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- The Einstein-Hilbert action in general relativity is the action that yields the Einstein's field equations when varied to obtain equations of motion for the spacetime metric. The action was first proposed by David Hilbert in 1915 (Hilbert, 1915). The derivation of the Einstein equations from an action has several advantages. First of all, it allows for easy unification of general relativity with other classical fields theories, which are also formulated in terms of an action. In the process the derivation from an action identifies a natural candidate for the source term coupling the metric to matter fields. Moreover, the action allows for the easy identification of conserved quantities through Noether's theorem by studying symmetries of the action. In general relativity, the action is usually assumed to be a functional of the metric (and matter fields), and the connection is given by the Levi-Civita connection. The Palatini formulation of general relativity assumes the metric and connection to be independent, and varies with respect to both independently, which makes it possible to include fermionic matter fields with non-integral spin. The action <math>S[g] which gives rise to the vacuum Einstein equations is given by the following integral of the Lagrangian S[g]= \int {1 \over 2\kappa} R \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x where <math>g = \, {1 \over c^2} \, \det \, (g_{\alpha \beta}) is the determinant of a spacetime Lorentz metric (with units corrected), R is the Ricci scalar, <math>\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} \, is a universal constant, the Lagrangian being <math>{1 \over 2\kappa} R \sqrt{-g}, and the integral is taken over a region of spacetime. The Einstein equations in the presence of matter are given by adding the Lagrangian for the matter into the integral. (In this article "Lagrangian" means "Lagrangian density", a scalar density with SI units of Joules per cubic meter; other authors occasionally use it to mean the integral of the Lagrangian density over space or over spacetime. ) Note that <math>\sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x is an invariant 4-volume element, so the action can be also written in the following (somewhat more elegant) fashion: S[g]= \int {1 \over 2\kappa} R \, \mathrm{dV} \,.
- Die Einstein-Hilbert-Wirkung ist ein mathematischer Ausdruck aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Aus dieser Wirkung lassen sich die einsteinschen Feldgleichungen mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung herleiten. Sie wurde erstmals von David Hilbert angegeben. W_{\text{Gravitation}}[g] = \frac{c^{3}}{16\pi G_{\text{N}}}\int \sqrt\,R(g) \, \mathrm{d}^4 x Dabei ist <math>g der metrische Tensor, <math>R der Krümmungsskalar, <math>c die Lichtgeschwindigkeit und <math>G_{\text{N}} die newtonsche Gravitationskonstante. Die Forderung, dass die Variation der Wirkung <math>\delta W[g] für jede Variation der Metrik <math>\delta g\ verschwindet, liefert die Gleichungen R_{mn}(x) - \frac{R(x)}{2}\, g_{mn}(x) = 0\,, wobei <math>R_{mn}(x) die Komponenten des Ricci-Tensors bezeichnet. Dies sind die Feldgleichungen im Vakuum bei Abwesenheit von Teilchen und Feldern und bei verschwindender Vakuumsenergiedichte. Die rechte Seite der Feldgleichungen, die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors, erhält man, indem man den Teil der Wirkung, der die Materie beschreibt, nach der Metrik variiert. Der Vorfaktor \frac{c^3}{16 \pi G_{\text{N}}} vor der Einstein-Hilbert-Wirkung bestimmt die Stärke, mit der Energie und Impuls Gravitation erzeugen. Um die kosmologische Konstante <math>\Lambda in den Feldgleichungen zu erhalten, kann man der Wirkung einen Term -\frac{c^{3}}{16\pi G_{\text{N}}}\int\! \sqrt\, 2\, \Lambda\, \mathrm d^4 x hinzufügen. Ein solcher Term kann auch als Anteil des Energie-Impuls-Tensors aufgefasst werden, was den Vorteil hat, dass es eine physikalische Begründung für die kosmologische Konstante liefert. Es gibt heute (2008) eine Vielzahl von Modellen, die mit verschiedenem Erfolg versuchen eine kosmologische Konstante durch den Materieinhalt des Universums zu erklären.
- L'action d'Einstein-Hilbert est un objet mathématique homogène à une action. Elle est utilisée pour dériver les équations du champ de la relativité générale d'Einstein au moyen d'un principe variationnel appelé principe de moindre action.
- 希尔伯特作用量或爱因斯坦-希尔伯特作用量（英文：Einstein-Hilbert action）是广义相对论中能够导出爱因斯坦引力场方程（通过取变分得到时空度规的运动方程）的作用量，它最早由希尔伯特在1915年提出。从希尔伯特作用量导出爱因斯坦引力场方程的优点是多方面的：首先，它能够简单地将广义相对论理论和其他同样用作用量形式表示的经典场论（如麦克斯韦理论） 统一起来；其次，通过寻找这个作用量中包含的对称性可以轻易地根据诺特定理判别守恒量。在广义相对论中，作用量一般都被认为是度规（以及物质场）的一个泛函，而其联络是列维-奇维塔联络。 能够导出真空中的爱因斯坦方程的作用量<math>S[g]\,由下面的拉格朗日量的积分给出： S[g]= \int {1 \over 2\kappa} R \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x 其中<math>g = \, {1 \over c^2} \, \det \, (g_{\alpha \beta})是时空的洛伦兹度规的行列式，<math>R\,是里奇标量，<math>\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} \,是一个普适性常数，拉格朗日量是<math>{1 \over 2\kappa} R \sqrt{-g}，积分范围是时空中的一块区域。对于有物质存在的爱因斯坦方程，在对应的拉格朗日量中还要添加物质本身的拉格朗日量。（注意：这里所谓“拉格朗日量”都是指其标量密度，在国际单位制中的单位是焦耳/立方米，而不是指其在空间或时空范围内的一个积分。） 注意到<math>\sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x是一个形式不变的四维体元，因此也可以将希尔伯特作用量写成（可能更好看些的）如下形式： S[g]= \int {1 \over 2\kappa} R \, \mathrm{dV} \,
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