In the mathematical discipline of set theory, forcing is a technique invented by Paul Cohen for proving consistency and independence results. It was first used, in 1962, to prove the independence of the continuum hypothesis and the axiom of choice from Zermelo–Fraenkel set theory. Forcing was considerably reworked and simplified in the sixties, and has proven to be an extremely powerful technique both within set theory and in other areas of mathematical logic such as recursion theory.

PropertyValue
dbpprop:abstract
  • In the mathematical discipline of set theory, forcing is a technique invented by Paul Cohen for proving consistency and independence results. It was first used, in 1962, to prove the independence of the continuum hypothesis and the axiom of choice from Zermelo–Fraenkel set theory. Forcing was considerably reworked and simplified in the sixties, and has proven to be an extremely powerful technique both within set theory and in other areas of mathematical logic such as recursion theory. Descriptive set theory uses both the notion of forcing from recursion theory as well as set theoretic forcing. Forcing has also been used in model theory but it is common in model theory to define genericity directly without mention of forcing.
  • Forcing ist eine Technik in dem mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre um Unabhängigkeitsresultate zu beweisen. Mit Unabhängigkeit ist in diesem Zusammenhang die Unabhängigkeit vom üblichen Axiomensystem ZFC der Mengenlehre für Aussagen, die sich in der Sprache der Mengenlehre formulieren lassen, gemeint. Gefunden und erstmals angewendet wurde Forcing von Paul Cohen 1962 um die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese und des Auswahlaxioms zu zeigen. Die Grundidee des Forcings besteht darin, ein gegebenes (abzählbares) Modell <math> M </math> der Mengenlehre in kontrollierter Weise zu einem neuen Modell der Mengenlehre zu vergrößern. In diesem größeren Universum können sich dann neue Mengen befinden wie etwa neue Teilmengen der natürlichen Zahlen <math>\omega = \{1,2,\ldots\}</math>. An dieser Stelle sei angemerkt, dass dieser Ansatz formal folgendes Problem mit sich zieht: Um überhaupt ein Modell der Mengenlehre zu haben, muss man zusätzlich zu den gängigen Axiomen der Mengenlehre die Konsistenz der übrigen Axiome fordern. Diese zusätzliche Voraussetzung ist überflüssig. Um Forcing zu erklären wird dieser Ansatz dennoch oft gewählt. Im Folgenden soll in Grundzügen die Konstruktion vorgestellt werden und nachfolgend einige Anwendungen des Forcings beschrieben werden.
  • Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.
  • En mathématiques, le forcing est une méthode inventée par Paul Cohen pour prouver des résultats de consistance et d'indépendance en théorie des ensembles. Elle a été utilisée pour la première fois en 1962 pour prouver l'indépendance de l'hypothèse du continu vis-à-vis de la théorie ZFC. Le forcing a été notablement remanié et simplifié dans les années soixante et s'est révélé être une technique extrêmement puissante, à la fois en théorie des ensembles et dans d'autres branches de la logique mathématique.
  • A forszolás (forcing) mint a relatív konzisztencia bizonyításokra alkalmas módszer, a modern matematika történetének egyik legújabb nagy eredménye. A módszer halmazelméleti kidolgozója Paul Cohen, aki a forszolással sikeresen bizonyította a kontinuum-hipotézis függetlenségét. A másik jelentős eredmény, amit Cohen maga bizonyított a forszolás segítségével, a kiválasztási axióma függetlensége. A forszolás alapgondolata, hogy a halmazelmélet egy tranzitív modelljét (the ground model) úgy bővítjük, hogy hozzáveszünk egy új G halmazt (a generic set), hogy ezáltal a halmazelméletnek egy tágabb tranzitív modelljéhez jussunk M[G], amit eztán bővebb modellnek (generic extension) nevezünk. A G halmaz közelítése az alapmodellben meghatározott forszolási feltételek által történik, s e feltételek megfelelő kiválasztása meghatározza, hogy mi igaz a bővebb modellben. A módszer 1963-as bevezetése óta a forszolás számos esetben került alkalmazásra, sőt, (bizonyos továbbfejlesztéseknek köszönhetően) gyakorlatilag meghatározó szerepe lett a modellmódszeres relatív konzisztencia bizonyítások körében.
  • Forsing – metoda dowodzenia niesprzeczności i niezależności zdań teorii mnogości względem aksjomatów Zermelo-Fraenkela. Można powiedzieć, że forsing to jedna z metod używanych w matematyce, aby ściśle udowodnić że pewnych stwierdzeń nie można udowodnić ani obalić (ten ostatni termin oznacza udowodnienie zaprzeczenia). Należy zauważyć, że polska terminologia w teorii forsingu nie jest jednoznacznie ustalona, chociaż polskojęzyczni matematycy mieli (i mają) bardzo poważny wkład w rozwój tej teorii. Angielskie zwroty forcing i forcing relation tłumaczone są jako forsing, forcing, wymuszanie oraz relacja forsingu, relacja forcingu lub relacja wymuszania. W tym artykule zastosowano fonetyczną interpretację nazewnictwa angielskiego.
  • Inom mängdteorin är forcing en metod för att konstruera universa för mängdteorin i syfte att visa att vissa mängdteoretiska påståenden är oavgörbara, det vill säga varken kan bevisas eller motbevisas utifrån mängdteorins axiom. Metoden utvecklades av Paul Cohen för att konstruera ett universum där <math>2^{\aleph_0}=\aleph_2</math> och därigenom visa att kontinuumhypotesen inte kan bevisas i ZFC.
  • 在数学学科集合论中，力迫是 保罗·寇恩（Paul J. Cohen）发明的一种技术，用来证明与 Zermelo-Fraenkel 公理有关的一致性和独立性结果。它在1962年首次被用来证明连续统假设和选择公理对 Zermelo-Fraenkel 集合论的独立性。实际上在寇恩正式引入力迫法前，它已经被广泛地应用于递归论中。寇恩的力迫法最初是建立在分歧分层（ramified hierarchy）上，难于理解。1960年代通过索罗维（Solovay）与斯科特（Scott）等人的努力力迫法被相当程度的重做和简化。 力迫法大致是一种扩张模型的方法。给定一个模型<math>M</math>以及模型内一个偏序<math>(P,\leq)</math>, 通过构造通集(generic)<math>G\subseteq P</math>来实现模型的扩张。因为通集不在<math>M</math>内，所以这是一个真正的扩张。记为<math>M[G]</math>. 它有以下性质: 1. 对于<math>M[G]</math>中所有元素<math>x</math>,都可以在<math>M</math>中找到一个对应的元素<math>\dot{x}</math>,即所谓的名(name). 2. 存在一个<math>M</math>可定义的关系成为力迫(<math>\Vdash</math>)使得对于任何一个命题<math>\varphi(x)</math>, <math>M[G]</math>满足<math>\varphi(x)</math>当且仅当存在<math>p\in G</math>使得<math>p\Vdash \varphi(\dot{x})</math>. 即<math>M[G]</math>中的满足关系是可以在<math>M</math>中定义的即使这种定义具有非常强的非一致性（它严重地依赖参数p）. 2是非常重要的一条性质。它说明力迫法对于模型的扩张是“非常小的". 扩张的模型牢牢地被原来的模型控制住，使得我们能够通过原来的模型获得扩张模型的大量的信息。在数学技巧上例如它使得我们能够对扩张模型的基数是否仍然保持住做强有力推断。 索罗维后来对力迫法进行了非常深入地研究。他(与Tennenbaum)引入了迭代力迫并用有限支撑迭代力迫证明了苏斯林猜想(Suslin hypothesis)。勒维(Laver)引入可数支撑迭代力迫证明了波雷尔猜想(Borel's conjecture),从而导致了正常力迫(proper forcing)的引入。现在力迫法已经成为集合论中不可缺少的工具。 而且通过乌丁(Woodin)等人的工作，力迫的意义也远远不仅是集合论的一项工具。
dbpprop:first
  • V.N.
dbpprop:forProperty
dbpprop:hasPhotoCollection
dbpprop:id
  • F/f040770
dbpprop:last
  • Grishin
dbpprop:reference
dbpprop:title
  • Forcing method
dbpprop:wikiPageUsesTemplate
rdfs:comment
  • In the mathematical discipline of set theory, forcing is a technique invented by Paul Cohen for proving consistency and independence results. It was first used, in 1962, to prove the independence of the continuum hypothesis and the axiom of choice from Zermelo–Fraenkel set theory. Forcing was considerably reworked and simplified in the sixties, and has proven to be an extremely powerful technique both within set theory and in other areas of mathematical logic such as recursion theory.
  • Forcing ist eine Technik in dem mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre um Unabhängigkeitsresultate zu beweisen. Mit Unabhängigkeit ist in diesem Zusammenhang die Unabhängigkeit vom üblichen Axiomensystem ZFC der Mengenlehre für Aussagen, die sich in der Sprache der Mengenlehre formulieren lassen, gemeint. Gefunden und erstmals angewendet wurde Forcing von Paul Cohen 1962 um die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese und des Auswahlaxioms zu zeigen.
  • Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20.
  • En mathématiques, le forcing est une méthode inventée par Paul Cohen pour prouver des résultats de consistance et d'indépendance en théorie des ensembles. Elle a été utilisée pour la première fois en 1962 pour prouver l'indépendance de l'hypothèse du continu vis-à-vis de la théorie ZFC.
  • A forszolás (forcing) mint a relatív konzisztencia bizonyításokra alkalmas módszer, a modern matematika történetének egyik legújabb nagy eredménye. A módszer halmazelméleti kidolgozója Paul Cohen, aki a forszolással sikeresen bizonyította a kontinuum-hipotézis függetlenségét. A másik jelentős eredmény, amit Cohen maga bizonyított a forszolás segítségével, a kiválasztási axióma függetlensége.
  • Forsing – metoda dowodzenia niesprzeczności i niezależności zdań teorii mnogości względem aksjomatów Zermelo-Fraenkela. Można powiedzieć, że forsing to jedna z metod używanych w matematyce, aby ściśle udowodnić że pewnych stwierdzeń nie można udowodnić ani obalić (ten ostatni termin oznacza udowodnienie zaprzeczenia).
  • Inom mängdteorin är forcing en metod för att konstruera universa för mängdteorin i syfte att visa att vissa mängdteoretiska påståenden är oavgörbara, det vill säga varken kan bevisas eller motbevisas utifrån mängdteorins axiom. Metoden utvecklades av Paul Cohen för att konstruera ett universum där <math>2^{\aleph_0}=\aleph_2</math> och därigenom visa att kontinuumhypotesen inte kan bevisas i ZFC.
  • 在数学学科集合论中，力迫是 保罗·寇恩（Paul J.
rdfs:label
  • Forcing (mathematics)
  • Forcing
  • Forsing
  • Forcing
  • Forszolás
  • Forsing
  • Forcing
  • 力迫
owl:sameAs
skos:subject
foaf:page
is dbpedia-owl:Person/knownFor of
is dbpedia-owl:knownFor of
is dbpprop:disambiguates of
is dbpprop:knownFor of
is dbpprop:redirect of