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- In graph theory, an Eulerian path is a path in a graph which visits each edge exactly once. Similarly, an Eulerian circuit is an Eulerian path which starts and ends on the same vertex. They were first discussed by Leonhard Euler while solving the famous Seven Bridges of Königsberg problem in 1736. Mathematically the problem can be stated like this: Given the graph on the right, is it possible to construct a path (or a cycle, i.e. a path starting and ending on the same vertex) which visits each edge exactly once? Graphs which allow the construction of so called Eulerian circuits are called Eulerian graphs. Euler observed that a necessary condition for the existence of Eulerian circuits is that all vertices in the graph have an even degree, and that for an Eulerian path either all, or all but two (i.e. , the two endpoint) vertices have an even degree; this means the Königsberg graph is not Eulerian. Sometimes a graph that has an Eulerian path, but not an Eulerian circuit (in other words, it is an open path, and does not start and end at the same vertex) is called semi-Eulerian. Carl Hierholzer published the first complete characterization of Eulerian graphs in 1873, by proving that in fact the Eulerian graphs are exactly the graphs which are connected and where every vertex has an even degree.
- Ein Eulerkreis oder (geschlossener) Eulerzug (auch Eulertour oder Eulersche Linie) ist in der Graphentheorie ein Zyklus, der alle Kanten eines Graphen genau einmal enthält. Ein offener Eulerzug, (Eulerpfad oder auch Eulerweg) ist dann gegeben, wenn die Identität von Start- und Endknoten nicht verlangt wird, d.h. statt eines Zyklus wird lediglich ein Weg verlangt, der jede Kante des Graphen genau einmal enthält. Einen zusammenhängenden Graph, der einen Eulerkreis besitzt, bezeichnet man auch als eulersch. Die Aufgabe, zu einem gegebenen Graph zu bestimmen, ob dieser eulersch ist oder nicht, bezeichnet man als Eulerkreis-Problem. Es geht auf das 1736 von Leonhard Euler gelöste Königsberger Brückenproblem zurück. Das Problem existiert auch für gerichtete Graphen und Graphen mit Mehrfachkanten.
- V teorii grafů se termínem eulerovský tah označuje takový tah, který obsahuje každou hranu grafu právě jednou. Zavedl jej Leonhard Euler, když se roku 1736 pokoušel vyřešit slavný problém sedmi mostů města Královce. Existuje-li v grafu uzavřený eulerovský tah, nazýváme tento graf rovněž eulerovský. Eulerovské grafy lze nakreslit „jedním tahem“.
- Un ciclo euleriano es aquel camino que recorre todos los vértices (nodos) de un grafo pasando una y sólo una vez por cada arco (arista) del grafo, siendo condición necesaria que regrese al vértice inicial de salida (ciclo = camino en un grafo donde coinciden vértice inicial o de salida y vértice final o meta). Una definición más formal lo define como: "aquel ciclo que contiene todas las aristas de un grafo solamente una vez". En relación con los ciclos eulerianos Carl Hierholzer publicó la primera caracterización completa de los grafos eulerianos en 1873, probando matemáticamente que de hecho los grafos eulerianos son exactamente aquellos grafos que están conectados con todos y donde cada uno de los vértices tienen grado par.
- Eulerin polku on suunnatussa tai suuntaamattomassa verkossa oleva polku, joka kulkee verkon jokaisen kaaren kautta täsmälleen kerran. Eulerin polun erikoistapaus on Eulerin kierros, joka on suunnatussa tai suuntaamattomassa verkossa oleva sykli, joka kulkee verkon jokaisen kaaren kautta täsmälleen kerran ja palaa lopuksi lähtösolmuun. Käsitteet on tehnyt tunnetuksi sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler, joka ratkaisi vuonna 1736 kuuluisan Königsbergin siltaongelman. Välttämätön ehto Eulerin kierrokselle on jokaisen solmun asteen parillisuus. Graafissa on Eulerin polku, jos siinä on Eulerin kierros, tai jos täsmälleen kahden solmun aste on pariton.
- Théorème d'Euler (1736) – Un graphe connexe est eulérien si et seulement si chacun de ses sommets est incident à un nombre pair d'arêtes. Remarquons que si seuls deux sommets s et t sont incidents à un nombre impair d'arêtes, l'ajout de l'arête st rend le graphe eulérien, en d'autres termes, on peut parcourir le graphe depuis s jusqu'à t en empruntant chaque arête exactement une fois (comme e.g. pour l'enveloppe).
- In teoria dei grafi la nozione di cammino euleriano si può definire per varie strutture relazionali. Un cammino euleriano sopra un multigrafo è un cammino che tocca tutti i suoi archi una e una volta sola. Questa definizione si applica anche ai grafi non orientati, strutture che possono considerarsi casi particolari dei multigrafi. Similmente per cammino euleriano sopra un multidigrafo si intende un cammino che tocca tutti i suoi archi una e una volta sola. Questa definizione si applica anche ai digrafi, strutture che possono considerarsi casi particolari dei multidigrafi. Queste definizioni si estendono poi a tutti i generi di arricchimenti dei multigrafi (ad esempio alle reti di trasporto) e dei multidigrafi (ad esempio ai vari generi di automi e di macchine formali). L'ambito naturale per studiare queste nozioni rimane però quello dei multigrafi e dei multidigrafi. Più precisamente si trascurano anche le possibilità di avere dei cappi. Non tutti i multigrafi e non tutti i multidigrafi posseggono cammini euleriani. Si distinguono quindi i multigrafi euleriani e i multidigrafi euleriani, strutture dotate di cammini euleriani. Si osserva anche che la presenza di cappi non influisce sulla possibilità di individuare cammini euleriani; lo stesso accade per gli arricchimenti di multigrafi e di multidigrafi. Si pone allora il problema di stabilire se un multigrafo o un multidigrafo privo di cappi sia euleriano o no. Questo problema è stato risolto sostanzialmente in modo completo da Eulero nel 1736 con un lavoro che ha segnato la nascita della teoria dei grafi e della topologia. Da questo lavoro pionieristico deriva a questi grafi e ai cammini che li caratterizzano la qualifica di euleriani. Si segnala che come sinonimo di cammino euleriano su un multigrafo si usa anche il termine cammino biiettivo sugli spigoli, mentre come sinonimo di cammino euleriano su un multidigrafo si usa anche il termine cammino biiettivo sugli archi. In effetti questi cammini si possono considerare funzioni iniettive e suriettive sull'insieme degli spigoli o sull'insieme degli archi. Casi particolari di cammini euleriani sono i cammini chiusi, cioè i cammini euleriani aventi vertice iniziale e vertice finale coincidenti. Questi sono detti circuiti euleriani.
- オイラー路とは、グラフ（グラフ理論）の全ての辺を1度だけ通る路のこと。全ての辺を1度だけ通る閉路は、オイラー閉路という。この名称は、レオンハルト・オイラーにちなむ。 グラフGの辺をすべて通るようなオイラー閉路を持つグラフのことをオイラーグラフという。またGの辺をすべて通るような、閉路でないオイラー路を持つグラフのことを準オイラーグラフという。 オイラーグラフと準オイラーグラフは、一筆書き可能である。連結グラフ G に対して次が成り立つ。（詳細は一筆書きの記事参照） Gがオイラーグラフ ⇔ Gの全ての頂点の次数が偶数 Gが準オイラーグラフ ⇔ Gの頂点のうち、次数が奇数であるものがちょうど2つ グラフGの頂点をすべて通る閉路はハミルトン路という。
- Łańcuch Eulera (droga Eulera, ścieżka Eulera) to taka ścieżka w grafie, która przechodzi przez każdą jego krawędź dokładnie raz. Jeżeli w danym grafie możliwe jest utworzenie takiej drogi, to jest on nazywany grafem półeulerowskim. Nazwa pochodzi od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera, który jako pierwszy, zajmował się problematyką związaną z drogami w grafach.
- Um Caminho Euleriano é um caminho em um grafo que visita cada aresta apenas uma vez. Similarmente, um Circuito Euleriano é um caminho euleriano que começa e termina no mesmo vértice. O conceito foi introduzido por Leonard Euler para a resolução do problema das sete pontes de Königsberg em 1736. Grafos que possuem um circuito euleriano são chamados Grafos Eulerianos. Uma das principais condições para um grafo ser euleriano é que todos os vértices precisam ser de grau par. Não confundir com caminho hamiltoniano em que o caminho deve passar uma vez em cada vértice.
- Файл:Konigsburg graph. svg Граф Кёнигсбергских мостов. Этот граф не является эйлеровым, поэтому решения не существует. Файл:Labelled Eulergraph. svg Каждая вершина этого графа имеет чётную степень, поэтому этот граф — эйлеров. Обход рёбер в алфавитном порядке даёт эйлеров цикл. Эйлеров путь (эйлерова цепь) в графе — это путь, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу. Эйлеров цикл — это эйлеров путь, являющийся циклом. Эйлеров граф — граф, содержащий эйлеров цикл. Полуэйлеров граф — граф, содержащий эйлеров путь (цепь).
- 一笔画问题是图论中一个著名的问题。一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。一般认为，欧拉的研究是图论的开端。 与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。
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- In graph theory, an Eulerian path is a path in a graph which visits each edge exactly once. Similarly, an Eulerian circuit is an Eulerian path which starts and ends on the same vertex. They were first discussed by Leonhard Euler while solving the famous Seven Bridges of Königsberg problem in 1736. Mathematically the problem can be stated like this: Given the graph on the right, is it possible to construct a path (or a cycle, i.e.
- Ein Eulerkreis oder (geschlossener) Eulerzug (auch Eulertour oder Eulersche Linie) ist in der Graphentheorie ein Zyklus, der alle Kanten eines Graphen genau einmal enthält. Ein offener Eulerzug, (Eulerpfad oder auch Eulerweg) ist dann gegeben, wenn die Identität von Start- und Endknoten nicht verlangt wird, d.h. statt eines Zyklus wird lediglich ein Weg verlangt, der jede Kante des Graphen genau einmal enthält.
- V teorii grafů se termínem eulerovský tah označuje takový tah, který obsahuje každou hranu grafu právě jednou. Zavedl jej Leonhard Euler, když se roku 1736 pokoušel vyřešit slavný problém sedmi mostů města Královce. Existuje-li v grafu uzavřený eulerovský tah, nazýváme tento graf rovněž eulerovský. Eulerovské grafy lze nakreslit „jedním tahem“.
- Un ciclo euleriano es aquel camino que recorre todos los vértices (nodos) de un grafo pasando una y sólo una vez por cada arco (arista) del grafo, siendo condición necesaria que regrese al vértice inicial de salida (ciclo = camino en un grafo donde coinciden vértice inicial o de salida y vértice final o meta). Una definición más formal lo define como: "aquel ciclo que contiene todas las aristas de un grafo solamente una vez".
- Eulerin polku on suunnatussa tai suuntaamattomassa verkossa oleva polku, joka kulkee verkon jokaisen kaaren kautta täsmälleen kerran. Eulerin polun erikoistapaus on Eulerin kierros, joka on suunnatussa tai suuntaamattomassa verkossa oleva sykli, joka kulkee verkon jokaisen kaaren kautta täsmälleen kerran ja palaa lopuksi lähtösolmuun. Käsitteet on tehnyt tunnetuksi sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler, joka ratkaisi vuonna 1736 kuuluisan Königsbergin siltaongelman.
- Théorème d'Euler (1736) – Un graphe connexe est eulérien si et seulement si chacun de ses sommets est incident à un nombre pair d'arêtes. Remarquons que si seuls deux sommets s et t sont incidents à un nombre impair d'arêtes, l'ajout de l'arête st rend le graphe eulérien, en d'autres termes, on peut parcourir le graphe depuis s jusqu'à t en empruntant chaque arête exactement une fois (comme e.g. pour l'enveloppe).
- In teoria dei grafi la nozione di cammino euleriano si può definire per varie strutture relazionali. Un cammino euleriano sopra un multigrafo è un cammino che tocca tutti i suoi archi una e una volta sola. Questa definizione si applica anche ai grafi non orientati, strutture che possono considerarsi casi particolari dei multigrafi. Similmente per cammino euleriano sopra un multidigrafo si intende un cammino che tocca tutti i suoi archi una e una volta sola.
- Łańcuch Eulera (droga Eulera, ścieżka Eulera) to taka ścieżka w grafie, która przechodzi przez każdą jego krawędź dokładnie raz. Jeżeli w danym grafie możliwe jest utworzenie takiej drogi, to jest on nazywany grafem półeulerowskim. Nazwa pochodzi od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera, który jako pierwszy, zajmował się problematyką związaną z drogami w grafach.
- Um Caminho Euleriano é um caminho em um grafo que visita cada aresta apenas uma vez. Similarmente, um Circuito Euleriano é um caminho euleriano que começa e termina no mesmo vértice. O conceito foi introduzido por Leonard Euler para a resolução do problema das sete pontes de Königsberg em 1736. Grafos que possuem um circuito euleriano são chamados Grafos Eulerianos. Uma das principais condições para um grafo ser euleriano é que todos os vértices precisam ser de grau par.
- Файл:Konigsburg graph. svg Граф Кёнигсбергских мостов. Этот граф не является эйлеровым, поэтому решения не существует. Файл:Labelled Eulergraph. svg Каждая вершина этого графа имеет чётную степень, поэтому этот граф — эйлеров. Обход рёбер в алфавитном порядке даёт эйлеров цикл.
- 一笔画问题是图论中一个著名的问题。一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。一般认为，欧拉的研究是图论的开端。 与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。
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