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- In mathematics, Faulhaber's formula, named after Johann Faulhaber, expresses the sum <math>\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p</math> as a (p + 1)th-degree polynomial function of n, the coefficients involving Bernoulli numbers. Note: By the most usual convention, the Bernoulli numbers are <math>B_0 = 1,\quad B_1 = -{1 \over 2},\quad B_2 = {1 \over 6}, \quad B_3 = 0,\quad B_4 = -{1 \over 30},\quad\dots</math> But for the moment we follow a convention seen less often, that B1 = +1/2, and all the other Bernoulli numbers remain as above (but see below for more on this). The formula says <math>\sum_{k=1}^n k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{with } B_1 = {1 \over 2} \mbox{ rather than }-{1 \over 2}\right)</math> (the index j runs only up to p, not up to p + 1). The derivation of the Faulhaber's Formula is available in The Book of Numbers by John Horton Conway and Richard Guy.
- Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johannes Faulhaber, beschreibt, wie sich die Summe der ersten n p-ten Potenzen <math>\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p \qquad \left(\mbox{mit } p \in \mathbb{N} \right)</math> mit einem Polynom in n vom Grad p+1 berechnen lässt. Zur Berechnung der Koeffizienten dieses Polynoms werden die Bernoulli-Zahlen benötigt. Im Folgenden bezeichne <math> \beta_j </math> die <math>j</math>-te Bernoulli-Zahl, mit der Ausnahme <math>\beta_1=\frac{1}{2} </math>, dann sieht die Faulhabersche Formel wie folgt aus: <math>\sum_{k=1}^n k^p = \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} \beta_j n^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{mit } \beta_1 = {1 \over 2} \mbox{ anstatt }-{1 \over 2}\right)</math>
- En Matemáticas, la fórmula de Faulhaber, en honor de Johann Faulhaber, expresa la suma de las potencias de los primeros n números naturales <math>\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p</math> como un polinomio en n de grado <math>(p + 1)</math> cuyos coeficientes se construyen a partir de los números de Bernoulli. La fórmula es la siguiente: <math>\sum_{k=1}^n k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{con } B_1 = +{1 \over 2} \mbox{ en vez de }-{1 \over 2}\right)</math> Faulhaber no conoció nunca esta fórmula general, lo que él sí que conoció fueron al menos los primeros 17 casos y el hecho de que, si el exponente es impar, entonces la suma es una función polinomial de la suma en el caso especial en el que el exponente sea 1. Él también hizo algunas generalizaciones. La demostración de la fórmula de Faulhaber se puede encontrar en The Book of Numbers de John Horton Conway y Richard Guy.
- En mathématiques, la formule de Faulhaber, nommée en l'honneur de Johann Faulhaber, exprime la somme <math>\sum_{k=1}^x k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + x^p</math> comme une fonction polynômiale de variable x de degré (p + 1), les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli. Par la convention la plus usuelle, les nombres de Bernoulli sont <math>B_0 = 1,\quad B_1 = {-1 \over 2},\quad B_2 = {1 \over 6}, \quad B_3 = 0,\quad B_4 = {-1 \over 30},\quad\dots</math> Dans l'article, nous suivront une convention vue moins souvent, <math>B_1 = + \frac{1}{2}\,</math>, et tous les autres nombres de Bernoulli restent comme au-dessus (voir ci-dessous pour plus de précision). La formule s'écrit : <math>\sum_{k=1}^x k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j x^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{avec } B_1 = {1 \over 2} \mbox{ plutôt que }{-1 \over 2}\right)</math> (l'index j parcours jusqu'à p, non jusqu'à p + 1). Faulhaber ne connaissait pas la formule sous cette forme. Il connaissait au moins les 17 premiers cas et le fait que lorsque l'exposant est impair, alors la somme est une fonction polynômiale de la somme dans le cas particulier où l'exposant est 1. Il doit manipuler la factorielle n! jusqu'à 24!, ce qui illustre son remarquable talent de calculateur qu'il partage avec son correspondant Ludwig van Ceulen. Il est remarquable surtout par son anticipation des sommes multiples discrètes à une époque où l'analyse balbutie. Il utilise la k-symétrie et donne aussi certaines généralisations remarquables.
- In de wiskunde drukt de formule van Faulhaber, genoemd naar Johann Faulhaber, de som <math>\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p</math> uit als een (p + 1)de-graads polynomiale functie van n, waar de coëfficiënten te maken hebben met Bernoulli-getallen. Merk op: in de meest gangbare conventie zijn de Bernoulli-getallen. <math>B_0 = 1,\quad B_1 = -\tfrac12,\quad B_2 = \tfrac16, \quad B_3 = 0,\quad B_4 = -\tfrac{1}{30},\quad\dots</math> Maar voor het moment volgen we een minder bekende conventie, dat <math>B_1 = +\tfrac12</math>, waar alle andere Bernoulli-getallen hetzelfde blijven als hierboven (zie hieronder voor meer hierover). De formule zegt <math>\sum_{k=1}^n k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{met } B_1 = \tfrac12 \mbox{ in plaats van }-\tfrac12\right)</math> (de index j loopt maar tot p, niet tot p + 1). In deze vorm kende Faulhaber de formule niet. Hij kende tenminste de eerste 17 gevallen en het feit dat wanneer de exponent oneven is, dat de som een polynomiale functie van de som is in het bijzondere geval dat de de exponent gelijk is aan 1. Hij kende ook een aantal opmerkelijke veralgemeningen. De afleiding van de formule van Faulhaber is beschikbaar in The Book of Numbers door John Horton Conway en Richard Guy.
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- In mathematics, Faulhaber's formula, named after Johann Faulhaber, expresses the sum <math>\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p</math> as a (p + 1)th-degree polynomial function of n, the coefficients involving Bernoulli numbers.
- Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johannes Faulhaber, beschreibt, wie sich die Summe der ersten n p-ten Potenzen <math>\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p \qquad \left(\mbox{mit } p \in \mathbb{N} \right)</math> mit einem Polynom in n vom Grad p+1 berechnen lässt. Zur Berechnung der Koeffizienten dieses Polynoms werden die Bernoulli-Zahlen benötigt.
- En Matemáticas, la fórmula de Faulhaber, en honor de Johann Faulhaber, expresa la suma de las potencias de los primeros n números naturales <math>\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p</math> como un polinomio en n de grado <math>(p + 1)</math> cuyos coeficientes se construyen a partir de los números de Bernoulli.
- En mathématiques, la formule de Faulhaber, nommée en l'honneur de Johann Faulhaber, exprime la somme <math>\sum_{k=1}^x k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + x^p</math> comme une fonction polynômiale de variable x de degré (p + 1), les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli.
- In de wiskunde drukt de formule van Faulhaber, genoemd naar Johann Faulhaber, de som <math>\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p</math> uit als een (p + 1)de-graads polynomiale functie van n, waar de coëfficiënten te maken hebben met Bernoulli-getallen. Merk op: in de meest gangbare conventie zijn de Bernoulli-getallen.
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