In mathematics, the affinely extended real number system is obtained from the real number system R by adding two elements: +∞ and −∞ (pronounced "positive infinity" and "negative infinity"). These new elements are not real numbers. It is useful in describing various limiting behaviors in calculus and mathematical analysis, especially in the theory of measure and integration. The affinely extended real number system is denoted R or [−∞, +∞].

PropertyValue
dbpprop:abstract
  • In mathematics, the affinely extended real number system is obtained from the real number system R by adding two elements: +∞ and −∞ (pronounced "positive infinity" and "negative infinity"). These new elements are not real numbers. It is useful in describing various limiting behaviors in calculus and mathematical analysis, especially in the theory of measure and integration. The affinely extended real number system is denoted R or [−∞, +∞]. The affinely extended real number system should be distinguished from the projectively extended real numbers which has only one infinity, rather than two. When the meaning is clear from context, the symbol +∞ is often written simply as ∞.
  • Laajennettu reaalilukujoukko on lukujoukko, joka saadaan lisäämällä reaalilukujoukkoon <math>\R kaksi uutta elementtiä: positiivinen äärettömyys +∞ eli ∞ ja negatiivinen äärettömyys −∞. Laajennettua reaalilukujoukkoa voidaan merkitä symbolilla <math>\overline{\R} tai välinä [−∞, +∞]. Laajennettu reaalilukujoukko on tarpeellinen erityisesti raja-arvotarkasteluissa ja mittateorian sovelluksissa.
  • En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble <math>\overline{\mathbb{R}}</math> constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés <math>+ \infty</math> et <math>- \infty</math> (qui ne sont pas considérés comme des nombres réels) vérifiant les propriétés suivantes : pour tout réel x, x < <math>+ \infty</math>, pour tout réel x, x > <math>- \infty</math> L'addition et la multiplication définis sur l'ensemble des réels restent valables dans la droite achevée, de sorte que : Addition : pour tout réel x, x + (<math>+ \infty</math>) = (<math>+ \infty</math>) x + (<math>- \infty</math>) = (<math>- \infty</math>) (<math>+ \infty</math>) + (<math>+ \infty</math>) = (<math>+ \infty</math>) (<math>- \infty</math>) + (<math>- \infty</math>) = (<math>- \infty</math>) Multiplication : pour tout réel strictement positif x (x > 0), <math>x \times (+ \infty)</math> = (<math>+ \infty</math>) <math>x \times (- \infty)</math> = (<math>- \infty</math>) pour tout réel strictement négatif x (x < 0), <math>x \times (+ \infty)</math> = (<math>- \infty</math>) <math>x \times (- \infty)</math> = (<math>+ \infty</math>) (<math>+ \infty) \times (+ \infty</math>) = (<math>+ \infty</math>) (<math>+ \infty) \times (- \infty</math>) = (<math>- \infty</math>) (<math>- \infty) \times (- \infty</math>) = (<math>+ \infty</math>) en revanche, les expressions (<math>+ \infty</math>) + (<math>- \infty</math>), <math>0 \times (+ \infty)</math> et <math>0 \times (- \infty)</math> n'ont aucun sens. L'une de ses particularités notables est que tout ensemble inclus dans la droite réelle achevée admet une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide (noté ∅, et qui dans la droite réelle achevée admet <math>+ \infty</math> en tant que borne inférieure, et <math>- \infty</math> en tant que borne supérieure). Cet ensemble est très utile en analyse, et particulièrement dans certaines théories de l'intégration.
  • Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych - zbiór liczb rzeczywistych R z dołączonym jednym lub dwoma "elementami nieskończonymi". Rozszerzony w ten sposób zbiór R staje się zwartą przestrzenią topologiczną, co ma pewne zalety wykorzystywane w analizie matematycznej i w teorii miary: umożliwia to uproszczenie dowodów; definicje niektórych funkcji można rozszerzyć na na cały zbiór liczb rzeczywistych, niektóre funkcje mogą być przy tym uważane za funkcje ciągłe w tak rozszerzonych zbiorach; możliwe jest rozszerzenie niektórych działań (operacji) na “elementy nieskończone”. Rozszerzenie to nie jest jednak pełne, dołączone elementy nie są liczbami, a rozszerzone zbiory liczb rzeczywistych nie stanowią ciała liczbowego. Rozpatrywane są dwa sposoby rozszerzenia zbioru liczb rzeczywistych R: rozszerzenie jednopunktowe i dwupunktowe. Oba rozszerzenia są przykładami rozszerzeń zwartych zbioru R, w różny sposób rozszerzają one działania arytmetyczne na “elementy nieskończone” i definiują różne topologie rozszerzonych zbiorów.
  • Расширенная числовая прямая <math>\overline{\mathbb{R}}</math> (читается «эр с чертой») — множество действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>, дополненное двумя элементами: <math>+\infty</math> (положительная бесконечность) и <math>-\infty</math> (отрицательная бесконечность), то есть \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\} Бесконечности <math>+\infty</math> и <math>-\infty</math>, которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами, в отличии от действительных чисел <math>a \in \mathbb{R}</math>, называемых конечными числами. При этом для любого действительного числа <math>x \in \mathbb{R}</math> по определению полагают выполненными неравенства -\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty Cледует отличать расширенную числовую прямую <math>\overline{\mathbb{R}}</math> от множества действительных чисел, дополненного одной бесконечность <math>\infty</math>. Такая система называется проективной прямой, и обозначается <math>\mathbb{R}P^1</math>
  • Utökade reella tallinjen är ett begrepp inom matematik. Det är den reella tallinjen med två extra punker: en "negativ" och en "positiv oändlighet" med beteckningarna <math>-\infty</math> och <math>\infty</math>. Utökade reella tallinjen är viktig till exempel inom måtteori och integrationsteori.
  • Невласними числами називають два числа: плюс нескінченність (<math> +\infty </math>) та мінус нескінченність (<math> -\infty </math>), які добавляються до множини дійсних чисел, утворюючи розширену множину дійсних чисел. Плюс нескінченність визначається як число, більше від будь-якого дійсного числа. Мінус нескінченність визначається як число, менше від будь-якого дійсного числа. Л. Д. Кудрявцев «Курс математического анализа, том І», М. , «Высшая школа» 1981
  • 扩展的实数轴 由实数轴 R 加上 +∞ 和 −∞ 得到（注意 +∞ 和 −∞ 并不是实数），写作 R 或 [−∞,+∞]。扩展的实数轴在研究数学分析，特别是积分时非常有用。
dbpprop:author
  • David W. Cantrell
dbpprop:hasPhotoCollection
dbpprop:mlProperty
  • Limit_of_a_function
  • Limit_of_a_function_at_infinity
  • infinite limits
dbpprop:title
  • Affinely Extended Real Numbers
dbpprop:urlname
  • AffinelyExtendedRealNumbers
dbpprop:wikiPageUsesTemplate
rdf:type
rdfs:comment
  • In mathematics, the affinely extended real number system is obtained from the real number system R by adding two elements: +∞ and −∞ (pronounced "positive infinity" and "negative infinity"). These new elements are not real numbers. It is useful in describing various limiting behaviors in calculus and mathematical analysis, especially in the theory of measure and integration. The affinely extended real number system is denoted R or [−∞, +∞].
  • Laajennettu reaalilukujoukko on lukujoukko, joka saadaan lisäämällä reaalilukujoukkoon <math>\R kaksi uutta elementtiä: positiivinen äärettömyys +∞ eli ∞ ja negatiivinen äärettömyys −∞. Laajennettua reaalilukujoukkoa voidaan merkitä symbolilla <math>\overline{\R} tai välinä [−∞, +∞]. Laajennettu reaalilukujoukko on tarpeellinen erityisesti raja-arvotarkasteluissa ja mittateorian sovelluksissa.
  • Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych - zbiór liczb rzeczywistych R z dołączonym jednym lub dwoma "elementami nieskończonymi".
  • Utökade reella tallinjen är ett begrepp inom matematik. Det är den reella tallinjen med två extra punker: en "negativ" och en "positiv oändlighet" med beteckningarna <math>-\infty</math> och <math>\infty</math>. Utökade reella tallinjen är viktig till exempel inom måtteori och integrationsteori.
  • Невласними числами називають два числа: плюс нескінченність (<math> +\infty </math>) та мінус нескінченність (<math> -\infty </math>), які добавляються до множини дійсних чисел, утворюючи розширену множину дійсних чисел.
  • 扩展的实数轴 由实数轴 R 加上 +∞ 和 −∞ 得到（注意 +∞ 和 −∞ 并不是实数），写作 R 或 [−∞,+∞]。扩展的实数轴在研究数学分析，特别是积分时非常有用。
rdfs:label
  • Extended real number line
  • Laajennettu reaalilukujoukko
  • Droite réelle achevée
  • Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych
  • Расширенная числовая прямая
  • Utökade reella tallinjen
  • Невласне число
  • 扩展的实数轴
owl:sameAs
skos:subject
foaf:page
is dbpprop:redirect of
is owl:sameAs of