In number theory, the Embree–Trefethen constant is a threshold value labelled β*. For a fixed positive number β, consider the recurrence <math>x_{n+1}=x_n \pm \beta x_{n-1} \, </math> where the sign in the sum is chosen at random for each n independently with equal probabilities for "+" and "−". It can be proven that for any choice of β, the limit <math>\sigma(\beta) = \lim_{n \to \infty} (|x_n|^{1/n}) \, </math> exists almost surely.

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  • In number theory, the Embree–Trefethen constant is a threshold value labelled β*. For a fixed positive number β, consider the recurrence <math>x_{n+1}=x_n \pm \beta x_{n-1} \, </math> where the sign in the sum is chosen at random for each n independently with equal probabilities for "+" and "−". It can be proven that for any choice of β, the limit <math>\sigma(\beta) = \lim_{n \to \infty} (|x_n|^{1/n}) \, </math> exists almost surely. In informal words, the sequence behaves exponentially with probability one, and σ(β) can be interpreted as its almost sure rate of exponential growth. We have σ < 1 for 0 < β < β* = 0.70258 approximately, so solutions to this recurrence decay exponentially as n→∞ with probability 1, and σ > 1 for β* < β, so they grow exponentially. Regarding values of σ, we have: σ(1) = 1.13198824... , and σ(β*) = 1. The constant is named after applied mathematicians Mark Embree and Lloyd N. Trefethen.
  • Die Embree-Trefethen-Konstante ist ein Grenzwert in der Zahlentheorie und wird mit β* bezeichnet. Für ein festes reelles β betrachte man die Rekursion xn + 1 = xn ± β xn - 1 wobei das Vorzeichen in der Summe unabhängig voneinander für jedes n mit gleicher Wahrscheinlichkeit als '+' oder '-' gewählt wird. Für β = 1 erhält man die zufällige Fibonacci-Folge. Es kann gezeigt werden, dass für beliebiges β der Grenzwert <math>\sigma(\beta) = \lim_{n \to \infty} \left(|x_n|^{\frac{1}{n}} \right)</math> fast sicher existiert. Mit anderen Worten: Die Folge verhält sich exponentiell mit Wahrscheinlichkeit 1 — und σ(β) ist ihr Wachstumsexponent. Wir haben σ < 1 für 0 < β < β* = 0.70258 ungefähr, also fällt die Folge der xn exponentiell für n→∞ mit Wahrscheinlichkeit 1, und σ > 1 für β > β* also wachsen die Folgenglieder exponentiell. Spezielle Werte von σ sind: σ(1)=1.13198824... und σ(β*)=1 . siehe auch: Mathematische Konstante
  • In matematica, e in particolare in teoria dei numeri, la costante Embree-Trefethen è un valore soglia per una particolare successione definita per ricorrenza, e si indica con β*. Più precisamente, dato un numero reale β, si considera la successione ricorrente xn+1 = xn ± βxn-1 dove il segno della somma è scelto a caso per ogni n indipendentemente e con probabilità uguale per "+" e "-". Si dimostra che per ogni scelta di β, il limite <math>\sigma(\beta) = \lim_{n \to \infty} (|x_n|^{1/n})</math> esiste quasi sicuramente. Informalmente, la successione si comporta esponenzialmente con probabilità 1, e σ(&beta) può essere interpretata come il suo tasso di crescita esponenziale. Abbiamo: σ < 1 per 0 < β < β* = 0.70258 circa, perciò le soluzioni di questa successione ricorrente decadono esponenzialmente per n→∞ con probabilità uno, e σ > 1 per β* < β, perciò le soluzioni crescono esponenzialmente. Considerando i valori di σ, abbiamo: σ(1)=1.13198824... , e σ(β*)=1 .
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  • Random Fibonacci Sequence
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  • RandomFibonacciSequence
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  • In number theory, the Embree–Trefethen constant is a threshold value labelled β*. For a fixed positive number β, consider the recurrence <math>x_{n+1}=x_n \pm \beta x_{n-1} \, </math> where the sign in the sum is chosen at random for each n independently with equal probabilities for "+" and "−". It can be proven that for any choice of β, the limit <math>\sigma(\beta) = \lim_{n \to \infty} (|x_n|^{1/n}) \, </math> exists almost surely.
  • Die Embree-Trefethen-Konstante ist ein Grenzwert in der Zahlentheorie und wird mit β* bezeichnet. Für ein festes reelles β betrachte man die Rekursion xn + 1 = xn ± β xn - 1 wobei das Vorzeichen in der Summe unabhängig voneinander für jedes n mit gleicher Wahrscheinlichkeit als '+' oder '-' gewählt wird. Für β = 1 erhält man die zufällige Fibonacci-Folge.
  • In matematica, e in particolare in teoria dei numeri, la costante Embree-Trefethen è un valore soglia per una particolare successione definita per ricorrenza, e si indica con β*. Più precisamente, dato un numero reale β, si considera la successione ricorrente xn+1 = xn ± βxn-1 dove il segno della somma è scelto a caso per ogni n indipendentemente e con probabilità uguale per "+" e "-".
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  • Embree–Trefethen constant
  • Embree-Trefethen-Konstante
  • Costante di Embree-Trefethen
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