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- In abstract algebra, a finite field or Galois field (so named in honor of Évariste Galois) is a field that contains only finitely many elements. Finite fields are important in number theory, algebraic geometry, Galois theory, cryptography, and coding theory. The finite fields are classified by size; there is exactly one finite field up to isomorphism of size p for each prime p and positive integer k. Each finite field of size q is the splitting field of the polynomial x - x, and thus the fixed field of the Frobenius endomorphism which takes x to x. Similarly, the multiplicative group of the field is a cyclic group. Wedderburn's little theorem states that the Brauer group of a finite field is trivial, so that every finite division ring is a finite field. Finite fields have applications in many areas of mathematics and computer science, including coding theory, LFSRs, modular representation theory, and the groups of Lie type. Finite fields are an active area of research, including recent results on the Kakeya conjecture and open problems on the size of the smallest primitive root.
- Ein endlicher Körper oder Galoiskörper ist eine Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen, auf der die Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division definiert sind. Zu Ehren von Évariste Galois, der bereits mit gewissen imaginären Zahlen modulo p gerechnet hat, prägte wohl Eliakim Hastings Moore 1893 den englischen Begriff Galois field. Endliche Körper spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie und der Codierungstheorie. Daneben sind sie grundlegend für das Studium der Primideale im Ring der ganzen Zahlen einer endlichen Körpererweitung von <math>\Q</math> im Rahmen der algebraischen Zahlentheorie. Man vergleiche hierzu den Abschnitt über Dedekindringe in Verzweigung (Algebra).
- En matemàtiques i més precisament en la branca de la teoria de Galois, un cos finit, anomenat també cos de Galois és un cos (matemàtiques)cos el Nombre cardinalcardinal del qual és finit (té un nombre finit d'elements) Tret de isomorfismes, tot cos finit queda completament determinat pel seu cardinal que és sempre de la forma p, una potència d'un nombre primer Aquest nombre primer no és altre que la seva Característica (el nombre mes petit de vegades que s'ha de sumar l'element neutre de la multiplicació per a obtenir l'element neutre de la suma) i el cos es presenta com l'única Element primitiuextensió finita del cos primitiu de dimensió n Les aplicacions són essencialment la Teoria de nombres algebraics on els cossos finits apareixen com una estructura essencial per a la geometria aritmètica Aquesta branca ha permès, entre altres coses, demostrar l'últim teorema de Fermat Els cossos finits s'utilitzen sovint en criptografia i en teoria dels codis, per exemple, per determinar codi autocorrectorcodis correctors eficaços Observació sobre la terminologia: Quan l'àlgebra abstracta va començar a ésser desenvolupada, la definició de cos normalment no incloïa la commutativitat de la multiplicació, així el què avui s'anomena cos fa un temps hauria estat anomenat cos commutatiu o domini racional Avui en dia però, un cos és sempre commutatiu Una estructura que satisfaci totes les propietats d'un cos llevat de la commutativitat, s'anomena avui anell de divisió encara que cos no commutatiu és encara força usat Altres llengües han mantingut aquesta antiga notació Així per exemple, en italià i francès, els anells de divisió se'ls anomena corpo i corps En canvi, en anglès, alemany i castellàespanyol, field, Körper (d'aquí vé que <math>\mathbb{K}</math> denoti normalment un cos) i cuerpo signifiquen cos Cal remarcar que en francès no hi ha una paraula concreta per designar un cos, amb la qual cosa s'ha d'usar la forma corps commutatif En italià existeix també la forma campo que es tradueix exactament per la nostra noció de cos En el cas dels cossos finits, aquesta observació, de fet, té poca importància ja que, segons el teorema de Wedderburn, tot cos finit és commutatiu Aquest resultat es demostra amb l'ajuda dels polinomi ciclotòmicpolinomis ciclotòmics
- Konečné těleso (též Galoisovo těleso na počest Évarista Galoise) je v matematice, přesněji v abstraktní algebře, označení pro takové těleso, které má konečný počet prvků. Konečná tělesa jsou důležitým nástrojem mimo jiné teorie čísel, algebraické geometrie a kryptografie. Lze je klasifikovat podle velikosti; platí totiž, že až na izomorfismus existuje vždy jen jediné konečné těleso o <math>p^k</math> prvcích, kde <math>p</math> je prvočíslo a <math>k</math> je kladné přirozené číslo.
- En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois) es un cuerpo que contiene un número finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía. Los cuerpos finitos son totalmente conocidos, y serán descritos más abajo.
- Äärellinen kunta tarkoittaa matematiikassa kuntaa, jonka alkioiden lukumäärä on äärellinen. Äärellisiä kuntia kutsutaan myös Galois'n kunniksi. Äärellisen kunnan kertaluvulla tarkoitetaan kunnan alkioiden lukumäärää. Kertalukua <math>q</math> olevaa kuntaa merkitään <math>GF(q)</math> tai <math>\mathbb{F}_q</math>. Matemaattisesti voidaan osoittaa, että äärellisen kunnan kertaluku on aina jonkin alkuluvun potenssi. Siis <math>q=p^k</math>, missä <math>p</math> on jokin alkuluku ja <math>k</math> jokin nollaa suurempi luonnollinen luku. Alkulukua <math>p</math> kutsutaan kunnan <math>\mathbb{F}_q</math> karakteristikaksi. Yksinkertaisin esimerkki äärellisestä kunnasta on binäärikunta <math>\mathbb{F}_2=(\mathbb{Z}_2,+,\cdot)</math>. Tämä kunta voidaan muodostaa tarkastelemalla kokonaislukujen joukon <math>\mathbb{Z}</math> jäännösluokkarengasta modulo 2 tai määrittelemällä logiikassa totuusarvojen '0' (epätosi) ja '1' (tosi) joukossa operaatiot AND (kertolasku) ja XOR (yhteenlasku). Kunnan <math>\mathbb{F}_2</math> määrittelevät yhteen- ja kertolaskutaulut: Alkulukukertalukua <math>q=p</math> on yleisemminkin helppo muodostaa tarkastelemalla jäännösluokkarengasta <math>(\mathbb{Z}_p,+,\cdot)</math>. Alkeislukuteorian avulla on helppo osoittaa, että <math>(\mathbb{Z}_p,+,\cdot)</math> muodostaa kunnan. Kertalukua <math>q=p^k</math>, missä <math>k</math> on suurempi kuin <math>1</math>, muodostaminen on jo hiukan vaikeampaa. Tällaisten kuntien muodostamiseen käytetään yleisesti polynomialgebraa. Matemaattisesti voidaan osoittaa, että kaikki yhtä monta alkiota sisältävät äärelliset kunnat ovat keskenään rakenneyhtäläisiä eli isomorfisia. Polynomialgebran avulla voidaan siis muodostaa kaikki mahdolliset äärelliset kunnat. Kertalukua <math>q=p^k</math> olevan kunnan muodostamiseksi on ensin löydettävä astetta <math>k</math> oleva jaoton polynomi polynomirenkaasta <math>(\mathbb{Z}_p\lbrack x\rbrack,+,\cdot)</math>. Muodostetaan esimerkiksi kertalukua <math>q=4=2^2</math> oleva äärellinen kunta. Kunnan karakteristika <math>p=2</math>, joten etsitään astetta <math>2</math> oleva jaoton polynomi polynomirenkaasta <math>\mathbb{Z}_2\lbrack x\rbrack</math>. Valitaan <math>h(x)=x^2+x+1</math>. Merkitsemällä polynomeja lyhyemmin luettelemalla vain niiden kertoimet (esim. 110 vastaa polynomia <math>f=1\cdot x^2+1\cdot x+0=x^2+x</math>) saamme näin muodostuvat yhteen- ja kertolaskutaulukot muotoon: Matemaattisesti voidaan osoittaa, että äärellisen kunnan kertolaskuryhmä eli multiplikatiivinen ryhmä on aina syklinen. Toisin sanoen on aina olemassa sellainen nollasta eroava alkio <math>\alpha</math>, jonka eksponentit <math>\alpha^n</math>, <math>n=0,1,... ,q-2</math> ovat erisuuret ja kattavat koko multiplikatiivisen ryhmän. Jokainen multiplikatiivisen ryhmän alkio saadaan potenssiinkorotuksella tästä ns. primitiivisestä alkiosta <math>\alpha</math>. Potenssiinkorotus on tehokkaasti laskettavissa. Päinvastainen operaatio, eksponentin laskeminen annetulle multiplikatiivisen ryhmän alkiolle, on huomattavasti hankalampi operaatio. Tätä ongelmaa kutsutaan diskreetin logaritmin ongelmaksi äärellisessä kunnassa. Jos kunnan alkioiden lukumäärä on <math>p^n</math>, niin sen automorfismien muodostama ryhmä on niin ikään syklinen ja kertalukua n. Tämän ryhmän virittäjä on Frobeniuksen automorfismi <math>\varphi:\mathbb{F}_{p^n}\to\mathbb{F}_{p^n}</math>
- En mathématiques et plus précisément dans la branche de la théorie de Galois, un corps fini est un corps (mathématiques)corps (commutatif) dont le nombre cardinalcardinal est fini. À isomorphisme près, un corps fini est entièrement déterminé par son cardinal qui est toujours de la forme p, une puissance d'un nombre premier. Ce nombre premier n'est autre que sa caractéristique d'un anneaucaractéristique et le corps se présente comme l'unique extension simple du corps premier Z/p. Z de dimension n. Les applications sont essentiellement la théorie algébrique des nombres où les corps finis apparaissent comme une structure essentielle à la géométrie arithmétique. Cette branche a permis, entre autres, de démontrer le grand théorème de Fermat. Les corps finis sont fréquemment utilisés en cryptographie ou en théorie des codes, par exemple, pour déterminer des code correcteurcodes correcteurs efficaces. Remarque sur la terminologie : la convention la plus usitée en France, même si elle n'est pas générale, utilise le mot « corps » que la loi de multiplication soit commutative ou non, ce qui oblige à préciser si le corps est commutatif on non. C'est celle utilisée dans les quatre références de l'article. Elle diffère de la convention courante en anglais où « field » sous-entend déjà la commutativité. Dans le cas des corps finis, la convention est en fait de peu d'importance car, d'après le théorème de Wedderburn, tout corps fini est commutatif. Ce résultat se démontre à l'aide des polynôme cyclotomiquepolynômes cyclotomiques.
- In algebra un campo finito è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois, in crittografia e in teoria dei codici. I campi finiti sono completamente classificati.
- 代数学において有限体（ゆうげんたい、finite field）は、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。主に計算機関連の分野においては、エヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ。 有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理などと呼ばれる以下の定理 が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の定義におけるそのほかの条件から導かれるということである。
- Een eindig lichaam (Nederlandse term) of eindig veld (Belgische term), Galoislichaam, Galoisruimte, of Galoisveld is een lichaam met een eindig aantal elementen. Eindige velden worden gebruikt in de cryptografie, coderingstheorie, Galoistheorie, getaltheorie en algebraïsche meetkunde. Een eindig lichaam wordt genoteerd als <math>\mathbb F_q</math> of <math>\mathrm{GF}(q)</math> waarbij de laatste vorm refereert aan de Engelse term Galois Field. Galois heeft eindige lichamen in 1830 ingevoerd, maar pas door toedoen van de Amerikaanse wiskundige Eliakim Moore (1862-1932) zijn eindige lichamen geclassificeerd. Eindige lichamen zijn belangrijker geworden met de komst van digitale elektronica en computers en de ontwikkeling van de informatietheorie en discrete wiskunde.
- Ciało skończone, ciało Galois to ciało o skończonej liczbie elementów. Ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne. Ciała o <math>p^n</math> elementach (gdzie <math>p</math> to liczba pierwsza) oznaczamy przez <math>GF(p^n)</math> lub <math>F_{p^n}</math>. Notacja <math>GF</math> pochodzi od ang. Galois field – ciało Galois, nazwane tak na cześć Évariste'a Galois, matematyka francuskiego, który przyczynił się do znacznego rozwoju badań ciał skończonych i związanych z nimi teorii.
- Em matemática e, em especial, na teoria dos corpos, um corpo finito é um corpo em que o conjunto dos elementos é finito. Corpos finitos também são chamados corpos de Galois em honra ao matemático francês Évariste Galois.
- În algebra abstractă, un corp finit sau corp Galois (numit în onoarea lui Évariste Galois) este un corp care conţine un număr finit de elemente. Corpurile finite sunt importante în teoria numerelor, geometrie algebrică, teoria Galois, criptografie şi teoria codurilor. Corpurile finite sunt complet cunsocute.
- Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов. Конечное поле обычно обозначается <math>\mathbb{F}_q</math> или <math>\mathrm{GF}(q)</math>, где <math>q</math> — число элементов поля. Простейшим примером конечного поля является <math>\mathbb{Z}_p</math> — кольцо вычетов по модулю простого числа.
- Скінченне поле або поле Галуа — поле, яке складається зі скінченної множини елементів. Найменше поле Галуа <math>GF(2)=\mathbb{F}_2</math> містить лише два елементи, <math>0</math> та <math>1,</math> арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила <math>1+1=0. </math> Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування. Ідея застосування поля <math>\mathbb{F}_2</math> полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулів й одиниць як елементи деякої пов'язаної з ним алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення <math>\mathbb{F}_{2^n},</math> кільця поліномів <math>\mathbb{F}_{2}[t],</math> і т. п. Алгебраїчні операції в цій структурі приводять до низки важливих конструкцій в означених галузях, напр. , скінчених проективних площин, кодів Ріда-Мюлера і кодів Гоппа. Засновані на теорії скінчених полей алгоритми перевірки на простоту і факторізації цілих чисел відіграють важливу роль у сучасній прикладній теорії чисел. Для будь-якого простого числа <math>p, </math> кільце залишків <math>(\operatorname{mod}\, p)</math> — це скінчене поле з <math>p</math> елементів, яке позначається <math>GF(p)=\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. </math> Елементи цього поля можуть бути репрезентовані цілими числами <math>0,1,\ldots,p-1,</math> які додаються і множаться "за модулем <math>p. </math>" Ця конструкція узагальнює поле <math>GF(2)=\mathbb{F}_2,</math> яке відповідає <math>p=2. </math> Будь-яке скінчене поле містить <math>p^n</math> елементів і однозначно задається своєю характеристикою <math>p</math> і степенем <math>n. </math>
- 包含有限个元素的域被称为有限域。它在密码学中有着重要的应用。 每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗瓦域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽羅瓦群。伽羅瓦域的子域和伽羅瓦群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽羅瓦群是可解群时，这方程是根式可解的。作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程沒有公式解，以及用尺規作圖（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。伽羅瓦理論对近代数学的发展产生了深远影响，它已渗透到数学的很多分支中。此外，伽羅瓦还研究过所谓“伽羅瓦虚数”，即有限域的元素，因此又称有限域为伽羅瓦域。
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| rdfs:comment
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- In abstract algebra, a finite field or Galois field (so named in honor of Évariste Galois) is a field that contains only finitely many elements. Finite fields are important in number theory, algebraic geometry, Galois theory, cryptography, and coding theory. The finite fields are classified by size; there is exactly one finite field up to isomorphism of size p for each prime p and positive integer k.
- Ein endlicher Körper oder Galoiskörper ist eine Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen, auf der die Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division definiert sind. Zu Ehren von Évariste Galois, der bereits mit gewissen imaginären Zahlen modulo p gerechnet hat, prägte wohl Eliakim Hastings Moore 1893 den englischen Begriff Galois field. Endliche Körper spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie und der Codierungstheorie.
- Konečné těleso (též Galoisovo těleso na počest Évarista Galoise) je v matematice, přesněji v abstraktní algebře, označení pro takové těleso, které má konečný počet prvků. Konečná tělesa jsou důležitým nástrojem mimo jiné teorie čísel, algebraické geometrie a kryptografie.
- En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois) es un cuerpo que contiene un número finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía. Los cuerpos finitos son totalmente conocidos, y serán descritos más abajo.
- Äärellinen kunta tarkoittaa matematiikassa kuntaa, jonka alkioiden lukumäärä on äärellinen. Äärellisiä kuntia kutsutaan myös Galois'n kunniksi. Äärellisen kunnan kertaluvulla tarkoitetaan kunnan alkioiden lukumäärää. Kertalukua <math>q</math> olevaa kuntaa merkitään <math>GF(q)</math> tai <math>\mathbb{F}_q</math>. Matemaattisesti voidaan osoittaa, että äärellisen kunnan kertaluku on aina jonkin alkuluvun potenssi.
- En mathématiques et plus précisément dans la branche de la théorie de Galois, un corps fini est un corps (mathématiques)corps (commutatif) dont le nombre cardinalcardinal est fini. À isomorphisme près, un corps fini est entièrement déterminé par son cardinal qui est toujours de la forme p, une puissance d'un nombre premier. Ce nombre premier n'est autre que sa caractéristique d'un anneaucaractéristique et le corps se présente comme l'unique extension simple du corps premier Z/p.
- In algebra un campo finito è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois, in crittografia e in teoria dei codici. I campi finiti sono completamente classificati.
- Een eindig lichaam (Nederlandse term) of eindig veld (Belgische term), Galoislichaam, Galoisruimte, of Galoisveld is een lichaam met een eindig aantal elementen. Eindige velden worden gebruikt in de cryptografie, coderingstheorie, Galoistheorie, getaltheorie en algebraïsche meetkunde. Een eindig lichaam wordt genoteerd als <math>\mathbb F_q</math> of <math>\mathrm{GF}(q)</math> waarbij de laatste vorm refereert aan de Engelse term Galois Field.
- Ciało skończone, ciało Galois to ciało o skończonej liczbie elementów. Ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne. Ciała o <math>p^n</math> elementach (gdzie <math>p</math> to liczba pierwsza) oznaczamy przez <math>GF(p^n)</math> lub <math>F_{p^n}</math>. Notacja <math>GF</math> pochodzi od ang.
- Em matemática e, em especial, na teoria dos corpos, um corpo finito é um corpo em que o conjunto dos elementos é finito. Corpos finitos também são chamados corpos de Galois em honra ao matemático francês Évariste Galois.
- În algebra abstractă, un corp finit sau corp Galois (numit în onoarea lui Évariste Galois) este un corp care conţine un număr finit de elemente. Corpurile finite sunt importante în teoria numerelor, geometrie algebrică, teoria Galois, criptografie şi teoria codurilor. Corpurile finite sunt complet cunsocute.
- Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов. Конечное поле обычно обозначается <math>\mathbb{F}_q</math> или <math>\mathrm{GF}(q)</math>, где <math>q</math> — число элементов поля.
- Скінченне поле або поле Галуа — поле, яке складається зі скінченної множини елементів.
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