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- In geometry, the Euler line, named after Leonhard Euler, is a line determined from any triangle that is not equilateral; it passes through several important points determined from the triangle. In the image, the Euler line is shown in red. It passes through the orthocenter (blue), the circumcenter (green), the centroid (orange), and the center of the nine-point circle (red) of the triangle. Euler (1765) showed that in any triangle, the orthocenter, circumcenter, centroid, and nine-point center are collinear. In equilateral triangles, these four points coincide, but in any other triangle they do not, and the Euler line is determined by any two of them. The center of the nine-point circle lies midway along the Euler line between the orthocenter and the circumcenter, and the distance from the centroid to the circumcenter is half that from the centroid to the orthocenter. Other notable points that lie on the Euler line are the de Longchamps point, the Schiffler point, the Exeter point and the far-out point. However, the incenter lies on the Euler line only for isosceles triangles. The Euler line is its own complement, and therefore also its own anticomplement. Let A, B, C denote the vertex angles of the reference triangle, and let x : y : z be a variable point in trilinear coordinates; then an equation for the Euler line is <math>\sin 2A \sin(B - C)x + \sin 2B \sin(C - A)y + \sin 2C \sin(A - B)z = 0. \,</math> Another particularly useful way to represent the Euler line is in terms of a parameter t. Starting with the circumcenter and the orthocenter </math>, every point on the Euler line, except the orthocenter, is given as <math>\cos A + t \cos B \cos C : \cos B + t \cos C \cos A : \cos C + t \cos A \cos B\,</math> for some t. Examples: centroid = <math>\cos A + \cos B \cos C : \cos B + \cos C \cos A : \cos C + \cos A \cos B</math> nine-point center = <math>\cos A + 2 \cos B \cos C : \cos B + 2 \cos C \cos A : \cos C + 2 \cos A \cos B</math> De Longchamps point = <math>\cos A - \cos B \cos C : \cos B - \cos C \cos A : \cos C - \cos A \cos B</math> Euler infinity point = <math>\cos A - 2 \cos B \cos C : \cos B - 2 \cos C \cos A : \cos C - 2 \cos A \cos B</math>
- Unter der eulerschen Geraden eines Dreiecks (auch Eulergeraden, benannt nach dem Mathematiker Leonhard Euler) versteht man die Gerade, die durch den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt und den Höhenschnittpunkt des Dreiecks geht. Außerdem gilt <math>\overline{HS}: \overline{SU} = 2: 1</math>, wobei der Schwerpunkt S zwischen dem Höhenschnittpunkt H und dem Umkreismittelpunkt U liegt. Die eulersche Gerade geht auch durch den Mittelpunkt des Feuerbachkreises; der Mittelpunkt dieses Kreises ist gleichzeitig der Mittelpunkt der Strecke [HU]. In einem gleichschenkligen Dreieck stimmt die eulersche Gerade mit der zur Basis gehörigen Seitenhalbierenden überein. Im Falle eines gleichseitigen Dreiecks kann man nicht mehr von der eulerschen Geraden sprechen, weil dann die drei bestimmenden Punkte S, U und H zu einem Punkt zusammenfallen. (Sie liegen dann auf unendlich vielen Geraden, d. h. jede Gerade durch diesen einen Punkt könnte als eulersche Gerade aufgefasst werden, was man aber der Eindeutigkeit halber vermeidet. ) Auf der eulerschen Geraden des Dreiecks ABC liegt auch der Umkreismittelpunkt des Dreiecks, das von den Tangenten an den Umkreis des Dreiecks ABC in den Punkten A, B und C gebildet wird. Darüber hinaus enthält die eulersche Gerade noch weitere ausgezeichnete Punkte des Dreiecks, unter anderem den Longchamps-Punkt und den Schiffler-Punkt.
- L'ortocentre, el circumcentre i el baricentre d'un triangle són colinials. La recta que els conté es diu recta d'Euler en honor al matemàtic suís Leonhard Euler el qual va descobrir aquest fet a mitjan segle XVIII. Per veure que això és això, ens referim a la figura. el baricentre G divideix les mitjanes d'un triangle en dos segments desiguals, sent el més gran dels segments el doble que el menor. Per exemple, a la figura tenim que AG = 2GF. Per tant, en la homotècia el centre de la qual sigui el punt G i de raó -2, el punt A és la imatge del punt F, B la imatge del punt E i C la imatge del punt D. En aquesta homotècia, la mediatriu FO, del costat BC es transforma en la recta que conté a l'altura del vèrtex A: la recta AH (s'ha d'observar que les dues rectes són paral·leles, per ser perpendiculars al costat Bc del triangle). De manera similar, en aquesta homotècia, les altres dues mediatrius, EO i DO es transformen en les rectes que contenen les altures dels vèrtex B i C respectivament. Les altures es tallen a l'ortocentre H del triangle i per tant, aquest és la imatge del circumcentre O del triangle, on es tallen les mediatrius dels costats del triangle. D'aquí que els tres punts, l'ortocentre H, el baricentre G i el circumcentre O estàn aliniats i es troben sobre la recta d'Euler e. També concluim així que la mida del segment HG és el doble de la mida del segment OG
- }}}} Eulerova přímka je přímka nacházející se v každém nerovnostranném trojúhelníku. Tato přímka prochází průsečíkem jeho výšek (ortocentrum), těžištěm a středem opsané kružnice. Těžiště dělí spojnici středu výšek a středu kružnice opsané v poměru 2:1. Na Eulerově přímce leží také střed kružnice devíti bodů, který je stejnolehlým obrazem středu kružnice opsané se středem stejnolehlosti v těžišti trojúhelníka a koeficientem κ = - 0,5. Rovnostranný trojúhelník Eulerovu přímku nemá, protože v něm všechny tyto čtyři body splývají. V rovnoramenném trojúhelníku je Eulerova přímka kolmá na základnu. Eulerova přímka je pojmenována po švýcarském matematikovi Leonhardu Eulerovi.
- La recta de Euler de un triángulo es aquella que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro del mismo. Se llama así, en honor al matemático suizo Leonhard Euler quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.
- Eulerin suora on kuuluisa geometrian tulos. Sen mukaan kolmion painopiste, kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja kolmion korkeusjanojen leikkauspiste on samalla suoralla, Eulerin suoralla. Tod. Olk. R, S, T kolmion ABC sivujen keskipisteet, H ABC:n ortokeskus, O ABC:n ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja M ABC:n keskijanojen leikkauspiste. Silloin jana RO on kohtisuorassa janan ST kanssa, jana SO kohtisuorassa janan RT kanssa, joten O on RST ortokeskus ja ABC on yhdenmuotoinen ABC:n kanssa. Lisäksi AR ja ST ovat suunnikkaan ATRS lävistäjät, joten ne puolittavat toisensa. Tästä seuraa, että M on myös kolmion RST keskijanojen leikkauspiste. Yhdenmuotoisuudesta seuraa, että molemmissa kolmioissa OMR ja HMA kärjen, ortokeskuksen ja painopisteen muodostamat kolmiot ovat yhdenmuoroiset. Siis kulma OMR = kulma HMA. Tämä tarkoittaa, että O, M ja H ovat samalla suoralla. Myös Eulerin ympyrän keskipiste on Eulerin suoralla.
- En géométrie, la droite d'Euler d'un triangle est la droite passant par l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité ou isobarycentre et le centre du cercle d'Euler de ce triangle. Le centre du cercle d'Euler est situé au milieu du segment formé par l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit. D'autre part, la distance entre le centre de gravité et l'orthocentre est le double de celle entre le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit. C'est le mathématicien suisse Leonhard Euler qui démontra le premier que tous ces points étaient alignés. De plus, on sait grâce à cette propriété que :<math>\Omega H = 3 \Omega G</math>. Distance [ <math>\Omega G H</math> ] = <math>\sqrt[2]{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}</math>. Soit <math>M</math> le point défini par <math>\overrightarrow {\Omega M} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega B} + \overrightarrow {\Omega C}</math> La relation de Chasles donne <math>\overrightarrow {\Omega M} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega I_1} + \overrightarrow {I_1 B} + \overrightarrow {\Omega I_1} + \overrightarrow {I_1 C}</math> Or <math>I_1</math> est le milieu de <math>[BC]</math> donc <math>\overrightarrow {I_1 B} + \overrightarrow {I_1 C} = \vec {0}</math> D'où <math>\overrightarrow {\Omega M} - \overrightarrow {\Omega A} = 2\overrightarrow {\Omega I_1}</math>, ce qui donne <math>\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {\Omega I_1}</math> Par définition de <math>\Omega</math>, la droite <math>(\Omega I_1)</math> est la médiatrice du segment <math>[BC]</math>, donc lui est perpendiculaire. La relation vectorielle établie juste au-dessus montre alors que la droite <math>(AM)</math> est aussi perpendiculaire à <math>[BC]</math>, donc <math>(AM)</math> est une hauteur du triangle <math>ABC</math>. De même, on montre que <math>(BM)</math> et <math>(CM)</math> sont des hauteurs de <math>ABC</math>, donc <math>M</math> appartient aux trois hauteurs de ce triangle et en est donc l'orthocentre <math>H</math>. On a donc <math>\overrightarrow {\Omega H} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega B} + \overrightarrow {\Omega C}</math> Par la relation de Chasles, on a <math>\overrightarrow {\Omega H} = 3\overrightarrow {\Omega G} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}</math> Or <math>\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec {0}</math> (car <math>G</math> est le centre de gravité du triangle <math>ABC</math>) Donc on obtient finalement <math>\overrightarrow {\Omega H} = 3\overrightarrow {\Omega G}</math>, ce qui montre que les points <math>\Omega</math>, <math>G</math> et <math>H</math> sont alignés dans cet ordre. La relation d'Euler en découle directement.
- A geometriában a Leonhard Eulerről elnevezett Euler-egyenes (a képen piros színnel) az az egyenes, amely áthalad a háromszög magasságpontján (kék), a körülírt kör középpontján (zöld), a súlyponton (sárga) és a Feuerbach-kör középpontján (narancs). Leonhard Euler megmutatta, hogy bármely háromszögben ez a négy pont egy egyenesre esik. A Feuerbach-kör középpontja felezi a magasságpont és a háromszög körülírt körének középpontja által meghatározott szakaszt. A súlypont 1:2 arányban osztja a körülírt kör középpontját és a magasságpontot összekötő szakaszt.
- La Retta di Eulero è la retta passante per l'ortocentro, il baricentro e il circocentro di un triangolo. Detto G il baricentro, O il circocentro e H l'ortocentro, si ha che OH/GO=3. Infatti, il baricentro divide il segmento che unisce ortocentro e circocentro in due parti una il doppio dell'altra. Numerosi altri punti notevoli di un triangolo, come il centro della circonferenza che passa per i tre punti medi dei lati del triangolo, detta cerchio dei nove punti, giacciono sulla retta di Eulero.
- オイラー線（オイラーせん、Euler - ）は、三角形の外心・重心・垂心を通る直線であり、その名称は存在を見出した数学者レオンハルト・オイラーに由来している。
- De rechte van Euler is de lijn door het hoogtepunt H, het zwaartepunt Z en het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van een driehoek. De ontdekking van deze lijn wordt toegeschreven aan Leonhard Euler. De verhouding van de lengtes van de lijnstukken HZ en ZO is HZ:ZO = 2:1. Ook het middelpunt van de negenpuntscirkel ligt op de rechte van Euler. In barycentrische coördinaten gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie is de vergelijking van de rechte van Euler <math>S_A(b^2-c^2)x + S_B(c^2-a^2)y + S_C(a^2-b^2)z = 0</math>. Lijnstuk "OZH" uit de rechte van Euler: <math>OZH = \sqrt[2]{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}</math> waarbij a,b,c de zijden zijn van driehoek ABC & R is de straal van de omschreven cirkel van driehoek ABC.
- Prosta Eulera – w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie prosta, która przechodzi przez ortocentrum danego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów. Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego, a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.
- Em geometria, a reta de Euler (linha vermelha na imagem), em homenagem ao matemático Leonhard Euler, é a linha que passa pelo ortocentro (azul), o circuncentro (verde), a Baricentro (amarelo) de um triângulo qualquer. Leonhard Euler demonstrou que em um triângulo arbitrário, esses três pontos são colineares. O centro do círculo de Euler está no meio do segmento de reta que liga o ortocentro e o circuncentro, e a distância entre o baricentro ao circuncentro é a metade da distância entre o baricentro e o ortocentro. Altitudes e reta de Euler Reta de Euler e círculo de Euler
- Файл:Triangle. EulerLine. svg Прямая Эйлера (красная) проходит через центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести и центр окружности девяти точек Прямая Эйлера может быть определена как прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.
- Лі́нія Е́йлера, названа на честь Леонарда Ейлера, — лінія, яку можна провести в будь-якому нерівносторонньому трикутнику; вона проходить через кілька важливих визначених для трикутника точок. На рисунку лінія Ейлера показана червоним. Вона проходить через ортоцентр (синій), центр описаного кола (зелений), центроїд (оранжевий), і центр кола дев’яти точок (червоний) трикутника Ейлер (1767) показав, що в будь-якому трикутнику, ортоцентр, центр описаного кола і центр кола дев’яти точок лежать на одній прямій. В рівносторонньому трикутнику ці точки співпадають, але в будь-якому іншому трикутнику ні. Центр кола дев’яти точок лежить посередині між ортоцентром і центром описаного кола, а відстань від центроїда до центра описаного кола дорівнює половині відстані від центроїда до ортоцентра.
- 在平面几何中，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
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- In geometry, the Euler line, named after Leonhard Euler, is a line determined from any triangle that is not equilateral; it passes through several important points determined from the triangle. In the image, the Euler line is shown in red. It passes through the orthocenter (blue), the circumcenter (green), the centroid (orange), and the center of the nine-point circle (red) of the triangle.
- Unter der eulerschen Geraden eines Dreiecks (auch Eulergeraden, benannt nach dem Mathematiker Leonhard Euler) versteht man die Gerade, die durch den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt und den Höhenschnittpunkt des Dreiecks geht. Außerdem gilt <math>\overline{HS}: \overline{SU} = 2: 1</math>, wobei der Schwerpunkt S zwischen dem Höhenschnittpunkt H und dem Umkreismittelpunkt U liegt.
- L'ortocentre, el circumcentre i el baricentre d'un triangle són colinials. La recta que els conté es diu recta d'Euler en honor al matemàtic suís Leonhard Euler el qual va descobrir aquest fet a mitjan segle XVIII. Per veure que això és això, ens referim a la figura. el baricentre G divideix les mitjanes d'un triangle en dos segments desiguals, sent el més gran dels segments el doble que el menor. Per exemple, a la figura tenim que AG = 2GF.
- }}}} Eulerova přímka je přímka nacházející se v každém nerovnostranném trojúhelníku. Tato přímka prochází průsečíkem jeho výšek (ortocentrum), těžištěm a středem opsané kružnice. Těžiště dělí spojnici středu výšek a středu kružnice opsané v poměru 2:1.
- La recta de Euler de un triángulo es aquella que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro del mismo. Se llama así, en honor al matemático suizo Leonhard Euler quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.
- Eulerin suora on kuuluisa geometrian tulos. Sen mukaan kolmion painopiste, kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja kolmion korkeusjanojen leikkauspiste on samalla suoralla, Eulerin suoralla. Tod. Olk. R, S, T kolmion ABC sivujen keskipisteet, H ABC:n ortokeskus, O ABC:n ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja M ABC:n keskijanojen leikkauspiste.
- En géométrie, la droite d'Euler d'un triangle est la droite passant par l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité ou isobarycentre et le centre du cercle d'Euler de ce triangle. Le centre du cercle d'Euler est situé au milieu du segment formé par l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit. D'autre part, la distance entre le centre de gravité et l'orthocentre est le double de celle entre le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit.
- A geometriában a Leonhard Eulerről elnevezett Euler-egyenes (a képen piros színnel) az az egyenes, amely áthalad a háromszög magasságpontján (kék), a körülírt kör középpontján (zöld), a súlyponton (sárga) és a Feuerbach-kör középpontján (narancs). Leonhard Euler megmutatta, hogy bármely háromszögben ez a négy pont egy egyenesre esik.
- La Retta di Eulero è la retta passante per l'ortocentro, il baricentro e il circocentro di un triangolo. Detto G il baricentro, O il circocentro e H l'ortocentro, si ha che OH/GO=3. Infatti, il baricentro divide il segmento che unisce ortocentro e circocentro in due parti una il doppio dell'altra. Numerosi altri punti notevoli di un triangolo, come il centro della circonferenza che passa per i tre punti medi dei lati del triangolo, detta cerchio dei nove punti, giacciono sulla retta di Eulero.
- オイラー線（オイラーせん、Euler - ）は、三角形の外心・重心・垂心を通る直線であり、その名称は存在を見出した数学者レオンハルト・オイラーに由来している。
- De rechte van Euler is de lijn door het hoogtepunt H, het zwaartepunt Z en het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van een driehoek. De ontdekking van deze lijn wordt toegeschreven aan Leonhard Euler. De verhouding van de lengtes van de lijnstukken HZ en ZO is HZ:ZO = 2:1. Ook het middelpunt van de negenpuntscirkel ligt op de rechte van Euler.
- Prosta Eulera – w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie prosta, która przechodzi przez ortocentrum danego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów. Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje.
- Em geometria, a reta de Euler (linha vermelha na imagem), em homenagem ao matemático Leonhard Euler, é a linha que passa pelo ortocentro (azul), o circuncentro (verde), a Baricentro (amarelo) de um triângulo qualquer. Leonhard Euler demonstrou que em um triângulo arbitrário, esses três pontos são colineares.
- Файл:Triangle. EulerLine.
- Лі́нія Е́йлера, названа на честь Леонарда Ейлера, — лінія, яку можна провести в будь-якому нерівносторонньому трикутнику; вона проходить через кілька важливих визначених для трикутника точок. На рисунку лінія Ейлера показана червоним.
- 在平面几何中，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
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