In mathematics, a function is a relation between a set of inputs and a set of permissible outputs with the property that each input is related to exactly one output. An example is the function that relates each real number x to its square x. The output of a function f corresponding to an input x is denoted by f(x) (read "f of x"). In this example, if the input is −3, then the output is 9, and we may write f(−3) = 9.

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  • 数学における関数(函数、かんすう、英語: function)とは、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事である。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。
  • En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente. De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural: Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial: Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español. La manera habitual de denotar una función f es: f: A → B  a → f(a), donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como: f: Z → N  k → k, o sencillamente f(k) = k; g: V → A  p → Inicial de p; si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}. Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.
  • In de wiskunde drukt een functie een afhankelijkheid uit van één element van een ander. Meestal wordt het begrip gebruikt in de traditionele context waarin deze elementen getallen zijn. Een functie f is dan een afbeelding van getallen, die voorschrijft wat de functiewaarde f(x) is van het argument x. De functie f(x) = 2x bijvoorbeeld bepaalt van elk reëel getal x als functiewaarde f(x) = 2x het dubbele van dit getal. Deze opvatting van het begrip functie is niet algemeen. Het begrip functie heeft in het Nederlandse taalgebied geen eenduidige betekenis, zij het dat de nuanceverschillen gering en van ondergeschikte betekenis zijn. Enerzijds is er de opvatting dat een functie een relatie is die voor ieder 'origineel' maximaal één 'beeld' heeft; dit wordt door sommigen ook wel een partiële functie genoemd. Anderzijds, ook in andere taalgebieden, is er de opvatting een functie als synoniem te beschouwen van afbeelding, dus een relatie die voor ieder 'origineel' precies één 'beeld' heeft, soms ook wel totale functie genoemd. In dit artikel wordt deze definitie gevolgd. Behalve elementaire functies op getallen kunnen functies ook afbeelding tussen algebraïsche structuren zoals groepen en afbeeldingen tussen meetkundige objecten, zoals variëteiten zijn. In de abstracte verzameling-theoretische benadering is een functie een relatie tussen het domein en het codomein dat elk element in het domein associeert met precies één element in het codomein. Een voorbeeld van een functie met domein {A, B, C} en codomein {1,2,3} associeert A met 1, B met 2 en C met 3.
  • Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x). Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, Função linear, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas..
  • In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, -Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, -Wert) zuordnet. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Transformationen, Operationen, Operatoren und vieles mehr.
  • Funkcja f (łac. function-, functio, „wykonanie”, od fungi, „wykonać, wypełnić, zwolnić”; być może spokr. z sanskr. bhuṅkte, „używa, cieszy się”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół: . Zbiór nazywa się dziedziną, a zbiór – przeciwdziedziną funkcji Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X do zbioru Y oznacza się często . Ponadto: dziedzinę czasami nazywa się zbiorem argumentów funkcji f, przeciwdziedzinę nazywa się czasem zbiorem wartości funkcji, każdy element x zbioru X nazywa się argumentem funkcji, każdy element y = f(x) nazywa się wartością funkcji, mówi się także, że f jest przekształceniem lub odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y, zbiór jest obrazem podzbioru A zbioru X w przekształceniu f, dla każdego elementu przeciwobrazem elementu b (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór ; jeśli, to . przeciwobrazem podzbioru nazywamy zbiór ; jeżeli, to
  • Ordet funktion syftar inom matematiken ofta på en regel som innebär att till ett invärde associeras ett utvärde, ofta beräknat med en matematisk formel. En mycket viktig egenskap hos funktioner är att de är deterministiska (det vill säga konsekventa, så att varje invärde alltid ger samma utvärde). Detta gör att funktionen kan ses som en mekanism, en maskin, som systematiskt levererar rätt utvärde så fort man stoppar in ett invärde. I tekniska sammanhang brukar invärdet kallas ’’argument’’ och utvärdet för ’’värdet’’.
  • In mathematics, a function is a relation between a set of inputs and a set of permissible outputs with the property that each input is related to exactly one output. An example is the function that relates each real number x to its square x. The output of a function f corresponding to an input x is denoted by f(x) (read "f of x"). In this example, if the input is −3, then the output is 9, and we may write f(−3) = 9. The input variable(s) are sometimes referred to as the argument(s) of the function. Functions are "the central objects of investigation"{{#invoke:Footnotes|sfn}} in most fields of modern mathematics. There are many ways to describe or represent a function. Some functions may be defined by a formula or algorithm that tells how to compute the output for a given input. Others are given by a picture, called the graph of the function. In science, functions are sometimes defined by a table that gives the outputs for selected inputs. A function can be described through its relationship with other functions, for example as an inverse function or as a solution of a differential equation. The input and output of a function can be expressed as an ordered pair, ordered so that the first element is the input (or tuple of inputs, if the function takes more than one input), and the second is the output. In the example above, f(x) = x, we have the ordered pair (−3, 9). If both input and output are real numbers, this ordered pair can be viewed as the Cartesian coordinates of a point on the graph of the function. But no picture can exactly define every point in an infinite set. In modern mathematics, a function is defined by its set of inputs, called the domain, a set containing the outputs, called its codomain, and the set of all paired input and outputs, called the graph. For example, we could define a function using the rule f(x) = x by saying that the domain and codomain are the real numbers, and that the ordered pairs are all pairs of real numbers (x, x). Collections of functions with the same domain and the same codomain are called function spaces, the properties of which are studied in such mathematical disciplines as real analysis and complex analysis. In analogy with arithmetic, it is possible to define addition, subtraction, multiplication, and division of functions, in those cases where the output is a number. Another important operation defined on functions is function composition, where the output from one function becomes the input to another function.
  • En mathématiques, une fonction est un concept dont la définition a évolué depuis son introduction par Leibniz à la fin du XVII siècle. D'abord associée à une courbe du plan, la notion est ensuite développée par Jean Bernoulli puis Euler comme résultat de la combinaison d'opérations à partir d'une variable et d'éventuels paramètres constants. Le lien entre l'expression d'une fonction et sa courbe représentative mène à l'élargissement de la notion en admettant des définitions par morceaux (en) puis des courbes qui ne peuvent être obtenues par des expressions analytiques. La condition de continuité est formalisée par Bolzano et Cauchy au début du XIX siècle, puis contournée par Dirichlet avec l'indicatrice des rationnels. Parallèlement, le domaine de la variable s'ouvre aux nombres complexes. Au début du XX siècle, les fonctions acceptent plusieurs variables, puis peuvent être définies sur un ensemble quelconque. Sous l'impulsion de Fréchet, la valeur d'une fonction suit la même généralisation. Avec la théorie des ensembles, la notion de fonction recouvre toute relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier ne peut être en relation avec deux éléments distincts du second. Une application apparait alors comme un cas particulier de fonction. La théorie de l'intégration et l'analyse fonctionnelle vont plus loin en considérant des fonctions presque partout définies, nécessaires pour obtenir une structure d'espace de Banach sur les espaces L de fonctions -intégrables. En analyse complexe, le prolongement analytique des fonctions holomorphes entraine la prise en compte de fonctions multivaluées sur l'ensemble des complexes, réalisées formellement comme des fonctions classiques définies sur une surface de Riemann. L'utilisation intensive des fonctions en physique a souvent motivé les généralisations de la notion de fonction, comme celle de distribution, donnant un sens à la fonction de Dirac.
  • In matematica, una funzione, anche detta applicazione, mappa o trasformazione, è definita dai seguenti oggetti: Un insieme detto dominio della funzione . Un insieme detto codominio della funzione . Una relazione che ad ogni elemento dell'insieme associa uno ed un solo elemento dell'insieme, indicandolo con . Si dice che è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre o è un valore della variabile dipendente della funzione. I sinonimi "trasformazione" e "mappa" sono utilizzati specialmente in ambito geometrico, mentre quando si trattano funzioni lineari tra spazi vettoriali si usa talvolta il termine "operatore". Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che la pressione di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e del suo volume si sta facendo un'affermazione interna ad un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione, il valore di quest'ultima viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri.
  • Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества. Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной однозначно определяет значение выражения, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные. Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.
  • 在数学中,一个函数是描述每个输入值对应唯一输出值的这种对应关系,符号为 。讀作f of x。其中x為自變量,為應變量。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域,包含所有的输出值的集合被称作值域。 函数有多种方法来表示。如解析式,图像,表格 例如,表达式 表示了一个函数 ,其中每个输入值 都与唯一输出值相联系。因此,如果一个输入值为3,那么它所对应的输出值为9。一旦一个函数 被定义,例如,就可以被写为。 在数学中,用像 这样临时的名字来表述函数是一个不常见的操作;在下一段中我们也许会定义,那么。当不需要函数名称的时候,我们经常使用这样的格式。 。 一个函数的基本特质是,对于每一个输入值都有唯一输出值与其对应。因此,例如, 表示 的平方根为 它并不被定义为一个函数,因为它可能含有两个输出值。例如,9的平方根是3和-3。要将一个平方根定义为一个函数,必须明确地选择一个平方根。定义 表示 的正平方根为 亦即对于任何非负输入值,选择其非负平方根作为函数值。 函数并不一定与数字有关。例如,指定每个国家当前的首都,那么,在这个函数裡, 。 一个更精确,但是仍然非正式的定义如下。令A和B为两个集合。在一个从A到B的函数中,对于A每个元素x,B中都有一个被限定的唯一元素y与其对应。集合A被称为函数的定义域,而集合B被称为函数的陪域。 在一些文章——比如lambda演算——的观念中,函数可能被认为是原始的、结构不全面、不完整的,而不是被完善的理论所定义的。 在更广的数学领域内,术语对应、映射、变换通常是函数的同义词或近义词。无论如何在一些文章中它们也许会被定义为更多的专业含义。例如,在拓扑里一个对应关系有时被定义成一个连续函数。
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  • The above diagram represents a function with domain , codomain and set of ordered pairs . The image is .
  • However, this second diagram does not represent a function, since 2 is the first element in more than one ordered pair. In particular, and are both elements of the set of ordered pairs.
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  • Function
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  • Function
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  • In de wiskunde drukt een functie een afhankelijkheid uit van één element van een ander. Meestal wordt het begrip gebruikt in de traditionele context waarin deze elementen getallen zijn. Een functie f is dan een afbeelding van getallen, die voorschrijft wat de functiewaarde f(x) is van het argument x. De functie f(x) = 2x bijvoorbeeld bepaalt van elk reëel getal x als functiewaarde f(x) = 2x het dubbele van dit getal. Deze opvatting van het begrip functie is niet algemeen.
  • In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, -Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, -Wert) zuordnet.
  • Funkcja f (łac. function-, functio, „wykonanie”, od fungi, „wykonać, wypełnić, zwolnić”; być może spokr. z sanskr. bhuṅkte, „używa, cieszy się”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół: . Zbiór nazywa się dziedziną, a zbiór – przeciwdziedziną funkcji Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X do zbioru Y oznacza się często .
  • Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x).
  • 数学における関数(函数、かんすう、英語: function)とは、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事である。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。
  • Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества. Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины.
  • En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r.
  • Ordet funktion syftar inom matematiken ofta på en regel som innebär att till ett invärde associeras ett utvärde, ofta beräknat med en matematisk formel. En mycket viktig egenskap hos funktioner är att de är deterministiska (det vill säga konsekventa, så att varje invärde alltid ger samma utvärde). Detta gör att funktionen kan ses som en mekanism, en maskin, som systematiskt levererar rätt utvärde så fort man stoppar in ett invärde.
  • In mathematics, a function is a relation between a set of inputs and a set of permissible outputs with the property that each input is related to exactly one output. An example is the function that relates each real number x to its square x. The output of a function f corresponding to an input x is denoted by f(x) (read "f of x"). In this example, if the input is −3, then the output is 9, and we may write f(−3) = 9.
  • En mathématiques, une fonction est un concept dont la définition a évolué depuis son introduction par Leibniz à la fin du XVII siècle. D'abord associée à une courbe du plan, la notion est ensuite développée par Jean Bernoulli puis Euler comme résultat de la combinaison d'opérations à partir d'une variable et d'éventuels paramètres constants.
  • In matematica, una funzione, anche detta applicazione, mappa o trasformazione, è definita dai seguenti oggetti: Un insieme detto dominio della funzione . Un insieme detto codominio della funzione . Una relazione che ad ogni elemento dell'insieme associa uno ed un solo elemento dell'insieme, indicandolo con . Si dice che è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre o è un valore della variabile dipendente della funzione.
  • 在数学中,一个函数是描述每个输入值对应唯一输出值的这种对应关系,符号为 。讀作f of x。其中x為自變量,為應變量。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域,包含所有的输出值的集合被称作值域。 函数有多种方法来表示。如解析式,图像,表格 例如,表达式 表示了一个函数 ,其中每个输入值 都与唯一输出值相联系。因此,如果一个输入值为3,那么它所对应的输出值为9。一旦一个函数 被定义,例如,就可以被写为。 在数学中,用像 这样临时的名字来表述函数是一个不常见的操作;在下一段中我们也许会定义,那么。当不需要函数名称的时候,我们经常使用这样的格式。 。 一个函数的基本特质是,对于每一个输入值都有唯一输出值与其对应。因此,例如, 表示 的平方根为 它并不被定义为一个函数,因为它可能含有两个输出值。例如,9的平方根是3和-3。要将一个平方根定义为一个函数,必须明确地选择一个平方根。定义 表示 的正平方根为 亦即对于任何非负输入值,选择其非负平方根作为函数值。 函数并不一定与数字有关。例如,指定每个国家当前的首都,那么,在这个函数裡, 。 一个更精确,但是仍然非正式的定义如下。令A和B为两个集合。在一个从A到B的函数中,对于A每个元素x,B中都有一个被限定的唯一元素y与其对应。集合A被称为函数的定义域,而集合B被称为函数的陪域。 在一些文章——比如lambda演算——的观念中,函数可能被认为是原始的、结构不全面、不完整的,而不是被完善的理论所定义的。 在更广的数学领域内,术语对应、映射、变换通常是函数的同义词或近义词。无论如何在一些文章中它们也许会被定义为更多的专业含义。例如,在拓扑里一个对应关系有时被定义成一个连续函数。
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  • 函数
  • Funktion (Mathematik)
  • Function (mathematics)
  • Función matemática
  • Fonction (mathématiques)
  • Funzione (matematica)
  • 関数 (数学)
  • Functie (wiskunde)
  • Funkcja
  • Função
  • Функция (математика)
  • Funktion
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