексних чисел(або дійсних). На просторі може бути введена метрика — дійсна функція від двох аргументів, що належать цьому простору, результатом якої є «відстань» між цими елементами. Слово відстань використане тут в непрямому розумінні. Простір з метрикою називається метричним простором. Також відрізняють простори, на яких аксіоматично визначена норма елементу — «довжина» вектору x, ||x||. На нормованому просторі завжди можна ввести метрику у вигляді f(x, y)=||x-y||. Також у просторі можна визначити операцію скалярного добутку яку геометрично можна інтерпретувати як кут між елементами. Простори зі скалярним добутком називаються унітарними. Скалярний добуток породжує норму в просторі наступним чином: ||x||=(x, x). Простір який є повним відносно норми породженої скалярним добутком цього простору називається гільбертовим простором. «Вимірність» простору — максимальна кількість лінійно-незалежних елементів у цьому просторі. Безмежновимірний простір це простір, у якому для будь-якого натурального числа n існує n лінійно-незалежних елементів. 2. Функціонал — це відображення, що ставить у відповідність кожному елементу даного простору елемент з простору дійсних або комплексних чисел. Важливу роль в функціональному аналізі відіграють поняття неперервних функціоналів і лінійних функціоналів. Простір всіх лінійних обмежених і всюди визначених на просторі Х функціоналів називається спряженим до Х і позначається Х' або Х*. 3. Оператор — відображення, що ставить у відповідність елемент одного простору елементу з іншого. L(X,Y) — простір всіх лінійних, неперервних, всюди визначених в Х операторів. Переважно розглядаються випадки коли X i Y — нормовані або гільбертові простори. Оператор називається спряженим до оператора А і позначається А* якщо (А х, y)=(x,A* y). Дуже важливим є клас самоспряжених операторів — (A x, y)=(x,A y).
- 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
|
| rdfs:comment
|
- Functional analysis is the branch of mathematics, and specifically of analysis, concerned with the study of vector spaces and operators acting upon them. It has its historical roots in the study of functional spaces, in particular transformations of functions, such as the Fourier transform, as well as in the study of differential and integral equations. This usage of the word functional goes back to the calculus of variations, implying a function whose argument is a function.
- Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von Vektorräumen und stetigen Abbildungen auf solchen befasst. Hierbei werden Analysis, Topologie und Algebra verknüpft. Ziel dieser Untersuchungen ist es, abstrakte Aussagen zu finden, die sich auf verschiedenartige konkrete Probleme anwenden lassen.
- Funkcionální analýza je matematická disciplína spadající do matematické analýzy. Zabývá se studiem prostorů funkcí a operátorů na nich. Za zakladatele funkcionální analýzy je považován Stefan Banach.
- El análisis funcional es la rama de las matemáticas, y específicamente del análisis, que trata del estudio de espacios de funciones. Tienen sus raíces históricas en el estudio de transformaciones tales como transformación de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. La palabra funcional se remonta al cálculo de variaciones, implicando una función cuyo argumento es una función. Su uso en general se ha atribuido a Volterra.
- Funktionaalianalyysi on matematiikan, erityisesti matemaattisen analyysin, osa-alue, joka tutkii funktioavaruuksia. Funktionaalianalyysi sai alkunsa erilaisten muunnosten, kuten Fourier'n muunnoksen, tutkimisesta sekä differentiaali- ja integraaliyhtälöiden ratkaisujen tutkimisesta. Termi funktionaali on peräisin variaatiolaskennasta, ja tarkoittaa funktiota, joka saa argumenttinaan toisia funktioita. Käsitettä käytti ensimmäisinä laajemmalti Vito Volterra ja Stefan Banach.
- L'analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques et plus particulièrement de l'analyse qui étudie les espaces de fonctions. Elle prend ses racines historiques dans l'étude des transformations telles que la transformation de Fourier et dans l'étude des équations différentielles ou intégro-différentielles. Le terme fonctionnelle trouve son origine dans le cadre du calcul des variations, pour désigner des fonctions dont les arguments sont des fonctions.
- L'analisi funzionale è il settore della matematica e in particolare dell' analisi che si occupa dello studio di spazi di funzioni. Affonda le sue radici storiche nello studio delle trasformate come la trasformata di Fourier e nello studio delle equazioni differenziali e integrali. La parola 'funzionale' viene dal calcolo delle variazioni, e indica una funzione il cui argomento è una funzione. Il suo uso in senso più generale è attribuito a Volterra.
- Oorspronkelijk is functionaalanalyse de wiskundige analyse (meer bepaald de differentiaalrekening) toegepast op functies van functies. De oudste problemen in de functionaalanalyse zijn de extremaalproblemen van de variatierekening. Het gaat er daarbij om, een functie uit een gegeven klasse van functies te isoleren die een extreme (minimale of maximale) waarde van een of andere eigenschap bereikt.
- Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad transformacją Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi. Słowo funkcjonał pochodzi z rachunku wariacyjnego, gdzie oznacza funkcję, której argument jest funkcją (ale wartość jest liczbą).
- A análise funcional é o ramo da matemática, e mais especificamente da análise, que trata do estudo de espaços de funções. Tem suas raízes históricas no estudo de transformações, tais como a Transformada de Fourier, e no estudo de equações diferenciais e equações integrais. A palavra funcional remonta ao cálculo de variações, implicando uma função cujo argumento é uma função. Seu uso em geral é atribuído a Volterra.
- Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения. Например — пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций.
- Funktionalanalys, gren av den moderna matematiken där funktionsrum, och oändligtdimensionella vektorrum i allmänhet, studeras. Man skulle kunna säga att funktionalanalys är ett slags studium av geometri och linjär algebra i oändligtdimensionella rum. En viktig skillnad från det ändligtdimensionella fallet är att den topologiska strukturen hos vektorrummet nu är av största betydelse.
- 1. Поняття простору. Найзагальнішими просторами, що фігурують в функціональному аналізі є топологічні векторні простори. Так називається векторний (лінійний) простір над полем комплексних чисел(або дійсних).
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
