| dbpprop:abstract
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- Exponentiation is a mathematical operation, written a, involving two numbers, the base a and the exponent n. When n is a positive integer, exponentiation corresponds to repeated multiplication: <math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,</math> just as multiplication by a positive integer corresponds to repeated addition: <math>a \times n = \underbrace{a + \cdots + a}_n. </math> The exponent is usually shown as a superscript to the right of the base. The exponentiation a can be read as: a raised to the n-th power, a raised to the power [of] n or possibly a raised to the exponent [of] n, or more briefly: a to the n-th power or a to the power [of] n, or even more briefly: a to the n. Some exponents have their own pronunciation: for example, a is usually read as a squared and a as a cubed. The power a can be defined also when n is a negative integer, at least for nonzero a. No natural extension to all real a and n exists, but when the base a is a positive real number, a can be defined for all real and even complex exponents n via the exponential function e. Trigonometric functions can be expressed in terms of complex exponentiation. Exponentiation where the exponent is a matrix is used for solving systems of linear differential equations. Exponentiation is used pervasively in many other fields as well, including economics, biology, chemistry, physics, and computer science, with applications such as compound interest, population growth, chemical reaction kinetics, wave behavior, and public key cryptography.
- Das Potenzieren ist wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert.
- En aritmètica, s'anomena potència o potenciació a una operació aritmètica derivada de la multiplicació. Quan tots els factors d'una multiplicació són iguals, es pot simplificar. Així si un nombre b es multiplica n vegades, es diu que es fa la potència n del nombre b, o que és "b elevat a n". <math>(b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot ... ) = b^n \ </math>, on b és la base de la potència i n n'és l'exponent. El cas especial de <math>b\cdot b=b^2 \ </math> acostuma a anomenar-se quadrat. El cas especial de <math>b\cdot b\cdot b=b^3 \ </math> acostuma a anomenar-se cub. El signe d'una potència depèn del signe de la base i de la paritat de l'exponent, de manera que, si la base és positiva, la potència és positiva, però, si la base és negativa, la potència és: positiva si l'exponent es parell, o negativa si l'exponent és senar Exemples: <math>3^5=176;\,</math> <math>-2^4=16;\,</math> <math>-2^3=-8\,</math>
- Umocňování je matematická funkce, která vyjadřuje opakované násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení: \begin{matrix} \underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }&=a^b\\{b} \end{matrix} V tomto vzorci se a označuje jako základ mocniny (mocněnec) a b se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je b-tá mocnina čísla a, a na b-tou. Například <math>3\cdot3\cdot3\cdot3=81 je tři na čtvrtou, což zapisujeme <math>3^4. Speciálním případem prázdného součinu je a = 1 (pro a ≠ 0, viz níže). Tato funkce je vlastně posloupnost definovatelná rekurentně. Pokud a≠0 <math>a^0=1 <math> a^{n+1}=a^n. a a pokud a=0,tak posloupnost ve tvaru <math>a^n(n>0) je konstantní a rovna nule. Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru a^b, někdy také a**b.
- La potenciación no es una operación matemática,es una ley que se nota como a, y que se lee "a elevado a n", que involucra dos números: la base a y el exponente n. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente: Cuando el exponente es un número natural, la potenciación corresponde a una multiplicación de varios factores iguales: el exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo: <math> 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 </math>. En general: <math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,</math> cuando el exponente es un entero negativo -p, una potencia que tenga exponente negativo es el resultado de elevar la fracción inversa de la base 1/a al exponente positivo p. <math>a^{-p}= \frac{1}{a^p}</math> cuando el exponente es una fracción irreducible m/n, se define <math> a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} </math> La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales. Como caso especial, destacar que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 0, en principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.
- Luku <math>a</math> korotetaan <math>n</math>:nteen potenssiin muodostamalla tulo, jonka tekijöinä on <math>n</math> kappaletta lukua <math>a</math>. Tätä laskutoimitusta merkitään <math>a^n</math>, joka luetaan "a:n n:s potenssi". Esimerkiksi luvun 2 kolmas potenssi on <math>2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8</math>.
- En mathématiques, il est souvent intéressant de multiplier un nombre <math>a</math> par lui-même plusieurs fois de suite. Dans une telle opération, l'exposant est le nombre de facteurs intervenant dans cette multiplication. Par commodité, on note ce produit avec a et le nombre de facteurs en exposant (typographie). Ainsi, si n est un entier naturel supérieur ou égal à deux et <math>a</math> un nombre réel ou complexe : <math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,</math> qui est lu « a exposant n » ou abusivement « a puissance n ». Par convention, <math>a^1=a</math> (on considère que <math>a</math> est un produit avec un seul facteur) et, si <math>a</math> est différent de zéro, <math>a^0=1</math> (voir plus bas pour les raisons de ces conventions). <math>a^2=a\times a</math> est appelé le carré de <math>a</math>, car l'aire d'un carré de côté <math>a</math> est <math>a^2</math>. <math>a^3=a \times a \times a</math> est appelé le cube de <math>a</math>, car le volume d'un cube de côté <math>a</math> est <math>a^3</math>. Cette notion, où l'exposant est entier et positif peut être étendue à des exposants entiers négatifs, fractionnaires, réels, complexes, p-adiques, etc. Cette notion est également étendue à tous les objets mathématiques sur lesquels on peut effectuer une multiplication ou une autre opération à notation multiplicative (fonctions, matrices, etc). Il existe des algorithmes permettant de calculer une puissance, de façon plus efficace que par la méthode naïve consistant à le multiplier par lui-même plusieurs fois : voir exponentiation rapide. La structure mathématique naturelle où apparaît la notion d'exposant est celle de groupe. L'exposant d'un groupe fini est un invariant de ce groupe.
- A hatványozás két szám között értelmezett matematikai művelet. Jelölése <math>a^b</math>, ahol a-t alapnak, b-t kitevőnek nevezzük. Pozitív egész b kitevő esetén a hatványozás b darab egymást követő azonos szám összeszorzását jelenti. Például: <math>6^3=6 \cdot 6\cdot 6=216 \,</math> <math>(-2,4)^4=(-2,4) \cdot (-2,4)\cdot (-2,4)\cdot (-2,4) = 33,1776 \,</math> A hatványozás a permanenciaelvet alkalmazva egyéb kitevőkre is értelmezhető. Ez azt jelenti, hogy az egyéb kitevős hatványokat úgy definiáljuk, hogy tulajdonságaikban a lehető leginkább hasonlítsanak a pozitív egész kitevős hatványra. Ha lemondunk a hatványozás egyértelműségéről, akkor bármely nemnulla komplex szám alapra és tetszőleges komplex kitevőre is általánosítható a hatványfogalom. A hatványozás műveletén alapszik a helyiértékes számábrázolás, azaz a számrendszerek használata. A leggyakoribb, tízes számrendszerben például a 10 hatványait használjuk, ezek például a 10, 100, 1000.
- In matematica la 'potenza' è un' operazione che associa ad una coppia di numeri <math>a</math> e <math>n</math> - detti rispettivamente 'base' ed 'esponente' - il numero dato dal prodotto di <math>n</math> fattori uguali ad <math>a</math>: <math>\begin{matrix} a^n:= & \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a } \\ & n\mbox{ volte} \end{matrix}</math> in questo contesto <math>a</math> può essere un numero intero, razionale o reale mentre <math>n</math> è un numero intero positivo. Le potenze scritte nella forma <math>a^n</math> si leggono come elevato alla n o più semplicemente alla n. L’esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base. Alcuni esponenti hanno un loro nome particolare. L’esponente due è spesso indicato come al quadrato (un numero alla seconda rappresenta l’area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l’esponente 3 come al cubo (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore). Esempi: <math>3^2=3\cdot3=9</math> si legge tre alla seconda oppure tre al quadrato <math>2^3=2\cdot2\cdot2=4\cdot2=8</math> si legge due alla terza oppure due al cubo <math>3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=9\cdot9=81</math> si legge tre alla quarta oppure tre elevato alla quarta <math>\left(\frac 1 2 \right)^3 = \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 = \frac 1 8</math> si legge un mezzo alla terza oppure un mezzo al cubo L'operazione si estende ad <math>n=0</math> ponendo per ogni <math>a \neq 0</math> <math>a^0:=1</math>, e ad <math>n</math> negativi ponendo <math>a^{-k}:=\frac 1 {a^k}</math>, Esempio Queste ultime definizioni, a prima vista poco comprensibili, si dimostrano essere ragionevoli quando si analizzano le proprietà delle potenze che vengono presentate di seguito.
- 冪（べき、英語: power, exponentiation）あるいは冪乗（べきじょう）、累乗（るいじょう） とは、ある一つの数同士を繰り返し掛け合わせるという操作のこと、あるいはそれによって得られる数のことである。 「冪」 の文字はもともと 「覆う、覆うもの」 という意味の漢字である。江戸時代の和算家は略字として「巾」を用いた。常用漢字・当用漢字に含まれなかったことから1950年代以降、出版物などでは仮名書きまたは「累乗」への書き換えが進められた。結果として初等数学の教科書ではもっぱら「累乗」が用いられ、「冪」や「冪乗」という用語は排除されたが、一方で「降べき順」「昇べき順」というような用語の一部としては残ったままになっている。
- Machtsverheffen is een wiskundige bewerking, waarbij een getal (de factor of het grondtal van de machtsverheffing) herhaaldelijk met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Machtsverheffen is een rekenkundige bewerking van de derde orde. Het grondtal x verheven tot de macht n wordt genoteerd als x met de betekenis: \begin{matrix} x^n = &\underbrace{ x\cdot x\cdot \ldots \cdot x}\\& {n\ \mathrm{factoren}} \end{matrix} Men zegt: x tot de macht n, of ook kort x tot de n-de. Zo is 2 tot de macht 3, of 2 tot de derde: 2³ = 2×2×2 = 8, met 2 het grondtal en 3 de exponent van de macht 2³. Verwar macht niet met exponent.
- En potens i matematikken er en funksjon som uttrykkes som et grunntall opphøyd i en eksponent. En potens med grunntall a og eksponent b skrives: <math>a^b</math> En potensfunksjon forklares enklest for heltallige eksponenter som tallet multiplisert med seg selv et antall ganger slik at antall faktorer er lik eksponenten, f. eks. : <math>a^4 = a \cdot a \cdot a \cdot a</math> For generelle eksponenter (strengt tatt av type rasjonale tall) kan en forklare potensfunksjonen som en kombinasjon av heltallig potensiering og heltallig rotberegning: <math>a^{0.4} = a^{2/5} = \sqrt[5]{a^2}</math>
- Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu. Na przykład <math>3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 8 gdzie podstawą potęgi jest liczba 3, a wykładnikiem liczba 4. Drugą potęgę nazywa się często kwadratem, a trzecią – sześcianem (zwykle w stosunku do wartości liczbowych, choć nie tylko). Określenia te nawiązują do geometrii, gdyż pole powierzchni kwadratu o boku długości <math>a wynosi <math>a^2, a objętość sześcianu o tym samym boku jest równa <math>a^3.
- Exponenciação ou potenciação é uma operação unária usada em aritmética para indicar a multiplicação de uma dada base por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente, e é a operação matemática oposta à radiciação. <math> {{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n} </math> Nesse caso, a base seria a e o expoente n, sendo n um número natural maior do que 1. A exponenciação é representada por um número e o expoente sobrescrito (por exemplo, 2³), ou com um circunflexo separando a base do expoente (2^3).
- Число <math>a^b</math> называется степенью с основанием a и показателем b.
- Ett uttryck av typen <math>4^5</math> kallas för en potens med basen 4 och exponenten 5, och utläses "fyra upphöjt till fem". Ofta talar man om uttryck på formen <math>a^b</math> som potensuttryck. Operationen att "upphöja" kallas exponentiering. I sammanhang där det är typografiskt omöjligt att skriva upphöjda siffror, liksom i programmeringssammanhang och på många miniräknare, förekommer även skrivsättet a^b.
- Підне́сення до сте́пеня — математична операція, записується як a, від двох чисел, основи степеня а, та показника степеня n, а в результаті застосування отримується степінь. Якщо n додатнє ціле число, піднесення до степеня відповідає n-кратному множенню: <math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,</math> Подібно до того, як множення на ціле число відповідає багатократному додаванню: <math>a \times n = \underbrace{a + \cdots + a}_n. </math>. Другий степінь називають інакше квадратом, третій степінь — кубом. Першим степенем числа називають саме число, наприклад 7 = 7.
- 幂（國粵皆音為“覓”），指乘方运算的结果。<math>n^m指將<math>n自乘<math>m次。把<math>n^m看作乘方的结果，叫做n的m次幂。 <math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n, 其中，n稱為底，m稱為指數（寫成上標）。當不能用上標時，例如在編程語言或電子郵件中，<math>n^m通常寫成n^m或n**m，亦可以用高德納箭號表示法，寫成n↑m，讀作“n的m次方”。 當指數為1時，通常不寫出來，因為那和底的數值一樣；指數為2、3時，可以讀作“n的平方”、“n的立方”。 n的意義亦可視為 <math>a^n =1\times \underbrace{a \times \cdots \times a}_n, 起始值1（乘法的單位元）乘底指數這麼多次。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數0和負數的情況：所有數的零次方都是1；指數是負數時就等於重複除以底；即 <math>n^0=1, n^{-m}=1/(\underbrace{n\times\cdots\times n}_m)。 分數為指數的冪定義為<math>x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}，即x的m次方开n次方根 0的0次方在某些領域定義為1，某些領域未定義，但並未提出不定義之理由。 冪不符合結合律和交換律。 因為十的次方很易計算，只需在後加零即可，所以科学记数法借助此簡化記錄數的方式；二的幂在計算機科學中很有用。
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- Exponentiation is a mathematical operation, written a, involving two numbers, the base a and the exponent n. When n is a positive integer, exponentiation corresponds to repeated multiplication: <math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,</math> just as multiplication by a positive integer corresponds to repeated addition: <math>a \times n = \underbrace{a + \cdots + a}_n. </math> The exponent is usually shown as a superscript to the right of the base.
- Das Potenzieren ist wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert.
- En aritmètica, s'anomena potència o potenciació a una operació aritmètica derivada de la multiplicació. Quan tots els factors d'una multiplicació són iguals, es pot simplificar. Així si un nombre b es multiplica n vegades, es diu que es fa la potència n del nombre b, o que és "b elevat a n". <math>(b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot ... ) = b^n \ </math>, on b és la base de la potència i n n'és l'exponent.
- Umocňování je matematická funkce, která vyjadřuje opakované násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení: \begin{matrix} \underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }&=a^b\\{b} \end{matrix} V tomto vzorci se a označuje jako základ mocniny (mocněnec) a b se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je b-tá mocnina čísla a, a na b-tou.
- La potenciación no es una operación matemática,es una ley que se nota como a, y que se lee "a elevado a n", que involucra dos números: la base a y el exponente n. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente: Cuando el exponente es un número natural, la potenciación corresponde a una multiplicación de varios factores iguales: el exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.
- Luku <math>a</math> korotetaan <math>n</math>:nteen potenssiin muodostamalla tulo, jonka tekijöinä on <math>n</math> kappaletta lukua <math>a</math>. Tätä laskutoimitusta merkitään <math>a^n</math>, joka luetaan "a:n n:s potenssi". Esimerkiksi luvun 2 kolmas potenssi on <math>2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8</math>.
- En mathématiques, il est souvent intéressant de multiplier un nombre <math>a</math> par lui-même plusieurs fois de suite. Dans une telle opération, l'exposant est le nombre de facteurs intervenant dans cette multiplication. Par commodité, on note ce produit avec a et le nombre de facteurs en exposant (typographie).
- A hatványozás két szám között értelmezett matematikai művelet. Jelölése <math>a^b</math>, ahol a-t alapnak, b-t kitevőnek nevezzük. Pozitív egész b kitevő esetén a hatványozás b darab egymást követő azonos szám összeszorzását jelenti.
- Machtsverheffen is een wiskundige bewerking, waarbij een getal (de factor of het grondtal van de machtsverheffing) herhaaldelijk met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Machtsverheffen is een rekenkundige bewerking van de derde orde. Het grondtal x verheven tot de macht n wordt genoteerd als x met de betekenis: \begin{matrix} x^n = &\underbrace{ x\cdot x\cdot \ldots \cdot x}\\& {n\ \mathrm{factoren}} \end{matrix} Men zegt: x tot de macht n, of ook kort x tot de n-de.
- En potens i matematikken er en funksjon som uttrykkes som et grunntall opphøyd i en eksponent. En potens med grunntall a og eksponent b skrives: <math>a^b</math> En potensfunksjon forklares enklest for heltallige eksponenter som tallet multiplisert med seg selv et antall ganger slik at antall faktorer er lik eksponenten, f. eks.
- Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu. Na przykład <math>3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 8 gdzie podstawą potęgi jest liczba 3, a wykładnikiem liczba 4.
- Exponenciação ou potenciação é uma operação unária usada em aritmética para indicar a multiplicação de uma dada base por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente, e é a operação matemática oposta à radiciação. <math> {{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n} </math> Nesse caso, a base seria a e o expoente n, sendo n um número natural maior do que 1.
- Число <math>a^b</math> называется степенью с основанием a и показателем b.
- Ett uttryck av typen <math>4^5</math> kallas för en potens med basen 4 och exponenten 5, och utläses "fyra upphöjt till fem". Ofta talar man om uttryck på formen <math>a^b</math> som potensuttryck. Operationen att "upphöja" kallas exponentiering. I sammanhang där det är typografiskt omöjligt att skriva upphöjda siffror, liksom i programmeringssammanhang och på många miniräknare, förekommer även skrivsättet a^b.
- Підне́сення до сте́пеня — математична операція, записується як a, від двох чисел, основи степеня а, та показника степеня n, а в результаті застосування отримується степінь.
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