| dbpprop:abstract
|
- Euler's conjecture is a disproved conjecture in mathematics related to Fermat's last theorem which was proposed by Leonhard Euler in 1769. It states that for all integers n and k greater than 1, if the sum of n kth powers of positive integers is itself a kth power, then n is not smaller than k. In symbols, if \sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k where n>1 and a_1, a_2, \dots, a_n, b are positive integers, then n\geq k. If the conjecture were true, it would be a generalization of Fermat's last theorem, which could be seen as the special case n = 2: if a_1^k + a_2^k = b^k, then 2 \geq k. The conjecture was disproven by L. J. Lander and T. R. Parkin in 1966 when they found the following counterexample for k = 5: 27 + 84 + 110 + 133 = 144. In 1986, Noam Elkies found a method to construct counterexamples for the k = 4 case. His smallest counterexample was the following: A particular case of Elkies' solution can be reduced to the identity, (85v+484v-313) + (68v-586v+10) + (2u) = (357v-204v+363) where u = 22030+28849v-56158v+36941v-31790v. This is an elliptic curve with one solution as v1 = -31/467. From this initial rational point, one can then compute an infinite number of vi. Substituting v1 into the identity and removing common factors gives the numerical example cited above. In 1988, Roger Frye subsequently found the smallest possible k = 4 counterexample by a direct computer search using techniques suggested by Elkies: Moreover, this solution is the only one with values of the variables below 1,000,000. In 1966, L. J. Lander, T. R. Parkin, and John Selfridge conjectured that if \sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k, where a_i\ne b_j are positive integers for all 1\leq i\leq n and 1\leq j\leq m, then m + n \geq k. This would imply as a special case that if \sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k (under the conditions given above) then n\geq k-1.
- Die eulersche Vermutung ist eine nach Leonhard Euler benannte Vermutung der Zahlentheorie und verallgemeinert die fermatsche Vermutung. Die eulersche Vermutung ist mittlerweile widerlegt.
- En mathématiques, la conjecture d'Euler, est une conjecture refutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1769, et qui s'énonce de la façon suivante : Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n-1 puissances n n'est pas une puissance n. En d'autres termes, et de manière plus formelle : <math>\forall n > 2, \forall (a_1, \dots, a_{n-1}) \in (\mathbb{N}^*)^{n-1}, \forall m > 1, \sum_{k=1}^{n-1} {a_k}^n \ne m^n</math> Euler percevait cet énoncé comme une généralisation de la Conjecture de Fermat, à savoir que pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de 2 puissances n n'est pas une puissance n. Les deux énoncés coïncident pour n=3. Euler ajouta que "exactement comme il n'existe pas de cubes dont la somme ou la différence soit un cube, il est certain qu'il est impossible de trouver trois puissances quatrièmes dont la somme soit une puissance quatrième, mais qu'au moins 4 puissances quatrièmes sont nécessaires pour que la somme soit une puissance quatrième, bien que personne n'ait été capable jusqu'à présent de produire ces 4 puissances. De la même façon, il semblerait impossible de trouver 5 puissances cinquièmes dont la somme soit une puissance cinquième, et de même pour les puissances supérieures". La conjecture d'Euler fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966 grâce au contre-exemple suivant : En 1988, Noam Elkies trouva même une méthode pour construire des contre-exemples lorsque n = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant : Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour n = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies : Aucun contre-exemple pour n > 5 n'est actuellement connu.
- La congettura di Eulero è una congettura collegata all'ultimo teorema di Fermat che fu proposta da Leonhard Euler nel 1769. Essa afferma che per ogni intero n > 2, la somma di n − 1 potenze n-esime di interi positivi non può uguagliare una potenza n-esima. Questa congettura fu confutata da L. J. Lander e T. R. Parkin nel 1966, che trovarono il seguente controesempio per n = 5: Nel 1988, Noam Elkies trovò un metodo per costruire dei controesempi per il caso n = 4. Il controesempio più piccolo che fornì fu il seguente: In seguito, Roger Frye trovò il più piccolo controesempio per n = 4 tramite una ricerca diretta al computer, utilizzando tecniche proposte da Elkies: Allo stato attuale non sono noti controesempi per n > 5. Raj Chandra Bose dimostrò con Shrikhande che la congettura di Eulero sulla non esistenza di alcun quadrato greco-latino di ordine 4k + 2 era falsa.
- オイラー予想（—よそう）とは、スイスの数学者レオンハルト・オイラーが提唱した、フェルマーの最終定理を発展させた数学的予想である。現在では、反例によってこの予想は正しくないことが証明されている。
- A conjectura de Euler é dada pela igualdade: <math> \sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k </math>, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, quem primeiro a propôs em 1769. Euler propôs que para todo inteiro n e k maiores que 1, a soma de n potências k dos números inteiros positivos <math>a_i</math> é igual ao número inteiro positivo <math>b^k</math>. É uma fórmula matemática que mostra bastante semelhança com o Último Teorema de Fermat. A conjectura foi falseada por L. J. Lander e T. R. Parkin em 1966, quando encontraram o seguinte contra-exemplo para k = 5: Em 1986, Noam Elkies, da Universidade de Harvard, encontrou um método para construir contra-exemplos para o caso de k = 4 (<math>x^{4} + y^{4} + z^{4} = w^{4}</math>). Seu contra-exemplo foi: Em 1988, Roger Frye encontrou o menor contra-exemplo possível para k = 4 usando técnicas computacionais sugeridas por Noam Elkies: EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers Euler Quartic Conjecture em MathWorld Diophantine Equation — 4th Powers em MathWorld Euler's Conjecture em library. thinkquest. org
- Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа <math>n > 2 никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы <math>(n - 1) <math>n-х степеней других натуральных чисел. То есть, уравнения: \begin{matrix} a^4+b^4+c^4=d^4 \\ a^5+b^5+c^5+d^5=e^5 \\ \sum\limits_{k=1}^{n-1} {a_k^n} = a_n^n \end{matrix} не имеют решения в натуральных числах. Гипотеза была высказана в 1769 Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n=3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n=3. Однако, в 1966 Л. Ландер (L. J. Lander) и Т. Паркин (T. R. Parkin) нашли первый контрпример для n=5: 27^5+84^5+110^5+133^5=144^5. В 1988 Элкис нашёл контрпример для случая <math>n=4: 2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4. Позже Роджер Фрай (Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для <math>n=4: 95800^4+217519^4+414560^4=422481^4. Для n=6 гипотеза Эйлера по-прежнему остается открытой проблемой.
- Eulers förmodan är en förmodan inom talteorin besläktad med Fermats stora sats, som föreslogs av Euler 1769. Den säger att för varje heltal n större än 2 kan inte summan av n-1 positiva heltal till n:te potens vara en ny n:te potens. Förmodan motbevisades av L. J. Lander och T. R. Parkin 1966 när de fann följande motexempel för n = 5: År 1988 fann Noam Elkies en metod för att konstruera motexempel i fallet n = 4. Hans minsta motexempel var följande: Roger Frye fann senare det minsta möjliga motexemplet för n = 4 genom en direkt datorsökning med metoder föreslagna av Elkies: Inga motexempel för n > 5 är för närvarande kända. Talteori → Diofantisk ekvation → Eulers förmodan
- Гіпотеза Ейлера стверджує, що для будь-якого натурального числа <math>n > 2 жодний n-ний степінь натурального числа не можна подати у вигляді суми <math>(n - 1) n-них степенів інших натуральних чисел. Тобто, рівняння: \begin{matrix} a^4+b^4+c^4=d^4 \\ a^5+b^5+c^5+d^5=e^5 \\ \sum\limits_{k=1}^{n-1} {a_k^n} = a_n^n \end{matrix} не мають розв'язків у натуральних числах. Гіпотеза була сформульована у 1769 Леонардом Ейлером. У 1966 Л. Ландер (L. J. Lander) і Т. Паркін (T. R. Parkin) знайшли перший контрприклад до гіпотези Ейлера: У 1988 Ноам Елкіс знайшов контрприклад для випадку <math>n = 4: Пізніше Роджер Фрай (Roger Frye) знайшов найменший контрприклад для <math>n=4:
- 歐拉猜想是由歐拉提出，從費馬最後定理引出的猜想。這猜想是說對每個大於2的整數<math>n</math>，任何<math>n-1</math>個正整數的<math>n</math>次冪的和都不是某正整數的n次冪，也就是說以下不定方程無正整數解。 <math>\sum_{i=1}^{n-1} a_i^n = b^n,\,\forall n>2</math> 這猜想在1966年被L. J. Lander和T. R. Parkin推翻。他們找出<math>n=5</math>的反例： 1988年，Noam Elkies找出一個對<math>n=4</math>製造反例的方法。他給出的反例中最小的如下： Roger Frye以Elkies的技巧用電腦直接搜索，找出<math>n=4</math>時最小的反例： 現在仍未知道當<math>n>5</math>時的反例。
|
| rdfs:comment
|
- Euler's conjecture is a disproved conjecture in mathematics related to Fermat's last theorem which was proposed by Leonhard Euler in 1769. It states that for all integers n and k greater than 1, if the sum of n kth powers of positive integers is itself a kth power, then n is not smaller than k. In symbols, if \sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k where n>1 and a_1, a_2, \dots, a_n, b are positive integers, then n\geq k.
- Die eulersche Vermutung ist eine nach Leonhard Euler benannte Vermutung der Zahlentheorie und verallgemeinert die fermatsche Vermutung. Die eulersche Vermutung ist mittlerweile widerlegt.
- En mathématiques, la conjecture d'Euler, est une conjecture refutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1769, et qui s'énonce de la façon suivante : Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n-1 puissances n n'est pas une puissance n.
- La congettura di Eulero è una congettura collegata all'ultimo teorema di Fermat che fu proposta da Leonhard Euler nel 1769. Essa afferma che per ogni intero n > 2, la somma di n − 1 potenze n-esime di interi positivi non può uguagliare una potenza n-esima. Questa congettura fu confutata da L. J. Lander e T. R. Parkin nel 1966, che trovarono il seguente controesempio per n = 5: Nel 1988, Noam Elkies trovò un metodo per costruire dei controesempi per il caso n = 4.
- オイラー予想（—よそう）とは、スイスの数学者レオンハルト・オイラーが提唱した、フェルマーの最終定理を発展させた数学的予想である。現在では、反例によってこの予想は正しくないことが証明されている。
- A conjectura de Euler é dada pela igualdade: <math> \sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k </math>, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, quem primeiro a propôs em 1769. Euler propôs que para todo inteiro n e k maiores que 1, a soma de n potências k dos números inteiros positivos <math>a_i</math> é igual ao número inteiro positivo <math>b^k</math>. É uma fórmula matemática que mostra bastante semelhança com o Último Teorema de Fermat.
- Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа <math>n > 2 никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы <math>(n - 1) <math>n-х степеней других натуральных чисел.
- Eulers förmodan är en förmodan inom talteorin besläktad med Fermats stora sats, som föreslogs av Euler 1769. Den säger att för varje heltal n större än 2 kan inte summan av n-1 positiva heltal till n:te potens vara en ny n:te potens. Förmodan motbevisades av L. J. Lander och T. R. Parkin 1966 när de fann följande motexempel för n = 5: År 1988 fann Noam Elkies en metod för att konstruera motexempel i fallet n = 4.
- Гіпотеза Ейлера стверджує, що для будь-якого натурального числа <math>n > 2 жодний n-ний степінь натурального числа не можна подати у вигляді суми <math>(n - 1) n-них степенів інших натуральних чисел.
- 歐拉猜想是由歐拉提出，從費馬最後定理引出的猜想。這猜想是說對每個大於2的整數<math>n</math>，任何<math>n-1</math>個正整數的<math>n</math>次冪的和都不是某正整數的n次冪，也就是說以下不定方程無正整數解。 <math>\sum_{i=1}^{n-1} a_i^n = b^n,\,\forall n>2</math> 這猜想在1966年被L. J. Lander和T. R.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
