Ergodic theory is a branch of mathematics that studies dynamical systems with an invariant measure and related problems. Its initial development was motivated by problems of statistical physics. A central aspect of ergodic theory is the behavior of a dynamical system when it is allowed to run long.

PropertyValue
dbpprop:abstract
  • Ergodic theory is a branch of mathematics that studies dynamical systems with an invariant measure and related problems. Its initial development was motivated by problems of statistical physics. A central aspect of ergodic theory is the behavior of a dynamical system when it is allowed to run long. This is expressed through ergodic theorems which assert that, under certain conditions, the time average of a function along the trajectories exists almost everywhere and is related to the space average. Two most important examples are the ergodic theorems of Birkhoff and von Neumann. For the special class of ergodic systems, the time average is the same for almost all initial points: statistically speaking, the system that evolves for a long time "forgets" its initial state. Stronger properties, such as mixing and equidistribution have also been extensively studied. The problem of metric classification of systems is another important part of the abstract ergodic theory. An outstanding role in ergodic theory and its applications to stochastic processes is played by the various notions of entropy for dynamical systems. Applications of ergodic theory to other parts of mathematics usually involve establishing ergodicity properties for systems of special kind. In geometry, methods of ergodic theory have been used to study the geodesic flow on Riemannian manifolds, starting with the results of Eberhard Hopf for Riemann surfaces of negative curvature. Markov chains form a common context for applications in probability theory. Ergodic theory has fruitful connections with harmonic analysis, Lie theory, and number theory.
  • Ergodizität ist ein Begriff innerhalb des mathematischen Teilgebiets der Stochastik. Die Statistik eines Prozesses wird von einer Musterfunktion beschrieben.
  • En matemáticas, un shift o transformación que preserva la medida <math>T</math> en un espacio de probabilidad, se dice que es ergódico si un conjunto medible que es invariante bajo <math>T</math>, tiene medida 0 ó 1. Un antiguo término para esta propiedad era métricamente transitivo.
  • La théorie ergodique est une branche des mathématiques née de l'étude de l'hypothèse ergodique formulée par le physicien Ludwig Boltzmann en 1871 pour sa théorie cinétique des gaz. Elle a connu de nombreux développements en relation étroite avec la théorie des systèmes dynamiques et la théorie du chaos.
  • La teoria ergodica (dal greco érgon, lavoro, energia, e eidos, aspetto) si occupa principalmente dello studio matematico del comportamento medio, a lungo termine, di sistemi dinamici.
  • エルゴード理論（エルゴードりろん）は、ある力学系がエルゴード的（ある物理量に対して、長時間平均と位相平均が等しい）であることを示す、すなわちエルゴード仮説の立証を目的とする理論。現在も、統計力学の基礎を成すエルゴード理論は、一般の場合には証明されておらず、仮説の域を出ていない。また、物理学でのエルゴード性を抽象化した、数学における保測変換の理論をそう呼ぶこともある。 長時間平均 統計的、事象的、観察結果 位相平均 計算論的、収束するもの、あるいは一定のサイクルに収めることの出来るもの、全事象等確率的として推察できるもの 上記2つの平均が同じような値（あるいは関数）を得られるものについて、エルゴード的ということが出来る。
  • Em matemática, um shift ou transformação que preserva a medida <math>T</math> em um espaço de probabilidade, se diz que é ergódico se um conjunto mensurável que é invariante sob <math>T</math>, tem medida 0 ou 1. Um antigo termo para esta propriedade era metricamente transitivo.
  • Ergodicitet är ett begrepp inom matematiken, särskilt använt inom den matematiska statistiken och inom dynamiska system. En stokastisk process sägs vara ergodisk om dess egenskaper, som väntevärde och autokorrelationsfunktion, kan skattas ur en realisering (en serie utfall <math>x_n</math>) av processen. <math>\lim_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n = E[X]</math> En sexsidig tärning får illustrera en ergodisk process kallad <math>X</math>. Väntevärdet för tärningen är: <math>E[X] = \sum_{n=1}^{6} n \cdot P(X=n) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \ldots + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3,5</math> Om man kastar tärningen ett antal gånger så kommer medelvärdet av utfallen att närma sig väntevärdet – ju fler kast, desto närmare och stabilare. Ett exempel på en stokastisk process <math>Y</math> som inte är ergodisk är en vars värde är konstant lika med utfallet <math>z</math> av en stokastisk variabel <math>Z</math> är inte ergodisk. Väntevärdet för <math>Y</math> är detsamma som väntevärdet för <math>Z</math>, <math>E[Z]</math>, men medelvärdet för en serie utfall av <math>Y</math> är lika med <math>z</math>, som inte behöver vara lika med <math>E[Z]</math>. Ett dynamiskt system <math>f \colon X \rightarrow X</math>, försett med ett invariant mått <math>\mu</math>, det vill säga ett mått sådant att <math>\mu(E) = \mu(f^{-1})</math> gäller för varje mätbar mängd <math>E</math>, kallas ergodiskt med avseende på <math>\mu</math> om det för varje mätbar mängd <math>E</math> sådan att <math>E = f^{-1} (E)</math>, gäller att <math>\mu(E) = 0</math> eller <math>\mu(X \setminus E) = 0</math>. Studiet av dynamiska system med invarianta mått, benämns ergodteori.
  • 遍历理论是研究具有不变测度的动力系统及其相关问题的一个数学分支。 遍历理论研究遍历变换，由试图证明统计物理中的遍历假设而来。
dbpprop:author
  • D.V. Anosov
dbpprop:date
  • January 2009
dbpprop:discuss
  • Talk:Ergodic_theory Article_merge
dbpprop:harvProperty
  • Walters
  • 1982 (xsd:integer)
dbpprop:hasPhotoCollection
dbpprop:id
  • e/e036150
  • 1996 (xsd:integer)
dbpprop:title
  • Ergodic theory
  • ergodic theorem
dbpprop:wikiPageUsesTemplate
rdf:type
rdfs:comment
  • Ergodic theory is a branch of mathematics that studies dynamical systems with an invariant measure and related problems. Its initial development was motivated by problems of statistical physics. A central aspect of ergodic theory is the behavior of a dynamical system when it is allowed to run long.
  • Ergodizität ist ein Begriff innerhalb des mathematischen Teilgebiets der Stochastik. Die Statistik eines Prozesses wird von einer Musterfunktion beschrieben.
  • En matemáticas, un shift o transformación que preserva la medida <math>T</math> en un espacio de probabilidad, se dice que es ergódico si un conjunto medible que es invariante bajo <math>T</math>, tiene medida 0 ó 1. Un antiguo término para esta propiedad era métricamente transitivo.
  • La théorie ergodique est une branche des mathématiques née de l'étude de l'hypothèse ergodique formulée par le physicien Ludwig Boltzmann en 1871 pour sa théorie cinétique des gaz. Elle a connu de nombreux développements en relation étroite avec la théorie des systèmes dynamiques et la théorie du chaos.
  • La teoria ergodica (dal greco érgon, lavoro, energia, e eidos, aspetto) si occupa principalmente dello studio matematico del comportamento medio, a lungo termine, di sistemi dinamici.
  • Em matemática, um shift ou transformação que preserva a medida <math>T</math> em um espaço de probabilidade, se diz que é ergódico se um conjunto mensurável que é invariante sob <math>T</math>, tem medida 0 ou 1. Um antigo termo para esta propriedade era metricamente transitivo.
  • Ergodicitet är ett begrepp inom matematiken, särskilt använt inom den matematiska statistiken och inom dynamiska system. En stokastisk process sägs vara ergodisk om dess egenskaper, som väntevärde och autokorrelationsfunktion, kan skattas ur en realisering (en serie utfall <math>x_n</math>) av processen.
  • 遍历理论是研究具有不变测度的动力系统及其相关问题的一个数学分支。 遍历理论研究遍历变换，由试图证明统计物理中的遍历假设而来。
rdfs:label
  • Ergodic theory
  • Ergodentheorie
  • Teoría ergódica
  • Théorie ergodique
  • Teoria ergodica
  • エルゴード理論
  • Teoria ergódica
  • Ergodicitet
  • 遍历理论
owl:sameAs
skos:subject
foaf:page
is dbpedia-owl:Person/knownFor of
is dbpedia-owl:knownFor of
is dbpprop:disambiguates of
is dbpprop:knownFor of
is dbpprop:redirect of
is owl:sameAs of