| dbpprop:abstract
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- In physics and thermodynamics, the ergodic hypothesis says that, over long periods of time, the time spent by a particle in some region of the phase space of microstates with the same energy is proportional to the volume of this region, i.e. , that all accessible microstates are equiprobable over a long period of time. A long period of time will depend on the time constants of the processes involved and the number of different components, both initial and possible. Use caution in assuming ergodic performance when the number of components, N, is large; it is likely that the time to completion will vary as 2^N. For complex biological systems, ergodic performance is seldom possible. The ergodic hypothesis is often assumed in statistical analysis. The analyst would assume that the average of a process parameter over time and the average over the statistical ensemble are the same. Right or not, the analyst assumes that it is as good to observe a process for a long time as sampling many independent realisations of the same process. Liouville's Theorem shows that, for conserved classical systems, the local density of microstates following a particle path through phase space is constant as viewed by an observer moving with the ensemble (i.e. , the total or convective time derivative is zero). Thus, if the microstates are uniformly distributed in phase space initially, they will remain so at all times. Liouville's theorem ensures that the notion of time average makes sense, but ergodicity does not follow from Liouville's theorem.
- Die Ergodenhypothese der statistischen Mechanik ist die Annahme, dass sich thermodynamische Systeme in der Regel extrem „chaotisch“ verhalten („molekulares Chaos)“, so dass bei gegebener Energie alle Phasenraum-Volumenelemente des Systems gleichwahrscheinlich sind: Präzise wird angenommen, dass für „fast alle“ Messgrößen A der zeitliche Mittelwert <math> \overline{A_t}</math> gleich dem Ensemble- oder Scharmittelwert <math> \langle A\rangle </math> ist. <math>\overline{A_t}=\langle A\rangle</math>
- Ergodinen hypoteesi (tai ergodisuushypoteesi) on fysiikassa ja termodynamiikassa oletus, jonka mukaan pitkän ajan kuluessa systeemin tietyssä mikrotilojen faasiavaruuden osassa viettämä aika on verrannollinen tämän osan tilavuuteen. Tämä tarkoittaa, että systeemin kaikki tilat ovat pitkän ajan kuluessa yhtä todennäköisiä. Tämä on yhdenpitävää sen kanssa, että systeemin ajallinen keskiarvo on yhtä suuri kuin keskiarvo yli tilastollisen ensemblen. Matematiikassa ergodinen teoria (tai ergoditeoria) muotoilee ergodisen hypoteesin dynaamisille systeemeille mittateorian kielellä.
- L'hypothèse ergodique, ou hypothèse d'ergodicité, est une hypothèse fondamentale de la physique statistique. Elle fut formulée initialement par Ludwig Boltzmann en 1871 pour les besoins de sa théorie cinétique des gaz. Elle s'appliquait alors aux systèmes composés d'un très grand nombre de particules, et affirmait qu'à l'équilibre, la valeur moyenne d'une grandeur calculée de manière statistique est égale à la moyenne d'un très grand nombre de mesures prises dans le temps. La première valeur est celle que permet de calculer la physique statistique, la seconde est proche de ce qu'on peut expérimentalement mesurer. L'hypothèse ergodique est donc fondamentale pour un bon rapprochement entre la théorie et l'expérience. Un système pour lequel l'hypothèse ergodique est vérifiée sera qualifié de système ergodique. Dans la plupart des cas, il est très difficile de démontrer rigoureusement si un système est ergodique ou non. L'analyse mathématique de ce problème a donné naissance à la théorie ergodique qui précise la nature mathématique de l'hypothèse et donne des résultats sur ses conditions de validité. Mais l'hypothèse ergodique reste souvent une simple hypothèse, jugée vraisemblable a posteriori quand elle permet de faire des prédictions correctes. En ce sens, elle constitue un point faible de la physique statistique. L'hypothèse d'ergodicité intervient également en traitement du signal, où elle consiste à admettre que l'évolution d'un signal aléatoire au cours du temps apporte la même information qu'un ensemble de réalisations. Elle est importante dans l'étude des chaînes de Markov, les processus stationnaires et pour l'apprentissage numérique.
- In meccanica statistica, l'ipotesi ergodica dice che, dopo un tempo sufficientemente lungo, il tempo speso da una particella in un volume nello spazio delle fasi di microstati della stessa energia è proporzionale al volume stesso; equivalentemente, all'equilibrio termodinamico, il suo stato può essere equivalentemente uno qualunque di quelli che soddisfano le condizioni macroscopiche del sistema.
- Het begrip ergodiciteit betekent dat de eigenschappen van een systeem voor elke verschijningsvorm (bijvoorbeeld over tijd, plaats, of andere variatie) hetzelfde blijven; als het systeem lang genoeg gevolgd wordt, dan komen alle mogelijke toestanden voorbij. Bij het werken met stochastische variabelen is men vaak geïnteresseerd in de verwachtingswaarden zoals het gemiddelde, de variantie of de mediaan. Voor het bepalen van deze waarden moet je of de verdelingsfunctie kennen of alle waarden van stochastische variabele over alle mogelijk variaties kennen. Het laatste is niet mogelijk en vaak is ook de verdelingsfunctie niet bekend. Om toch met dit soort variabelen te kunnen werken wordt ergodiciteit aangenomen dat wil zeggen dat altijd, voor elke verschijningsvorm - als maar lang genoeg wordt geïntegreerd - de verwachtingswaarde naar dezelfde waarde zal convergeren. Een ergodisch signaal is bijvoorbeeld een stationair signaal dat zowel aperiodisch maar toch terugkerend is. Dit is bijvoorbeeld het geval als een signaal een markante golfvorm heeft zonder dat deze zich over vaste intervallen herhaalt.
- Эргодичность — специальное свойство некоторых изменяющихся систем, состоящее в том, что в процессе эволюции эргодичной системы почти каждая точка её с определённой правильностью проходит вблизи любой другой точки системы. Тогда при расчетах труднорассчитываемое время можно заменить фазовыми (пространственными) показателями. Система, в которой фазовые средние совпадают с временными, называется эргодической. Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. Например, температура газа — это мера средней энергии молекулы, рыночная цена компании — это мера производных функций от данных бухгалтерской отчетности. Естественно, предварительно необходимо доказать эргодичность данной системы. Для эргодических систем математическое ожидание по временным рядам должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам. Эргодическая теория — один из разделов общей динамики.
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- In physics and thermodynamics, the ergodic hypothesis says that, over long periods of time, the time spent by a particle in some region of the phase space of microstates with the same energy is proportional to the volume of this region, i.e. , that all accessible microstates are equiprobable over a long period of time. A long period of time will depend on the time constants of the processes involved and the number of different components, both initial and possible.
- Die Ergodenhypothese der statistischen Mechanik ist die Annahme, dass sich thermodynamische Systeme in der Regel extrem „chaotisch“ verhalten („molekulares Chaos)“, so dass bei gegebener Energie alle Phasenraum-Volumenelemente des Systems gleichwahrscheinlich sind: Präzise wird angenommen, dass für „fast alle“ Messgrößen A der zeitliche Mittelwert <math> \overline{A_t}</math> gleich dem Ensemble- oder Scharmittelwert <math> \langle A\rangle </math> ist.
- Ergodinen hypoteesi (tai ergodisuushypoteesi) on fysiikassa ja termodynamiikassa oletus, jonka mukaan pitkän ajan kuluessa systeemin tietyssä mikrotilojen faasiavaruuden osassa viettämä aika on verrannollinen tämän osan tilavuuteen. Tämä tarkoittaa, että systeemin kaikki tilat ovat pitkän ajan kuluessa yhtä todennäköisiä. Tämä on yhdenpitävää sen kanssa, että systeemin ajallinen keskiarvo on yhtä suuri kuin keskiarvo yli tilastollisen ensemblen.
- L'hypothèse ergodique, ou hypothèse d'ergodicité, est une hypothèse fondamentale de la physique statistique. Elle fut formulée initialement par Ludwig Boltzmann en 1871 pour les besoins de sa théorie cinétique des gaz. Elle s'appliquait alors aux systèmes composés d'un très grand nombre de particules, et affirmait qu'à l'équilibre, la valeur moyenne d'une grandeur calculée de manière statistique est égale à la moyenne d'un très grand nombre de mesures prises dans le temps.
- In meccanica statistica, l'ipotesi ergodica dice che, dopo un tempo sufficientemente lungo, il tempo speso da una particella in un volume nello spazio delle fasi di microstati della stessa energia è proporzionale al volume stesso; equivalentemente, all'equilibrio termodinamico, il suo stato può essere equivalentemente uno qualunque di quelli che soddisfano le condizioni macroscopiche del sistema.
- Het begrip ergodiciteit betekent dat de eigenschappen van een systeem voor elke verschijningsvorm (bijvoorbeeld over tijd, plaats, of andere variatie) hetzelfde blijven; als het systeem lang genoeg gevolgd wordt, dan komen alle mogelijke toestanden voorbij. Bij het werken met stochastische variabelen is men vaak geïnteresseerd in de verwachtingswaarden zoals het gemiddelde, de variantie of de mediaan.
- Эргодичность — специальное свойство некоторых изменяющихся систем, состоящее в том, что в процессе эволюции эргодичной системы почти каждая точка её с определённой правильностью проходит вблизи любой другой точки системы.
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