| dbpprop:abstract
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- In number theory, the totient <math>\varphi(n) of a positive integer n is defined to be the number of positive integers less than or equal to n that are coprime to n. For example, <math>\varphi(9)=6 since the six numbers 1, 2, 4, 5, 7 and 8 are coprime to 9. The function <math>\varphi so defined is the totient function. The totient is usually called the Euler totient or Euler's totient, after the Swiss mathematician Leonhard Euler, who studied it. The totient function is also called Euler's phi function or simply the phi function, since it is commonly denoted by the Greek letter Phi (<math>\varphi). The cototient of n is defined as <math>n - \varphi(n), in other words the number of positive integers less than or equal to n that are not coprime to n. The totient function is important mainly because it gives the size of the multiplicative group of integers modulo n. More precisely, <math>\varphi(n) is the order of the group of units of the ring <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. This fact, together with Lagrange's theorem on the possible sizes of subgroups of a group, provides a proof for Euler's theorem that <math>a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod{n} for all a coprime to n. The totient function also plays a key role in the definition of the RSA encryption system.
- thumb|right|Die ersten tausend Werte von <math>\varphi(n)</math> Die eulersche <math>\varphi</math>-Funktion (auch eulersche Funktion genannt) ist eine zahlentheoretische Funktion. Sie gibt für jede natürliche Zahl <math>n</math> an, wie viele positive ganze Zahlen <math>a \le n</math> zu ihr teilerfremd sind <math> \varphi(n) \; = \; \Big| \{ 1 \le a \le n \, |\, \operatorname{ggT}(a,n) = 1 \} \Big| </math> Dabei bezeichnet <math>\operatorname{ggT}(a,n)</math> den größten gemeinsamen Teiler von <math>a</math> und <math>n</math>. Die <math>\varphi</math>-Funktion ist benannt nach Leonhard Euler und wird mit dem griechischen Buchstaben <math>\varphi</math> bezeichnet.
- La funció Fi d'Euler va sorgir de manera natural durant l'estudi que el matemàtic Leonhard Euler va mantenir sobre la natura dels nombres naturals, i més concretament sobre la natura de les congruències modulars <math>Z_n</math>. Arran d'aquest estudi es van anar succeint una sèrie de resultats tals com el teorema de Fermat-Euler, la pròpia funció Phi d'Euler o la classificació dels anomenats generadors de congruències modulars. Avui dia tots aquests resultats s'apliquen en camps tan diversos com la criptografia (vegeu algorisme d'encriptaments RSA), la pròpia teoria de nombres (vegeu grups cíclics, congruències mòdul i teoria de categories de representacions en general) o com a eina d'optimització d'algorismes de programació.
- Eulerova funkce je významná funkce v teorii čísel. Značí se φ(n).
- La función φ de Euler es una función importante en teoría de números. Si n es un número entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Se define como: <math>\varphi(m) = |\{n \in \mathbb{N} | n \leq m \and \mathrm{mcd}(m, n) = 1 \}|</math> donde |. | significa la cantidad de números que cumplen la condición.
- Eulerin φ-funktio \phi(n)</math> on niiden kokonaislukujen k\le n</math> määrä, joille pätee syt(n, k) = 1 eli n ja k ovat suhteellisia alkulukuja. Esimerkiksi \phi(10)=4</math>, koska lukua 10 pienemmistä positiivisista kokonaisluvuista ainoastaan luvut 1,3,7 ja 9 ovat suhteellisia alkulukuja luvun 10 kanssa. φ-funktion arvo voidaan laskea kaavasta \varphi(n)=n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)</math> eli tuloon otetaan tekijöiksi kaikki alkuluvut p</math> jotka jakavat luvun n</math>. Esimerkiksi \varphi(10)=10\prod_{p|10}\left(1-\frac{1}{p}\right)=10\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=4</math>, koska vain alkuluvut 2 ja 5 jakavat luvun 10.
- En mathématiques, l'indicatrice d'Euler est une fonction de la théorie des nombres. Elle est utilisée pour les mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres. En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie. La fonction indicatrice est aussi appelée fonction phi d'Euler ou simplement la fonction phi, car la lettre φ est communément utilisée pour la désigner. Elle est nommée en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler qui fut le premier à l'étudier.
- A <math> \varphi(n) </math> -nel jelölt Euler-függvény (vagy Euler-féle fí-függvény) a matematikamatematikában a számelmélet, különösen a moduláris számelmélet egyik igen fontos függvénye, egy egész számokon értelmezett egész értékű ún. számelméleti függvény. Legelemibb meghatározása, hogy egy adott egész számhoz a nála kisebb relatív prím pozitív egész számok számát adja meg. Formálisan: <math> \varphi(n) = \left \left\{ k \in \mathbb{Z} \ \ 0 < k \le n \ \wedge \ \left(n, k \right) = 1 \right\} \right \ \ \ \left(n \in \mathbb{N} \right) </math>. Egy másik, de fentivel teljességgel azonos függvényt adó értelmezésben e függvény az n-hez redukált maradékosztályredukált maradékosztályok számát adja meg (ez gyakorlatilag ugyanaz, mint az előbbi definíció, elvontabban, a moduláris számelméletmaradékaritmetika kifejezéseivel megfogalmazva). Félig-meddig explicit képlet is adható e függvény kiszámítására, ld. Euler-függvény#Kiszámításalentebb.
- La funzione φ di Eulero, detta anche funzione totiente o semplicemente funzione di Eulero o totiente, è definita, per ogni intero positivo n, come il numero degli interi positivi minori o uguali ad n tali che sono coprimi con n. Ad esempio, φ(8) = 4 poiché i numeri coprimi di 8 sono quattro: 1, 3, 5 e 7. Deve il suo nome al matematico svizzero Eulero, che per primo la descrisse. <math>\varphi(n)</math> è una funzione molto importante nella teoria dei numeri, principalmente perché è la cardinalità del gruppo moltiplicativo di interi di modulo n, più precisamente l'ordine del gruppo dell'anello Z/nZ. Questo fatto, unito con il teorema di Lagrange, dimostra il teorema di Eulero: se a è un numero coprimo con n, allora <math>a^{\varphi(n)}\equiv 1\mod n</math>
- オイラーのトーティエント関数（トーティエント-かんすう、totient function）は各正の整数 n に対して、1 から n までの自然数のうち n と互いに素なものの個数を φ(n) として与えることによって定まる数論的関数 φ である。例えば、1, 2, 3, 4, 5, 6 のうち 6 と互いに素なのは 1, 5 の 2 個であるから、定義に拠れば φ(6) = 2 である。また例えば 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 のうち 7 以外は全て 7 と互いに素だから、φ(7) = 6 と定まる。慣例的に φ(n) と表記されるため、オイラーの φ 関数（ファイかんすう、phi function）とも呼ばれる。また、簡略的にオイラーの関数と呼ぶこともある。なおトーティエント関数の値域に含まれない自然数をノントーティエントという。
- In de getaltheorie is de indicator of totiënt van een positief natuurlijk getal n, genoteerd als φ(n), het aantal positieve natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan n die onderling ondeelbaar zijn met n. Zo is φ(8) = 4, omdat de vier getallen 1, 3, 5 en 7 geen grootste gemene deler hebben met 8 (behalve 1) en daarom onderling ondeelbaar met 8 worden genoemd. De indicator wordt veelal in verband gebracht met de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die de functie uitgebreid bestudeerde. De indicator geeft ook de omvang aan van de multiplicatieve groep van natuurlijke getallen modulo n. Meer precies is φ(n) de orde van de vermenigvuldigingsgroep van de omkeerbare elementen in de ring <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>. Dit feit, samen met de stelling van Lagrange over de orde van een ondergroep, geeft een bewijs voor de stelling van Euler.
- Funkcja φ Eulera (inaczej tocjent) – funkcja matematyczna, która każdej liczbie naturalnej n przypisuje liczbę tych liczb względnie pierwszych z n, które są mniejsze od n. Na przykład, φ(6)=2, bo spośród liczb naturalnych mniejszych od 6 tylko liczby 1 i 5 są względnie pierwsze z 6. Funkcja Eulera odgrywa dużą rolę w teorii liczb. Ma też istotne zastosowania w kryptografii, w badaniach nad złożonością szyfrów.
- A função totiente, ou função phi (fi), – representada por φ(x) – é, na teoria dos números, definida para um número natural x como sendo igual à quantidade de números menores que x co-primos com respeito a ele. Matematicamente: <math>\varphi(x) = \sharp\{n \in \mathbb{N} | n < x \and \mathrm{mdc}(n, x) = 1\}</math> Por exemplo, φ(8) = 4, uma vez que 1, 3, 5 e 7 são co-primos de 8. A função é por vezes chamada função totiente de Euler, pois foi o matemático suíço Leonhard Euler quem a determinou. A função totiente é também chamada simplesmente por função fi, por ser essa (φ) a letra grega usada para representá-la. A função totiente é importante principalmente porque fornece o tamanho do grupo multiplicativo de inteiros módulo n — mais precisamente, φ(n) é a cardinalidade do grupo de unidades do anel Z/nZ. Este fato, ao lado do teorema de Lagrange, fornece a prova do teorema de Euler.
- Indicatorul lui Euler sau funcţia lui Euler se notează cu φ(n) (unde n este un număr natural nenul) şi φ(n) reprezintă numărul de numere mai mici decât n şi prime cu acesta. Exemple: φ(0) = 1 prin convenţie; φ(1) = 1;φ(2) = 1; φ(3) = 2; φ(4) = 2;φ(5) = 4;φ(720) = 192; φ(p) = p-1, dacă p este număr prim. Primele valori ale lui φ(n) Dacă <math>n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}</math> este descompunerea în factori primi distincţi ai lui n unde <math>p_j</math> sunt numere prime distincte, avem formula <math>\phi(n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1} \cdots (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}</math> Aceasta se poate scrie şi <math>\phi(n)=n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)</math> unde produsul se face după numerele prime distincte pr.
- Файл:EulerPhi. svg Первая тысяча значений <math>\varphi(n)</math> Функция Эйлера <math>\varphi(n)</math>, где <math>n</math> — натуральное число, равна количеству натуральных чисел, не больших <math>n</math> и взаимно простых с ним. Названа в честь Эйлера, который впервые использовал ее в своих работах по теории чисел. Функцию Эйлера можно представить в виде так называемого произведения Эйлера: <math>\varphi(n)=n\prod_{p\mid n\left(1-\frac{1{p\right),</math> где <math>p</math> — простое число и пробегает все занчения участвующие в разложении <math>n</math> на простые сомножители - см Основная теорема арифметики. Функция Эйлера от рационального числа: <math>\varphi(q)=\prod_{k=1^\infty(1-q^k). </math>
- Eulers φ-funktion φ(n), namngiven efter Leonhard Euler, är en viktig aritmetisk funktion inom talteorin. Om n är ett positivt heltal, då definieras φ(n) som antalet positiva heltal mindre än eller lika med n som är relativt prima med n. Till exempel är φ(8) = 4 eftersom de fyra talen 1, 3, 5 och 7 är relativt prima till 8. φ är en multiplikativ funktion då m och n är relativt prima dvs φ(mn) = φ(m) φ(n). Värdet av φ(n) kan därför beräknas genom att använda aritmetikens fundamentalsats dvs om <math>n = p_1^{k_1}.. p_r^{k_r}</math> där pj är distinkta primtal, då är <math>\varphi(n) = n \prod_{j=1}^r \left(1 - \frac{1}{p_j} \right)</math> Värdet av φ(n) är lika med ordningen av enhetsgruppen till ringen Z/nZ. Detta tillsammans med Lagranges teorem, ger ett bevis för Eulers sats.
- Totient (kısaca φ, n) sayılar teorisinde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile aralarında asal olan sayı sayısını belirten fonksiyondur. Genellikle Euler Totient ya da Euler'in Totienti olarak adlandırılan Totient, İsveçli matematikçi Leonhard Euler tarafından yaratılmıştır. Totient fonksiyonu, Yunan harflerinden phi(<math>\varphi) ile simgelendiği için Phi fonksiyonu olarak da anılabilir. Örneğin, <math>\varphi(8) = 4 zira 8 ile dört sayı asaldır: 1, 3, 5 ve 7. Euler fonksiyonu, Euler'in teoremininde de kullanılır. Şöyle ki: <math>a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod{n} Totient fonksiyonu ayrıca RSA kriptografi sisteminde de kilit rol oynamaktadır.
- Файл:EulerPhi. svg Перша тисяча значень <math>\varphi(n)</math> Функція Ейлера <math>\varphi(n)</math>, де <math>n</math> — натуральне число,цілочисельна функція рівна кількості натуральних чисел, не більших <math>n</math> і взаємно простих з ним. . Функцію Ейлера можна подати в виді так званого добутку Ейлера: <math>\varphi(n)=n\prod_{p\mid n\left(1-\frac{1{p\right),</math> де <math>p</math> — просте число.
- 在數論中，對正整數n，歐拉函數<math>\varphi(n)是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為φ函數、歐拉商數等。 例如<math>\varphi(8)=4，因為1,3,5,7均和8互質。 欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起構成了欧拉定理的證明。
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- In number theory, the totient <math>\varphi(n) of a positive integer n is defined to be the number of positive integers less than or equal to n that are coprime to n. For example, <math>\varphi(9)=6 since the six numbers 1, 2, 4, 5, 7 and 8 are coprime to 9. The function <math>\varphi so defined is the totient function. The totient is usually called the Euler totient or Euler's totient, after the Swiss mathematician Leonhard Euler, who studied it.
- thumb|right|Die ersten tausend Werte von <math>\varphi(n)</math> Die eulersche <math>\varphi</math>-Funktion (auch eulersche Funktion genannt) ist eine zahlentheoretische Funktion.
- La funció Fi d'Euler va sorgir de manera natural durant l'estudi que el matemàtic Leonhard Euler va mantenir sobre la natura dels nombres naturals, i més concretament sobre la natura de les congruències modulars <math>Z_n</math>. Arran d'aquest estudi es van anar succeint una sèrie de resultats tals com el teorema de Fermat-Euler, la pròpia funció Phi d'Euler o la classificació dels anomenats generadors de congruències modulars.
- Eulerova funkce je významná funkce v teorii čísel. Značí se φ(n).
- La función φ de Euler es una función importante en teoría de números. Si n es un número entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Se define como: <math>\varphi(m) = |\{n \in \mathbb{N} | n \leq m \and \mathrm{mcd}(m, n) = 1 \}|</math> donde |. | significa la cantidad de números que cumplen la condición.
- Eulerin φ-funktio \phi(n)</math> on niiden kokonaislukujen k\le n</math> määrä, joille pätee syt(n, k) = 1 eli n ja k ovat suhteellisia alkulukuja. Esimerkiksi \phi(10)=4</math>, koska lukua 10 pienemmistä positiivisista kokonaisluvuista ainoastaan luvut 1,3,7 ja 9 ovat suhteellisia alkulukuja luvun 10 kanssa.
- En mathématiques, l'indicatrice d'Euler est une fonction de la théorie des nombres. Elle est utilisée pour les mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres. En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie.
- A <math> \varphi(n) </math> -nel jelölt Euler-függvény (vagy Euler-féle fí-függvény) a matematikamatematikában a számelmélet, különösen a moduláris számelmélet egyik igen fontos függvénye, egy egész számokon értelmezett egész értékű ún. számelméleti függvény. Legelemibb meghatározása, hogy egy adott egész számhoz a nála kisebb relatív prím pozitív egész számok számát adja meg.
- La funzione φ di Eulero, detta anche funzione totiente o semplicemente funzione di Eulero o totiente, è definita, per ogni intero positivo n, come il numero degli interi positivi minori o uguali ad n tali che sono coprimi con n. Ad esempio, φ(8) = 4 poiché i numeri coprimi di 8 sono quattro: 1, 3, 5 e 7. Deve il suo nome al matematico svizzero Eulero, che per primo la descrisse.
- In de getaltheorie is de indicator of totiënt van een positief natuurlijk getal n, genoteerd als φ(n), het aantal positieve natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan n die onderling ondeelbaar zijn met n. Zo is φ(8) = 4, omdat de vier getallen 1, 3, 5 en 7 geen grootste gemene deler hebben met 8 (behalve 1) en daarom onderling ondeelbaar met 8 worden genoemd. De indicator wordt veelal in verband gebracht met de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die de functie uitgebreid bestudeerde.
- Funkcja φ Eulera (inaczej tocjent) – funkcja matematyczna, która każdej liczbie naturalnej n przypisuje liczbę tych liczb względnie pierwszych z n, które są mniejsze od n. Na przykład, φ(6)=2, bo spośród liczb naturalnych mniejszych od 6 tylko liczby 1 i 5 są względnie pierwsze z 6. Funkcja Eulera odgrywa dużą rolę w teorii liczb. Ma też istotne zastosowania w kryptografii, w badaniach nad złożonością szyfrów.
- A função totiente, ou função phi (fi), – representada por φ(x) – é, na teoria dos números, definida para um número natural x como sendo igual à quantidade de números menores que x co-primos com respeito a ele. Matematicamente: <math>\varphi(x) = \sharp\{n \in \mathbb{N} | n < x \and \mathrm{mdc}(n, x) = 1\}</math> Por exemplo, φ(8) = 4, uma vez que 1, 3, 5 e 7 são co-primos de 8.
- Indicatorul lui Euler sau funcţia lui Euler se notează cu φ(n) (unde n este un număr natural nenul) şi φ(n) reprezintă numărul de numere mai mici decât n şi prime cu acesta. Exemple: φ(0) = 1 prin convenţie; φ(1) = 1;φ(2) = 1; φ(3) = 2; φ(4) = 2;φ(5) = 4;φ(720) = 192; φ(p) = p-1, dacă p este număr prim.
- Файл:EulerPhi. svg Первая тысяча значений <math>\varphi(n)</math> Функция Эйлера <math>\varphi(n)</math>, где <math>n</math> — натуральное число, равна количеству натуральных чисел, не больших <math>n</math> и взаимно простых с ним.
- Eulers φ-funktion φ(n), namngiven efter Leonhard Euler, är en viktig aritmetisk funktion inom talteorin. Om n är ett positivt heltal, då definieras φ(n) som antalet positiva heltal mindre än eller lika med n som är relativt prima med n. Till exempel är φ(8) = 4 eftersom de fyra talen 1, 3, 5 och 7 är relativt prima till 8. φ är en multiplikativ funktion då m och n är relativt prima dvs φ(mn) = φ(m) φ(n).
- Totient (kısaca φ, n) sayılar teorisinde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile aralarında asal olan sayı sayısını belirten fonksiyondur. Genellikle Euler Totient ya da Euler'in Totienti olarak adlandırılan Totient, İsveçli matematikçi Leonhard Euler tarafından yaratılmıştır. Totient fonksiyonu, Yunan harflerinden phi(<math>\varphi) ile simgelendiği için Phi fonksiyonu olarak da anılabilir.
- Файл:EulerPhi. svg Перша тисяча значень <math>\varphi(n)</math> Функція Ейлера <math>\varphi(n)</math>, де <math>n</math> — натуральне число,цілочисельна функція рівна кількості натуральних чисел, не більших <math>n</math> і взаємно простих з ним. .
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