In fluid dynamics, the Euler equations are a set of quasilinear hyperbolic equations governing adiabatic and inviscid flow. They are named after Leonhard Euler. The equations represent Cauchy equations of conservation of mass (continuity), and balance of momentum and energy, and can be seen as particular Navier–Stokes equations with zero viscosity and zero thermal conductivity. In fact, Euler equations can be obtained by linearization of some more precise continuity equations like Navier–Stokes equations in a local equilibrium state given by a Maxwellian. The Euler equations can be applied to incompressible and to compressible flow – assuming the flow velocity is a solenoidal field, or using another appropriate energy equation respectively (the simplest form for Euler equations being the c

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  • In fluid dynamics, the Euler equations are a set of quasilinear hyperbolic equations governing adiabatic and inviscid flow. They are named after Leonhard Euler. The equations represent Cauchy equations of conservation of mass (continuity), and balance of momentum and energy, and can be seen as particular Navier–Stokes equations with zero viscosity and zero thermal conductivity. In fact, Euler equations can be obtained by linearization of some more precise continuity equations like Navier–Stokes equations in a local equilibrium state given by a Maxwellian. The Euler equations can be applied to incompressible and to compressible flow – assuming the flow velocity is a solenoidal field, or using another appropriate energy equation respectively (the simplest form for Euler equations being the conservation of the specific entropy). Historically, only the incompressible equations have been derived by Euler. However, fluid dynamics literature often refers to the full set – including the energy equation – of the more general compressible equations together as "the Euler equations". From the mathematical point of view, Euler equations are notably hyperbolic conservation equations in the case without external field (i.e. in the limit of high Froude number). In fact, like any Cauchy equation, the Euler equations originally formulated in convective form (also called usually "Lagrangian form", but this name is not self-explanatory and historically wrong, so it will be avoided) can also be put in the "conservation form" (also called usually "Eulerian form", but also this name is not self-explanatory and is historically wrong, so it will be avoided here). The conservation form emphasizes the mathematical interpretation of the equations as conservation equations through a control volume fixed in space, and is the most important for these equations also from a numerical point of view. The convective form emphasizes changes to the state in a frame of reference moving with the fluid. (en)
  • Die Euler-Gleichungen (oder auch eulerschen Gleichungen) der Strömungsmechanik sind ein von Leonhard Euler entwickeltes mathematisches Modell zur Beschreibung der Strömung von reibungsfreien elastischen Fluiden. Im engeren Sinne ist mit Euler-Gleichungen die Impulsgleichung für reibungsfreie Strömungen gemeint. Diese wird manchmal auch als Eulersche Gleichung bezeichnet. Im weiteren Sinne wird diese um die Kontinuitätsgleichung und die Energiegleichung erweitert und bildet dann ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Die zugehörigen Impulsgleichungen sind in eulerscher Betrachtungsweise formuliert und lauten: Der Vektor ist das Geschwindigkeitsfeld im Fluid mit Komponenten in Richtung der kartesischen Koordinaten , die Dichte, der Druck und eine äußere volumenverteilte Beschleunigung (z. B. Schwerebeschleunigung). Der Vektorgradient entspricht dem Produkt aus dem Geschwindigkeitsgradienten und der Geschwindigkeit: . Alle Variablen in den Euler-Gleichungen sind im Allgemeinen sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängig. Die linke Vektorgleichung ist die koordinatenfreie Version, die in beliebigen Koordinatensystemen gilt, und die rechten Komponentengleichungen ergeben sich im Sonderfall des kartesischen Koordinatensystems. Die Navier-Stokes-Gleichungen beinhalten diese Gleichungen als den Sonderfall, in dem die innere Reibung (Viskosität) und die Wärmeleitung des Fluids vernachlässigt werden. Anwendung finden die Euler-Gleichungen bei laminaren Strömungen, wie sie in technischen Rohrströmungen oder in der Flugzeugentwicklung in guter Näherung angenommen werden können. Bei Inkompressibilität lässt sich aus den Euler-Gleichungen die Bernoullische Energiegleichung ableiten und bei zusätzlich wirbelfreier Strömung ergeben sich Potentialströmungen. (de)
  • En dinámica de fluidos, las ecuaciones de Euler son las que describen el movimiento de un fluido compresible no viscoso. Su expresión corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes cuando las componentes disipativas son despreciables frente a las convectivas, esto nos lleva a las siguientes condiciones que se pueden deducir a través del análisis de magnitudes de las Navier-Stokes: Aunque habitualmente se expresan en la forma mostrada en este artículo dado que de este modo se enfatiza el hecho de que representan directamente la conservación de masa, momento y energía. Estas ecuaciones se llaman así en honor de Leonhard Euler quien las dedujo directamente de las leyes de Newton (para el caso no-relativista). (es)
  • En mécanique des fluides, les équations d'Euler sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l'écoulement des fluides (liquide ou gaz) dans l’approximation des milieux continus. Ces écoulements sont adiabatiques, sans échange de quantité de mouvement par viscosité ni d'énergie par conduction thermique. L'histoire de ces équations remonte à Leonhard Euler qui les a établies pour des écoulements incompressibles (1857). La relation avec la thermodynamique est due à Pierre-Simon de Laplace (1816) et l'explication des discontinuités à Bernhard Riemann (1860) dont les travaux ont précédé ceux de Rankine et Hugoniot. (fr)
  • ここで、v , ρ, p 及び f は、それぞれ、ある時刻 t と位置における流体の速度、密度、圧力、外力(体積力)である。これはナビエ-ストークス方程式から粘性項を省いたものと同じである。粘性がないため、境界条件として壁面でのすべりを許す必要がある。 特に重力場中の非圧縮性流れでは、重力加速度を g として、 と表される。 一方、高マッハ数の圧縮性流れでは、流速が大きいことから粘性や乱流の効果は壁面近くの小さな領域にしか現れないため、オイラー方程式を用いて流れの解析が行われる。 (ja)
  • In fluidodinamica, le equazioni di Eulero rappresentano una particolare forma semplificata delle equazioni di Navier-Stokes, ottenute nel caso sussista l'ipotesi semplificativa di flusso inviscido, ovvero flusso con viscosità trascurabile. (it)
  • De stromingsvergelijkingen van Euler zijn door Leonhard Euler opgestelde partiële differentiaalvergelijkingen voor de stroming van een onsamendrukbaar fluïdum zonder viscositeit. In praktijk is dit een goede benadering voor weinig viskeuze vloeistoffen of voor gassen ver beneden de geluidssnelheid. Ze zijn dus een benadering voor de exacte Navier-Stokes-vergelijkingen. De vergelijkingen luiden: De onsamendrukbaarheid wordt daarnaast uitgedrukt door een vergelijking die stelt dat de divergentie van het snelheidsveld nul is: De grootheden en parameters in deze vergelijkingen zijn (met hun SI-eenheden) p de druk (Pa)v de vectoriële snelheid (m/s)a de vectoriële uitwendige acceleratie (m/s2)t de tijd (s)ρ de massadichtheid (kg/m3)∇ de nabla-operator (eenheid formeel 1/m) (nl)
  • Em dinâmica de fluidos, as equações de Euler são as que descrevem o movimento de um fluido compressível não viscoso. Sua expressão corresponde às equações de Navier-Stokes quando as componentes dissipativas são desprezáveis frente às convectivas, isto nos leva às seguintes condições que se podem deduzir através da análise de magnitudes das Navier-Stokes: Ainda que, habitualmente, se expressam na forma mostrada neste artigo, dado que deste modo se enfatiza o fato de que representam diretamente a conservação de massa, momento e energia. Estas equações se chamam assim em honra a Leonhard Euler que as deduziu diretamente das leis de Newton. Este artigo contempla as conotações aplicáveis à mecânica clássica; para fluidos compressíveis com velocidades próximas à velocidade da luz se deve consultar o artigo equações relativísticas de Euler. (pt)
  • Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени? (ru)
  • 在流體動力學中,歐拉方程是一組支配無黏性流體運動的方程,以萊昂哈德·歐拉命名。方程組各方程分別代表質量守恆(連續性)、動量守恆及能量守恆,對應零黏性及無熱傳導項的納維-斯托克斯方程。歷史上,只有連續性及動量方程是由歐拉所推導的。然而,流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為“歐拉方程”。 跟納維-斯托克斯方程一樣,歐拉方程一般有兩種寫法:“守恆形式”及“非守恆形式”。守恆形式強調物理解釋,即方程是通過一空間中某固定體積的守恆定律;而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。 歐拉方程可被用於可壓縮性流體,同時也可被用於非壓縮性流體——這時應使用適當的狀態方程,或假設流速的散度為零。 本條目假設經典力學適用;當可壓縮流的速度接近光速時,詳見相對論性歐拉方程。 (zh)
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  • ここで、v , ρ, p 及び f は、それぞれ、ある時刻 t と位置における流体の速度、密度、圧力、外力(体積力)である。これはナビエ-ストークス方程式から粘性項を省いたものと同じである。粘性がないため、境界条件として壁面でのすべりを許す必要がある。 特に重力場中の非圧縮性流れでは、重力加速度を g として、 と表される。 一方、高マッハ数の圧縮性流れでは、流速が大きいことから粘性や乱流の効果は壁面近くの小さな領域にしか現れないため、オイラー方程式を用いて流れの解析が行われる。 (ja)
  • In fluidodinamica, le equazioni di Eulero rappresentano una particolare forma semplificata delle equazioni di Navier-Stokes, ottenute nel caso sussista l'ipotesi semplificativa di flusso inviscido, ovvero flusso con viscosità trascurabile. (it)
  • Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени? (ru)
  • 在流體動力學中,歐拉方程是一組支配無黏性流體運動的方程,以萊昂哈德·歐拉命名。方程組各方程分別代表質量守恆(連續性)、動量守恆及能量守恆,對應零黏性及無熱傳導項的納維-斯托克斯方程。歷史上,只有連續性及動量方程是由歐拉所推導的。然而,流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為“歐拉方程”。 跟納維-斯托克斯方程一樣,歐拉方程一般有兩種寫法:“守恆形式”及“非守恆形式”。守恆形式強調物理解釋,即方程是通過一空間中某固定體積的守恆定律;而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。 歐拉方程可被用於可壓縮性流體,同時也可被用於非壓縮性流體——這時應使用適當的狀態方程,或假設流速的散度為零。 本條目假設經典力學適用;當可壓縮流的速度接近光速時,詳見相對論性歐拉方程。 (zh)
  • In fluid dynamics, the Euler equations are a set of quasilinear hyperbolic equations governing adiabatic and inviscid flow. They are named after Leonhard Euler. The equations represent Cauchy equations of conservation of mass (continuity), and balance of momentum and energy, and can be seen as particular Navier–Stokes equations with zero viscosity and zero thermal conductivity. In fact, Euler equations can be obtained by linearization of some more precise continuity equations like Navier–Stokes equations in a local equilibrium state given by a Maxwellian. The Euler equations can be applied to incompressible and to compressible flow – assuming the flow velocity is a solenoidal field, or using another appropriate energy equation respectively (the simplest form for Euler equations being the c (en)
  • Die Euler-Gleichungen (oder auch eulerschen Gleichungen) der Strömungsmechanik sind ein von Leonhard Euler entwickeltes mathematisches Modell zur Beschreibung der Strömung von reibungsfreien elastischen Fluiden. Im engeren Sinne ist mit Euler-Gleichungen die Impulsgleichung für reibungsfreie Strömungen gemeint. Diese wird manchmal auch als Eulersche Gleichung bezeichnet. Im weiteren Sinne wird diese um die Kontinuitätsgleichung und die Energiegleichung erweitert und bildet dann ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Der Vektor , die Dichte, der Druck und (de)
  • En dinámica de fluidos, las ecuaciones de Euler son las que describen el movimiento de un fluido compresible no viscoso. Su expresión corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes cuando las componentes disipativas son despreciables frente a las convectivas, esto nos lleva a las siguientes condiciones que se pueden deducir a través del análisis de magnitudes de las Navier-Stokes: (es)
  • En mécanique des fluides, les équations d'Euler sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l'écoulement des fluides (liquide ou gaz) dans l’approximation des milieux continus. Ces écoulements sont adiabatiques, sans échange de quantité de mouvement par viscosité ni d'énergie par conduction thermique. (fr)
  • De stromingsvergelijkingen van Euler zijn door Leonhard Euler opgestelde partiële differentiaalvergelijkingen voor de stroming van een onsamendrukbaar fluïdum zonder viscositeit. In praktijk is dit een goede benadering voor weinig viskeuze vloeistoffen of voor gassen ver beneden de geluidssnelheid. Ze zijn dus een benadering voor de exacte Navier-Stokes-vergelijkingen. De vergelijkingen luiden: De onsamendrukbaarheid wordt daarnaast uitgedrukt door een vergelijking die stelt dat de divergentie van het snelheidsveld nul is: (nl)
  • Em dinâmica de fluidos, as equações de Euler são as que descrevem o movimento de um fluido compressível não viscoso. Sua expressão corresponde às equações de Navier-Stokes quando as componentes dissipativas são desprezáveis frente às convectivas, isto nos leva às seguintes condições que se podem deduzir através da análise de magnitudes das Navier-Stokes: (pt)
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  • Euler equations (fluid dynamics) (en)
  • Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik) (de)
  • Ecuaciones de Euler (fluidos) (es)
  • Équations d'Euler (fr)
  • Equazioni di Eulero (fluidodinamica) (it)
  • オイラー方程式 (流体力学) (ja)
  • Stromingsvergelijkingen van Euler (nl)
  • Equações de Euler (fluidos) (pt)
  • Уравнение Эйлера (ru)
  • 欧拉方程 (流体动力学) (zh)
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