| dbpprop:abstract
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- In mathematics, an empty product, or nullary product, is the result of multiplying no numbers. Its numerical value is 1, the multiplicative identity, just as the empty sum—the result of adding no numbers—is zero, or the additive identity. This value is necessary to be consistent with the recursive definition of what a product over a sequence (or set, given commutativity) means. For example, <math>\text{prod} = \text{prod} \times 5 = \text{prod} \times 3 \times 5 = \text{prod} \times 2 \times 3 \times 5 = 1 \times 2 \times 3 \times 5. </math> In general, we define <math>\text{prod} = 1</math> and <math>\text{prod}(_{i \le n}) = \text{prod}(_{i \le n-1}) \times a_n</math>. The empty product is used in discrete mathematics, algebra, the study of power series, and computer programs. The term “empty product” is most often used in the above sense when discussing arithmetic operations. However, the term is sometimes employed when discussing set-theoretic intersections, categorical products, and products in computer programming; these are discussed below.
- Das leere Produkt bezeichnet in der Mathematik den Sonderfall eines Produktes mit null Faktoren. Ein Produkt über einer endlichen Indexmenge <math>I</math> kann folgendermaßen definiert werden: <math> \prod_{i \, \in \, I} a_i \; := \; \begin{cases} a_k \cdot \prod_{i \, \in \, I \setminus \{k\}} a_i, & \text{wenn }k \in I,\\ 1, & \text{wenn }I = \varnothing. \end{cases} </math> Wenn die Indexmenge leer ist, also das Produkt gar keinen Faktor hat, dann ist das Produkt nach der Definition eins. Das kann damit begründet werden, dass die Eins das neutrale Element der Multiplikation ist; siehe Gruppentheorie. Die Multiplikation mit eins ändert einen Wert nicht. Wenn man ein Produkt <math>a</math> um einen Faktor <math>b</math> erweitert, der seinerseits ein Produkt aus null Faktoren ist, dann sollte dies den Wert des Produkts nicht ändern: <math>a \cdot b = a</math>. Das ergibt sich, wenn <math>b := 1</math> definiert wird. Das leere Produkt ist zu unterscheiden von dem Produkt <math>0 \cdot 0</math> oder unsinnigen Formulierungen, wie z. B. mit nur einem Faktor. In kombinatorischen, abzählenden Betrachtungen ist es normalerweise miteinzubeziehen, da es genau eine Möglichkeit gibt, Nichts zu multiplizieren, weshalb es auch gerechtfertigt ist, von dem leeren Produkt zu sprechen. In anderen Bereichen wie der Gruppen-, Ring- oder Körpertheorie, die die Multiplikation als grundlegende, innere Verknüpfung betrachten, ist jede Definition mit weniger als zwei Faktoren zunächst nicht sinnvoll. Trotzdem taucht das leere Produkt implizit in mehreren Zusammenhängen auf, z. B. bei Potenzen und der Fakultät und ist dort gelegentlich der Grund für Verständnisprobleme. Auch die gängige Wertzuweisung auf Eins ist nicht immer intuitiv klar.
- En matemáticas, un producto vacío es el resultado de multiplicar entre sí ningún número. Su valor numérico es 1, el elemento neutro del producto, de la misma manera que la suma vacía, que es el resultado de sumar entre sí ningún número, vale cero, el elemento neutro de la suma. El producto vacío se utiliza en matemáticas discretas, álgebra, el estudio de series de potencias y en la programación.
- En mathématiques, le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun nombre. Sa valeur numérique vaut par convention un. Ce fait est utile en algèbre, et dans l'étude des séries entières. Deux exemples fréquents sont a = 1 (tout nombre élevé à la puissance zéro donne un) et 0! = 1 (factorielle de zéro vaut un). Plus généralement, étant donné une opération de multiplication sur une certaine collection d'objets, le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun objet de l'ensemble. Il est généralement défini comme étant égal à l'élément neutre quand ce dernier existe pour l'opération donnée. Par exemple, le produit direct vide (à un isomorphisme près) de groupes est (à un isomorphisme près) le groupe trivial, puisque chaque groupe est isomorphe à son produit direct avec le groupe trivial.
- In matematica si usa l'espressione prodotto vuoto quando in una moltiplicazione non ci sono fattori. Una tale situazione può capitare ad esempio in una produttoria come <math>\prod_{i=2}^1 x_i</math> in cui l'indice inferiore è maggiore dell'indice superiore. In questa produttoria infatti non ci sono indici che soddisfano entrambe le condizioni, quindi non esistono fattori che possono essere moltiplicati.
- Na matemática, um produto vazio ou produto nulo é o resultado da multiplicação de nenhum número. Seu valor numérico é 1, o elemento neutro da multiplicação, assim como o valor da soma vazia—o resultado da soma de nenhum número—é 0, isto é, o elemento neutro da adição.
- I matematik är den tomma produkten resultatet av en multiplikation med noll faktorer, och lika med 1. Uttryckt med potenser innebär den att a = 1 för alla a utom 0.
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- In mathematics, an empty product, or nullary product, is the result of multiplying no numbers. Its numerical value is 1, the multiplicative identity, just as the empty sum—the result of adding no numbers—is zero, or the additive identity. This value is necessary to be consistent with the recursive definition of what a product over a sequence (or set, given commutativity) means.
- Das leere Produkt bezeichnet in der Mathematik den Sonderfall eines Produktes mit null Faktoren. Ein Produkt über einer endlichen Indexmenge <math>I</math> kann folgendermaßen definiert werden: <math> \prod_{i \, \in \, I} a_i \; := \; \begin{cases} a_k \cdot \prod_{i \, \in \, I \setminus \{k\}} a_i, & \text{wenn }k \in I,\\ 1, & \text{wenn }I = \varnothing.
- En matemáticas, un producto vacío es el resultado de multiplicar entre sí ningún número. Su valor numérico es 1, el elemento neutro del producto, de la misma manera que la suma vacía, que es el resultado de sumar entre sí ningún número, vale cero, el elemento neutro de la suma. El producto vacío se utiliza en matemáticas discretas, álgebra, el estudio de series de potencias y en la programación.
- En mathématiques, le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun nombre. Sa valeur numérique vaut par convention un. Ce fait est utile en algèbre, et dans l'étude des séries entières. Deux exemples fréquents sont a = 1 (tout nombre élevé à la puissance zéro donne un) et 0! = 1 (factorielle de zéro vaut un).
- In matematica si usa l'espressione prodotto vuoto quando in una moltiplicazione non ci sono fattori. Una tale situazione può capitare ad esempio in una produttoria come <math>\prod_{i=2}^1 x_i</math> in cui l'indice inferiore è maggiore dell'indice superiore. In questa produttoria infatti non ci sono indici che soddisfano entrambe le condizioni, quindi non esistono fattori che possono essere moltiplicati.
- Na matemática, um produto vazio ou produto nulo é o resultado da multiplicação de nenhum número. Seu valor numérico é 1, o elemento neutro da multiplicação, assim como o valor da soma vazia—o resultado da soma de nenhum número—é 0, isto é, o elemento neutro da adição.
- I matematik är den tomma produkten resultatet av en multiplikation med noll faktorer, och lika med 1. Uttryckt med potenser innebär den att a = 1 för alla a utom 0.
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