In mathematics, and more specifically in algebraic topology and polyhedral combinatorics, the Euler characteristic (or Euler-Poincaré characteristic) is a topological invariant, a number that describes a topological space's shape or structure regardless of the way it is bent. It is commonly denoted by <math>\chi</math>. The Euler characteristic was originally defined for polyhedra and used to prove various theorems about them, including the classification of the Platonic solids.

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  • In mathematics, and more specifically in algebraic topology and polyhedral combinatorics, the Euler characteristic (or Euler-Poincaré characteristic) is a topological invariant, a number that describes a topological space's shape or structure regardless of the way it is bent. It is commonly denoted by <math>\chi</math>. The Euler characteristic was originally defined for polyhedra and used to prove various theorems about them, including the classification of the Platonic solids. Leonhard Euler, for whom the concept is named, was responsible for much of this early work. In modern mathematics, the Euler characteristic arises from homology and connects to many other invariants.
  • Die Euler-Charakteristik ist in der Topologie eine Kennzahl für geschlossene Flächen. Flächen, die unter topologischen Gesichtspunkten als gleich angesehen werden, haben dieselbe Euler-Charakteristik. Sie ist deshalb eine ganzzahlige topologische Invariante. Als Bezeichnung verwendet man üblicherweise <math>\chi</math>. Berechnen lässt sich die Euler-Charakteristik, indem man eine Fläche mit einem Dreiecksgitter überzieht. Unter Verwendung der Anzahl der Ecken <math>E</math>, der Anzahl der Kanten <math>K</math> und der Anzahl der Dreiecke <math>F</math> berechnet sich die Euler-Charakteristik <math>\chi</math> nach der Formel <math>\chi = E - K + F</math> Benannt ist sie nach Leonhard Euler.
  • En topología algebraica, la característica de Euler o característica de Euler-Poincaré es un invariante topológico definido para una amplia clase de espacios topológicos. Es denotada generalmente por χ. La característica de Euler de un politopo de tres dimensiones se puede calcular usando la fórmula siguiente: χ = C - A + V donde C, A y V son los números de caras, de aristas y de vértices respectivamente. En particular, para cualquier poliedro homeomorfo a una esfera tenemos χ(S²) = C - A + V = 2. Por ejemplo, para un cubo tenemos 6 - 12 + 8 = 2 y para un tetraedro tenemos 4 - 6 + 4 = 2. La fórmula anterior también se llama la fórmula de Euler.
  • Eulerin karakteristika on eräs algebrallisen topologian invariantti, joka kuvastaa topologisen avaruuden rakennetta. Eulerin karakteristika määriteltiin alun perin monitahokkaalle ja sitä käytettiin todistamaan monia monitahokkaita koskevia lauseita, kuten esimerkiksi kaikkien säännöllisten monitahokkaiden karakterisoimiseen. Alkuaikoina erityisesti Leonhard Euler tutki Eulerin karakteristikaa. Nykymatematiikassa Eulerin karakteristika esiintyy homologiateoriassa ja sillä on yhteyksiä moniin muihin algebrallisen topologian invariantteihin.
  • La caractéristique d'Euler — ou d'Euler-Poincaré — est un invariant numérique, un nombre qui décrit un aspect d'une forme de l'espace topologique ou de la structure. Elle est communément notée par <math>\chi\,</math>. La caractéristique d'Euler fut définie à l'origine pour les polyèdres et fut utilisée pour démontrer divers théorèmes les concernant, incluant la classification des solides de Platon. Leonhard Euler, par qui le concept eut son nom, fut responsable pour beaucoup dans ce travail de pionnier. En mathématiques plus modernes la caractéristique d'Euler apparait dans l'homologie et les méthodes cohomologiques. Elle est donnée en général par la somme alternée des dimensions des groupes de cohomologie considérés : <math>\chi=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i \mathrm{dim}(H^i)</math>
  • In matematica, e più precisamente in geometria e topologia, la caratteristica di Eulero è un numero intero che descrive alcuni aspetti della forma di uno spazio topologico. Si denota comunemente con <math>\chi</math>. La caratteristica di Eulero fu formulata originariamente per i poliedri, ed usata per dimostrare vari teoremi, inclusa la classificazione dei solidi platonici: Eulero partecipò attivamente a queste ricerche. Nella matematica moderna, la caratteristica di Eulero, chiamata anche caratteristica di Eulero-Poincaré, è definita in un ambito più generale a partire da una omologia, introdotta dal matematico Henri Poincaré.
  • オイラー標数（オイラーひょうすう、Euler characteristic）とは、位相空間のもつある種の構造を特徴付ける位相不変量のひとつ。オイラーが多面体の研究においてこの不変量を用いたことからこの名がある。 オイラー数と呼ばれることもあるが、オイラー数は別の意味で使われることも多い。
  • Charakterystyka Eulera to niezmiennik topologiczny charakteryzujący powierzchnie.
  • Em topologia, a característica de Euler é um invariante topológico, descoberto por Leonard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré. A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera.
  • В алгебраической топологии, эйлерова характеристика есть топологический инвариант определённый на большом классе топологических пространств. Обычно эйлерова характеристика пространства <math>X</math> обозначается <math>\chi(X)</math>. Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле: <math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B}</math> где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для любого выпуклого многогранника верна формула Эйлера: <math>\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B}=\chi(S^2)=2. </math> Например, для куба 6 − 12 + 8 = 2 и для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.
  • Eulerkarakteristisken är en topologisk invariant i form av ett tal. Den introducerades av Euler när han studerade konvexa polyedrar. Han noterade att uttrycket <math>v - e + r</math>, där <math>v</math> betecknar antalet hörn, <math>e</math> antalet kanter, och <math>r</math> antalet regioner (områden på polyedern som begränsas av sidor), är lika med <math>2</math> oavsett vilken polyeder som betraktas. Exempelvis har en kub 8 hörn, 12 kanter, och 6 regioner. Eulerkarakteristiken för kuben är därför 8 - 12 + 6 = 2.
  • 在代数拓扑中，欧拉示性数（Euler characteristic）是一个拓扑不变量（事实上，是同伦不变量），对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作<math>\chi</math>。 二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算： <math>\chi=V-E+F</math> 其中F,E和V分别是面，边和点的个数。 特别的有，对于所有和一个球面同胚的多面体，我们有 <math>\chi(S^2)=F-E+V=2. </math> 例如，对于立方体，我们有6 − 12 + 8 = 2 而对于四面体我们有 4 − 6 + 4 = 2. 刚才的公式也叫做欧拉公式.
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  • Euler characteristic
  • Polyhedral formula
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  • EulerCharacteristic
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  • In mathematics, and more specifically in algebraic topology and polyhedral combinatorics, the Euler characteristic (or Euler-Poincaré characteristic) is a topological invariant, a number that describes a topological space's shape or structure regardless of the way it is bent. It is commonly denoted by <math>\chi</math>. The Euler characteristic was originally defined for polyhedra and used to prove various theorems about them, including the classification of the Platonic solids.
  • Die Euler-Charakteristik ist in der Topologie eine Kennzahl für geschlossene Flächen. Flächen, die unter topologischen Gesichtspunkten als gleich angesehen werden, haben dieselbe Euler-Charakteristik. Sie ist deshalb eine ganzzahlige topologische Invariante. Als Bezeichnung verwendet man üblicherweise <math>\chi</math>. Berechnen lässt sich die Euler-Charakteristik, indem man eine Fläche mit einem Dreiecksgitter überzieht.
  • En topología algebraica, la característica de Euler o característica de Euler-Poincaré es un invariante topológico definido para una amplia clase de espacios topológicos. Es denotada generalmente por χ. La característica de Euler de un politopo de tres dimensiones se puede calcular usando la fórmula siguiente: χ = C - A + V donde C, A y V son los números de caras, de aristas y de vértices respectivamente.
  • Eulerin karakteristika on eräs algebrallisen topologian invariantti, joka kuvastaa topologisen avaruuden rakennetta. Eulerin karakteristika määriteltiin alun perin monitahokkaalle ja sitä käytettiin todistamaan monia monitahokkaita koskevia lauseita, kuten esimerkiksi kaikkien säännöllisten monitahokkaiden karakterisoimiseen. Alkuaikoina erityisesti Leonhard Euler tutki Eulerin karakteristikaa.
  • La caractéristique d'Euler — ou d'Euler-Poincaré — est un invariant numérique, un nombre qui décrit un aspect d'une forme de l'espace topologique ou de la structure. Elle est communément notée par <math>\chi\,</math>. La caractéristique d'Euler fut définie à l'origine pour les polyèdres et fut utilisée pour démontrer divers théorèmes les concernant, incluant la classification des solides de Platon.
  • In matematica, e più precisamente in geometria e topologia, la caratteristica di Eulero è un numero intero che descrive alcuni aspetti della forma di uno spazio topologico. Si denota comunemente con <math>\chi</math>. La caratteristica di Eulero fu formulata originariamente per i poliedri, ed usata per dimostrare vari teoremi, inclusa la classificazione dei solidi platonici: Eulero partecipò attivamente a queste ricerche.
  • オイラー標数（オイラーひょうすう、Euler characteristic）とは、位相空間のもつある種の構造を特徴付ける位相不変量のひとつ。オイラーが多面体の研究においてこの不変量を用いたことからこの名がある。 オイラー数と呼ばれることもあるが、オイラー数は別の意味で使われることも多い。
  • Charakterystyka Eulera to niezmiennik topologiczny charakteryzujący powierzchnie.
  • Em topologia, a característica de Euler é um invariante topológico, descoberto por Leonard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré. A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera.
  • В алгебраической топологии, эйлерова характеристика есть топологический инвариант определённый на большом классе топологических пространств. Обычно эйлерова характеристика пространства <math>X</math> обозначается <math>\chi(X)</math>.
  • Eulerkarakteristisken är en topologisk invariant i form av ett tal. Den introducerades av Euler när han studerade konvexa polyedrar. Han noterade att uttrycket <math>v - e + r</math>, där <math>v</math> betecknar antalet hörn, <math>e</math> antalet kanter, och <math>r</math> antalet regioner (områden på polyedern som begränsas av sidor), är lika med <math>2</math> oavsett vilken polyeder som betraktas.
  • 在代数拓扑中，欧拉示性数（Euler characteristic）是一个拓扑不变量（事实上，是同伦不变量），对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作<math>\chi</math>。 二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算： <math>\chi=V-E+F</math> 其中F,E和V分别是面，边和点的个数。 特别的有，对于所有和一个球面同胚的多面体，我们有 <math>\chi(S^2)=F-E+V=2.
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  • Euler characteristic
  • Euler-Charakteristik
  • Característica de Euler
  • Eulerin karakteristika
  • Caractéristique d'Euler
  • Caratteristica di Eulero
  • オイラー標数
  • Charakterystyka Eulera
  • Característica de Euler
  • Эйлерова характеристика
  • Eulerkarakteristik
  • 欧拉示性数
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