In mathematics, finite set is a set that has a finite number of elements. For example, is a finite set with five elements. The number of elements of a finite set is a natural number, and is called the cardinality of the set. A set that is not finite is called infinite. For example, the set of all positive integers is infinite: <math>\{1,2,3,\ldots\}. </math> Finite sets are particularly important in combinatorics, the mathematical study of counting.

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  • In mathematics, finite set is a set that has a finite number of elements. For example, is a finite set with five elements. The number of elements of a finite set is a natural number, and is called the cardinality of the set. A set that is not finite is called infinite. For example, the set of all positive integers is infinite: <math>\{1,2,3,\ldots\}. </math> Finite sets are particularly important in combinatorics, the mathematical study of counting. Many arguments involving finite sets rely on the pigeonhole principle, which states that there cannot exist an injective function from a larger finite set to a smaller finite set.
  • Konečná množina je matematický pojem vyjadřující fakt, že množina má pouze omezený počet prvků.
  • Un conjunto <math>A</math> es un conjunto finito si existe una biyección entre él y el conjunto {1, 2, 3,... , n}, con n un número natural, que representa la cardinalidad del conjunto. Es decir, <math>|A|=n</math>. Si <math>n=0</math>, entonces <math>A</math> es un conjunto vacío. Todo conjunto finito es además un conjunto numerable (pero no todo conjunto numerable es finito).
  • Joukon A sanotaan olevan äärellinen, kun sen ja jonkin joukon {1, 2, 3, ... ,n} välille voidaan muodostaa jokin yksi-yhteen eli bijektiivinen vastaavuus, funktio, kuvaus. Toisin sanoen äärellisen joukon alkioiden lukumäärä on - ainakin teoriassa - laskettavissa. Esimerkiksi joukko {2, 4, 6} on äärellinen, koska esimerkiksi f(x) = x:2 on bijektiivinen kuvaus tältä joukolta joukolle {1, 2, 3}; f(2)=1, f(4)=2 ja f(6)=3. Äärellisen joukon määrittelee myös se ominaisuus, että se ei ole aidon osajoukkonsa kanssa yhtä mahtava, ts. ei ole olemassa bijektiivistä kuvausta joukon ja sen aidon osajoukon välillä.
  • En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une bijection de E sur l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n, en particulier, si n = 0, E est l'ensemble vide qui est donc bien fini. On montre l'unicité d'un tel entier n, et on appelle celui-ci nombre d'éléments de E, ou cardinal de E, en particulier l'ensemble vide a pour cardinal 0. La notation pour le cardinal varie suivant les ouvrages, on trouve n = card(E), n = #E, n = |E|, ou encore n = E (notation originelle de Georg Cantor). Cette définition fait référence aux entiers, mais certains mathématiciens et logiciens ont souhaité fonder les mathématiques sur la notion d'ensemble qui leur semblait plus primitive. Des définitions d'ensemble fini ont été proposées, qui ne faisaient pas référence aux entiers. La plus célèbre est probablement celle de Dedekind, elle caractérise le caractère fini d'ensemble par la négation du fait d'être infini : un ensemble est fini au sens de Dedekind si et seulement s'il ne peut pas être mis en bijection avec l'une de ses parties propres. Cette façon de procéder sera vivement contestée. De plus, pour montrer qu'un ensemble fini au sens de Dedekind est fini au sens usuel, il faut l'axiome du choix. Les développements de la théorie des ensembles, après sa première axiomatisation par Ernst Zermelo, ont permis ensuite de montrer qu'il était possible de définir les entiers dans celle-ci, et donc la définition donnée en termes d'entier peut se voir finalement comme une définition purement ensembliste. Par ailleurs d'autres caractérisations d'ensemble fini ont été données, comme celle d'Alfred Tarski, dont l'équivalence avec la définition usuelle n'utilise pas l'axiome du choix.
  • In matematica, un insieme <math>A</math> è detto finito se esiste una biiezione (ovverosia una funzione sia iniettiva che suriettiva) tra un insieme della forma <math>\left\{ 1,... , n \right\}</math> ed <math>A</math>, dove <math>n</math> è un numero naturale. Per brevità scriviamo <math>\bar{n}:= \left\{ 1,... , n \right\}</math>. Ad esempio l'insieme <math>A:= \left\{ e, \pi, e^\pi \right\} </math> è finito perché la funzione <math>f: \left\{ 1,2,3 \right\} \rightarrow A </math> definita mediante <math> f(1):=e, \ f(2):=\pi, \ f(3):=e^{\pi} </math> è una biiezione tra <math>\bar{3}</math> ed <math>A</math>. Per poter definire il numero di elementi di un insieme finito ci occorre il seguente risultato: se <math>A</math> è un insieme finito ed esistono <math>n,m</math> numeri naturali e <math>f:\bar{n} \rightarrow A, g:\bar{m} \rightarrow A </math> biiezioni allora <math>n=m</math>. Questo fatto ci consente di definire il numero di elementi di un insieme finito <math>A</math> come l'unico naturale <math>n</math> tale che esiste una biiezione tra <math>\bar{n}</math> ed <math>A</math> (esiste di certo per la definizione stessa di insieme finito ed è unico per il risultato citato). Tale numero si indica con <math>\#A</math> oppure con <math>|A|</math> e si dice talvolta cardinalità di <math>A</math>. Ora possiamo affermare a rigore che l'insieme <math>A=\left\{e, \pi, e^\pi \right\}</math> dell'esempio ha <math>3</math> elementi, cioè <math>\#A=3</math>. Altri esempi: <math>\#\left\{7,-12,18,\pi \right\}=4, \#\left\{1,2,1,1 \right\}=2,\#\emptyset=0</math> (dove <math>\emptyset</math> denota l'insieme vuoto). Un insieme si dice infinito se non è finito. Esistono altre definizioni di insieme infinito, equivalenti a questa, che si adoperano in matematica a seconda delle esigenze dimostrative.
  • 数学において、集合が有限（ゆうげん、英語: finite）であるとは、自然数 n を用いて {1, 2, ... , n} という形にあらわされる集合との間に全単射が存在することをいう（ただしここでは、n = 0 の場合も許される。この場合は空集合であることを意味するのであり、これも有限集合の一種と考えるということである）。このような集合を有限集合（ゆうげんしゅうごう、英語: finite set）とよび、有限でない集合を無限集合と呼ぶ。 また同じことだが、集合が有限であるとはその濃度（元の個数）が自然数である場合にいう。特に、濃度が n である集合を「n 元集合（n-set）」と総称する。例えば、-15 から 3 まで（両端を含まない）の整数の集合は17個の元があり、有限である。したがってこれは17元集合である。一方、全ての素数たちの成す集合は <math>\aleph_0</math> の濃度を持つので無限集合である。 どんな真部分集合との間にも全単射が存在しないような集合は、デデキント有限集合と呼ばれる。従属選択公理（弱い形の選択公理）が成り立つなら、集合が有限であることとデデキント有限であることは同値である。そうでない場合には（奇異なことに）無限かつデデキント有限な集合が存在しうる（「基礎付け問題」の節を参照）。 全ての有限集合は可算であるが、全ての可算集合が有限というわけではない。ただし、書籍によっては「可算」を「可算無限」の意味に使っており、その場合は有限集合は可算ではない。
  • In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde is een eindige verzameling een verzameling met een eindig aantal elementen. De verzameling is bijvoorbeeld een eindige verzameling met vijf elementen. Het aantal elementen van een eindige verzameling is een natuurlijk en wordt de kardinaliteit van de verzameling genoemd. Een verzameling die niet eindig is wordt oneindig genoemd. De verzameling van alle positieve gehele getallen is een voorbeeld van een oneindige verzameling: <math>\{1,2,3,\ldots\}. </math> Eindige verzamelingen zijn bijzonder belangrijk in de combinatoriek, de wiskundige studie van het tellen. Veel wiskundige argumenten, waar eindige verzamelingen een rol in spelen, baseren zich op het duiventilprincipe. Dit principe stelt dat er geen injectieve functie kan bestaan van een grotere eindige verzameling naar een kleinere eindige verzameling.
  • Zbiór skończony - oznacza w matematyce zbiór równoliczny ze zbiorem {1, 2, ... , n} dla pewnej liczby naturalnej n. Definicja ta obejmuje również zbiór pusty, wystarczy przyjąć n = 0. Niezależnie od przyjmowanej definicji zbioru skończonego (dalej), zbiór nieskończony określamy jako zbiór, który nie jest skończony.
  • Em teoria dos conjuntos, um conjunto X diz-se finito se existir uma bijecção entre X e o conjunto {1,... ,n}. Ao número n chama-se o cardinal de X.
  • Скінченна множина — множину називають скінченною, якщо кількість її елементів скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. В інакшому випадку множина є нескінченною.
  • 数学中，一个集合被称为有限集合当且仅当一个自然数 n 使该集合与集合 {1,2,... ,n} 之间存在双射。例如 -15到3之间的整数组成的集合，这个集合有17个元素，所以它是有限的。所有素数的集合不是有限的。不是有限的集合称为无限集合。 所有的有限集合都是可数的，但并不是所有的可数集都是有限的。 有一个定理（戴德金定理）是：一个集合是有限的当且仅当不存在一个该集合与它的任何一个真子集之间的双射。也就是说如果一个集合的基数是自然数，那这个集合就是有限的。
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  • In mathematics, finite set is a set that has a finite number of elements. For example, is a finite set with five elements. The number of elements of a finite set is a natural number, and is called the cardinality of the set. A set that is not finite is called infinite. For example, the set of all positive integers is infinite: <math>\{1,2,3,\ldots\}. </math> Finite sets are particularly important in combinatorics, the mathematical study of counting.
  • Konečná množina je matematický pojem vyjadřující fakt, že množina má pouze omezený počet prvků.
  • Un conjunto <math>A</math> es un conjunto finito si existe una biyección entre él y el conjunto {1, 2, 3,... , n}, con n un número natural, que representa la cardinalidad del conjunto. Es decir, <math>|A|=n</math>. Si <math>n=0</math>, entonces <math>A</math> es un conjunto vacío. Todo conjunto finito es además un conjunto numerable (pero no todo conjunto numerable es finito).
  • Joukon A sanotaan olevan äärellinen, kun sen ja jonkin joukon {1, 2, 3, ... ,n} välille voidaan muodostaa jokin yksi-yhteen eli bijektiivinen vastaavuus, funktio, kuvaus. Toisin sanoen äärellisen joukon alkioiden lukumäärä on - ainakin teoriassa - laskettavissa. Esimerkiksi joukko {2, 4, 6} on äärellinen, koska esimerkiksi f(x) = x:2 on bijektiivinen kuvaus tältä joukolta joukolle {1, 2, 3}; f(2)=1, f(4)=2 ja f(6)=3.
  • En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une bijection de E sur l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n, en particulier, si n = 0, E est l'ensemble vide qui est donc bien fini. On montre l'unicité d'un tel entier n, et on appelle celui-ci nombre d'éléments de E, ou cardinal de E, en particulier l'ensemble vide a pour cardinal 0.
  • In matematica, un insieme <math>A</math> è detto finito se esiste una biiezione (ovverosia una funzione sia iniettiva che suriettiva) tra un insieme della forma <math>\left\{ 1,... , n \right\}</math> ed <math>A</math>, dove <math>n</math> è un numero naturale. Per brevità scriviamo <math>\bar{n}:= \left\{ 1,... , n \right\}</math>.
  • 数学において、集合が有限（ゆうげん、英語: finite）であるとは、自然数 n を用いて {1, 2, ...
  • In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde is een eindige verzameling een verzameling met een eindig aantal elementen. De verzameling is bijvoorbeeld een eindige verzameling met vijf elementen. Het aantal elementen van een eindige verzameling is een natuurlijk en wordt de kardinaliteit van de verzameling genoemd. Een verzameling die niet eindig is wordt oneindig genoemd.
  • Zbiór skończony - oznacza w matematyce zbiór równoliczny ze zbiorem {1, 2, ... , n} dla pewnej liczby naturalnej n. Definicja ta obejmuje również zbiór pusty, wystarczy przyjąć n = 0. Niezależnie od przyjmowanej definicji zbioru skończonego (dalej), zbiór nieskończony określamy jako zbiór, który nie jest skończony.
  • Em teoria dos conjuntos, um conjunto X diz-se finito se existir uma bijecção entre X e o conjunto {1,... ,n}. Ao número n chama-se o cardinal de X.
  • Скінченна множина — множину називають скінченною, якщо кількість її елементів скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. В інакшому випадку множина є нескінченною.
  • 数学中，一个集合被称为有限集合当且仅当一个自然数 n 使该集合与集合 {1,2,...
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  • Finite set
  • Konečná množina
  • Conjunto finito
  • Äärellinen joukko
  • Ensemble fini
  • Insieme finito
  • 有限集合
  • Eindige verzameling
  • Zbiór skończony
  • Conjunto finito
  • Скінченна множина
  • 有限集合
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