In [[mathematics, the factorial of a [[negative and non-negative numbers|non-negative [[integer n, denoted by n!, is the [[Product (mathematics)|product of all positive integers less than or equal to n. For example, 5 ! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120 \ and 6 ! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720. \ The notation n! was introduced by [[Christian Kramp in 1808.

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  • In [[mathematics, the factorial of a [[negative and non-negative numbers|non-negative [[integer n, denoted by n!, is the [[Product (mathematics)|product of all positive integers less than or equal to n. For example, 5 ! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120 \ and 6 ! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720. \ The notation n! was introduced by [[Christian Kramp in 1808.
  • Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Diese Notation wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826), der um 1798 auch die Bezeichnung „faculté“ dafür einführte, verwendet.
  • El factorial d'un nombre natural n és el producte de tots els nombres enters positius menors i iguals a n. S'escriu n! i s'anomena "n factorial": <math>n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1</math> és a dir, <math>n!=\prod_{k=1^n k\qquad\mbox{per a tot n \ge 0 \!</math> Per exemple, 5! = 5·4·3·2·1 = 120, mentre que 0! = 1 per definició. Els factorials dels deu primers nombres enters són: La notació ! fou introduïda per Christian Kramp el 1808.
  • V matematice je faktoriál čísla n číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n. Značení n! vyslovujeme jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808.
  • Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n: n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n \, Que de un modo resumido, se puede expresar como: <math> n! = \prod_{k=1^n k Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp. n!= \begin{cases \mbox{si n=0 & \Rightarrow 1 \mbox{si n \geqslant 1 & \Rightarrow (n-1)! \cdot n \end{cases Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b): (a + b) = a + n × a × b + Cn, 2 × a × b + ... + n × a × b + b con: <math>C_{n,k = \begin{pmatrix n k \end{pmatrix = \frac{n!{(n - k)! \cdot k! Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones. Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética. Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling: n!\approx \sqrt{2 \pi n \left (\frac{n{e \right)^{n La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n. El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la Función gamma de manera que n!=\int^\infty_0t^ne^{-tdt=\Gamma(n+1)
  • Positiivisen kokonaisluvun <math>n</math> kertoma on <math>n</math>:n ja kaikkien <math>n</math>:ää pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo. Esimerkiksi luvun neljä kertoma on 1×2×3×4 = 24. Kertomaa merkitään symbolilla <math>n!</math>, joka lausutaan: ”n:n kertoma”. Nollan kertoma on 1. Kertoma voidaan määritellä myös muille kuin kokonaisluvuille. Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää. Merkinnän <math>n!</math> esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808.
  • En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel <math> n </math>, notée <math> n! </math>, ce qui se lit soit « factorielle de n » soit « factorielle n », est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. La notation <math>n!</math> a été introduite en 1808 par Christian Kramp. La factorielle joue un rôle important en algèbre combinatoire parce qu'il y a n! façons différentes de permuter n objets. Elle apparaît dans de nombreuses formules en mathématiques, comme par exemple la formule du binôme et la formule de Taylor.
  • A matematikában egy n nemnegatív egész szám faktoriálisának az n-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát nevezzük. Jelölése: n!, amit „n faktoriális”-nak vagy „n faktor”-nak olvasunk ki. Az n! jelölést Christian Kramp vezette be 1808-ban. A faktoriálisok sorozata n = 0, 1, 2,… így kezdődik: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, … Ez a sorozat azt mutatja, hogy milyen gyorsan növekszik a faktoriális értéke. A 70! = 1,19785717 × 10, meghaladja a „googol” értékét, egész pontosan 11 978 571 669 969 891 796 072 783 721 689 098 736 458 938 142 546 425 857 555 362 864 628 009 582 789 845 319 680 000 000 000 000 000. A 70! több mint 11 szexdecilliárd.
  • In matematica, se n è un intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi. In formule, <math> n! := \prod_{k=1}^n k = 1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)\cdot n per definizione si chiede poi che 0!=1. La generalizzazione analitica del fattoriale è nota con il nome di funzione gamma di Eulero. I valori per i primi fattoriali sono riassunti nella tabella seguente. La rapida crescita con n del valore di n! può risultare stupefacente e questo ha condotto Christian Kramp nel 1807 ad adottare la notazione con il punto esclamativo. Il nome fattoriale era stato coniato invece pochi anni prima, nel 1800, da Antoine Arbogast. Una proprietà del fattoriale consiste nel fatto che dal fattoriale di 6 in poi la somma delle cifre che lo compongono è sempre uguale ad un multiplo di nove mentre per i numeri precedenti a 6 la somma è uguale ad un multiplo di tre. La sequenza dei fattoriali compare nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS, come sequenza A000142.
  • 自然数 n の階乗（かいじょう、英語: factorial）n!とは、1 から n までの自然数の総乗 n\times(n-1)\times\cdots\times3\times2\times1=\prod_{k=1}^n k のことを言う。 例えば、6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 である。階乗数は n が大きくなるにつれて驚くほど大きな数になるので記号として「!」が使われるようになったという。 また、0! = 1 と約束する。これは、(n-1)! = n! / n であるから、0! = 1!/1 = 1 と考えられるため、あるいは、n! が異なる n 個のものを並べる順列の総数 nPn に一致し、0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがあると考えられるため、などと解釈できる。 順列では全て互いに異なるn個のものから n 個全てもしくは n-1 個を選んで線状に並べる方法はn!通りあり、全て互いに異なるn個のものから n 個全てを選んで円環状に並べる方法は(n-1)!通りある。
  • Voor een natuurlijk getal n is n faculteit, genoteerd n!, gedefinieerd als <math> n!=\prod_{k=1}^n k = 1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n </math>, het product van de getallen van 1 tot en met n. Per definitie geldt dat 0! = 1. De faculteitsfunctie groeit snel, sneller zelfs dan een exponentiële functie. De eerste 20 waarden staan hiernaast.
  • Fakultet eller n-fakultet er i matematikk en funksjon som beregner produktet av de naturlige tallene fra 1 til n. Funksjonen betegnes med symbolet n!, som leses som n-fakultet. Eksempel: <math>4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24 </math>
  • Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej n! co czytamy n silnia) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.
  • Na matemática, o factorial ou fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.
  • Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно: n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_{i=1}^n i. По определению полагают <math>0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе. Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.
  • Fakultet är en funktion inom matematiken. För ett heltal större än noll är fakulteten lika med produkten av alla heltal från 1 upp till och med talet självt.
  • Faktöriyel, matematikte, sağına ünlem işareti konulmuş sayıya verilen isim, daha genel olan Gamma Fonksiyonu'nun tam sayılarla sınırlanmış özel bir durumudur. Faktöriyel fonksiyonu verilen pozitif tamsayının kendisinden önceki bütün tamsayılarla 1'e inilinceye kadar çarpılması sonucunda elde edilen çarpımı gösterir. Örnek olarak; <math>1!=1\cdot 1=1\,</math> <math>2!=2\cdot 1=2\,</math> <math>3!=3\cdot 2\cdot 1=6\,</math> <math>4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24\,</math> gösterilebilir. Sıfır pozitif bir sayı olmamasına rağmen faktöriyeli tanım olarak bire eşittir. 0!=1. Programlama dillerinde de sıklıkla karşılaşılan bir kavram olan faktöriyel özyineli (kendi kendini çağıran) ya da tekrarlamalı (iteratif) fonksiyonlarla hesaplanabilir. Java programlama dilinde yazılmış özyineli ve tekrarlamalı fonksiyonlara birer örnek verecek olursak; // n! hesabi - Ozyineli static double faktoriyelOz(double n) if (n <= 1) return 1; else return n * faktoriyelOz(n-1); // n! hesabi - tekrarlamali static double faktoriyelIt(double n) double f = 1; for (double i = n; i>=1;--i) f *= i; return f;
  • Факторіал натурального числа n — добуток натуральних чисел від одиниці до n включно, позначається n!. <math>n! = 1\cdot 2 \cdot \ ... \ \cdot n =\prod_{i=1}^n i</math>. За означенням <math>0! = 1</math>. При великих n наближене значення факторіала можна обчислити за формулою Стірлінга. Факторіал n дорівнює кількості перестановок з n елементів.
  • 階乘（英文：factorial）是所有小於或等於該數的正整數的積。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。 n!=\prod_{k=1}^n k 對於所有<math>n\ge0 即是n!=1×2×3×... ×n 规定0!=1。這條式子令階乘的递归定義在n=0時有效：(n+1)!=n!(n+1)，亦令很多組合數學的恆等式在大小為零時仍有效。 階乘亦可以用伽瑪函數定義，令非整數的數亦有效： z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt
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  • factorial experiment
  • factorial rings in mathematics
  • the experimental technique
  • unique factorization domain
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  • Factorial
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  • In [[mathematics, the factorial of a [[negative and non-negative numbers|non-negative [[integer n, denoted by n!, is the [[Product (mathematics)|product of all positive integers less than or equal to n. For example, 5 ! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120 \ and 6 ! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720. \ The notation n! was introduced by [[Christian Kramp in 1808.
  • Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Diese Notation wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826), der um 1798 auch die Bezeichnung „faculté“ dafür einführte, verwendet.
  • El factorial d'un nombre natural n és el producte de tots els nombres enters positius menors i iguals a n. S'escriu n! i s'anomena "n factorial": <math>n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1</math> és a dir, <math>n!=\prod_{k=1^n k\qquad\mbox{per a tot n \ge 0 \!</math> Per exemple, 5! = 5·4·3·2·1 = 120, mentre que 0! = 1 per definició.
  • V matematice je faktoriál čísla n číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n. Značení n! vyslovujeme jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808.
  • Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n: n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n \, Que de un modo resumido, se puede expresar como: <math> n! = \prod_{k=1^n k Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad.
  • Positiivisen kokonaisluvun <math>n</math> kertoma on <math>n</math>:n ja kaikkien <math>n</math>:ää pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo. Esimerkiksi luvun neljä kertoma on 1×2×3×4 = 24. Kertomaa merkitään symbolilla <math>n!</math>, joka lausutaan: ”n:n kertoma”. Nollan kertoma on 1. Kertoma voidaan määritellä myös muille kuin kokonaisluvuille. Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää.
  • En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel <math> n </math>, notée <math> n! </math>, ce qui se lit soit « factorielle de n » soit « factorielle n », est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. La notation <math>n!</math> a été introduite en 1808 par Christian Kramp. La factorielle joue un rôle important en algèbre combinatoire parce qu'il y a n! façons différentes de permuter n objets.
  • A matematikában egy n nemnegatív egész szám faktoriálisának az n-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát nevezzük. Jelölése: n!, amit „n faktoriális”-nak vagy „n faktor”-nak olvasunk ki. Az n! jelölést Christian Kramp vezette be 1808-ban.
  • In matematica, se n è un intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi. In formule, <math> n! := \prod_{k=1}^n k = 1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)\cdot n per definizione si chiede poi che 0!=1. La generalizzazione analitica del fattoriale è nota con il nome di funzione gamma di Eulero. I valori per i primi fattoriali sono riassunti nella tabella seguente.
  • Voor een natuurlijk getal n is n faculteit, genoteerd n!, gedefinieerd als <math> n!=\prod_{k=1}^n k = 1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n </math>, het product van de getallen van 1 tot en met n. Per definitie geldt dat 0! = 1. De faculteitsfunctie groeit snel, sneller zelfs dan een exponentiële functie. De eerste 20 waarden staan hiernaast.
  • Fakultet eller n-fakultet er i matematikk en funksjon som beregner produktet av de naturlige tallene fra 1 til n. Funksjonen betegnes med symbolet n!, som leses som n-fakultet. Eksempel: <math>4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24 </math>
  • Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej n! co czytamy n silnia) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.
  • Na matemática, o factorial ou fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.
  • Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно: n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_{i=1}^n i. По определению полагают <math>0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
  • Fakultet är en funktion inom matematiken. För ett heltal större än noll är fakulteten lika med produkten av alla heltal från 1 upp till och med talet självt.
  • Faktöriyel, matematikte, sağına ünlem işareti konulmuş sayıya verilen isim, daha genel olan Gamma Fonksiyonu'nun tam sayılarla sınırlanmış özel bir durumudur. Faktöriyel fonksiyonu verilen pozitif tamsayının kendisinden önceki bütün tamsayılarla 1'e inilinceye kadar çarpılması sonucunda elde edilen çarpımı gösterir.
  • Факторіал натурального числа n — добуток натуральних чисел від одиниці до n включно, позначається n!. <math>n! = 1\cdot 2 \cdot \ ... \ \cdot n =\prod_{i=1}^n i</math>. За означенням <math>0! = 1</math>. При великих n наближене значення факторіала можна обчислити за формулою Стірлінга.
  • 階乘（英文：factorial）是所有小於或等於該數的正整數的積。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。 n!=\prod_{k=1}^n k 對於所有<math>n\ge0 即是n!=1×2×3×...
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  • Factorial
  • Fakultät (Mathematik)
  • Factorial
  • Faktoriál
  • Factorial
  • Kertoma
  • Factorielle
  • Faktoriális
  • Fattoriale
  • 階乗
  • Faculteit (wiskunde)
  • Fakultet (matematikk)
  • Silnia
  • Factorial
  • Факториал
  • Fakultet (matematik)
  • Faktöriyel
  • Факторіал
  • 階乘
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