| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, eigenvalue, eigenvector, and eigenspace are related concepts in the field of linear algebra. Linear algebra studies linear transformations, which are represented by matrices acting on vectors. Eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces are properties of a matrix. They are computed by a method described below, give important information about the matrix, and can be used in matrix factorization. They have applications in areas of applied mathematics as diverse as finance and quantum mechanics. In general, a matrix acts on a vector by changing both its magnitude and its direction. However, a matrix may act on certain vectors by changing only their magnitude, and leaving their direction unchanged (or, possibly, reversing it). These vectors are the eigenvectors of the matrix. A matrix acts on an eigenvector by multiplying its magnitude by a factor, which is positive if its direction is unchanged and negative if its direction is reversed. This factor is the eigenvalue associated with that eigenvector. An eigenspace is the set of all eigenvectors that have the same eigenvalue. The concepts cannot be formally defined without prerequisites, including an understanding of matrices, vectors, and linear transformations. The technical details are given below.
- Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, und man bezeichnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Abbildung. Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells. Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißt spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich, wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden. Die Frage, die sich hier stellt, lautet: Unter welchen Bedingungen ist eine Matrix <math>A zu einer Diagonalmatrix <math>D ähnlich?
- En matemàtiques, i més concretament en àlgebra el concepte de vector propi és una noció que es refereix a una aplicació lineal d'un espai en si mateix. Correspon a l'estudi dels eixos privilegiats, en els quals l'aplicació es comporta com una dilatació (o contracció si el mòdul del valor propi és més petit que 1), per tant, els vectors imatge en aquesta direcció corresponen als vectors origen multiplicats per una constant (si és negativa vol dir que canvien de sentit, però en cap cas no canvien de direcció). D'aquest factor que multiplica el vector origen per trobar el vector imatge se'n diu valor propi, el conjunt format per tots els vectors propis amb un mateix valor propi més el vector nul és un espai propi. Els gràfics de les figures 1 i 2 il·lustren aquestes nocions. El coneixement dels vectors i valors propis ofereix una informació clau sobre l'aplicació lineal en qüestió. Existeixen a més nombrosos casos en què aquest coneixement caracteritza totalment l'aplicació lineal. Aquest concepte originalment pertanyia a la branca de les matemàtiques anomenada àlgebra lineal. La seva utilització, tanmateix, avui en dia supera de lluny aquest marc. Intervé tant en matemàtiques pures com en matemàtiques aplicades. Apareix per exemple en geometria en l'estudi de les formes quadràtiques, o en anàlisi funcional. Permet resoldre problemes aplicats tan variats com el del moviment d'una corda vibrant, la classificació de les pàgines web per Google, la determinació de l'estructura de l'espai-temps en la teoria de la relativitat general, o l'estudi de l'equació de Schrödinger en mecànica quàntica. A part de la terminologia habitual de valors i vectors propis n'hi ha d'altres força esteses. Per exemple, hi ha qui parla de d'un autovalor, autovector i autoespai. Seguint la nomenclatura original de l'alemany, també s'utilitza la denominació de eigenvalor, eigenvector i eigenespai, on la partícula eigen precisament significa propi. Una altra variant ja menys usada és la de valor i vector característic (potser per la relació amb el polinomi característic). Finalment, sí que és molt freqüent l'abreviatura vap i vep fins al punt d'utilitzar-se com una paraula a l'hora de formar plural (vaps i veps). Per un article sintètic sobre el tema que no tracta més que el contingut matemàtic, vegeu: Valor propi (síntesi)
- V matematice označuje vlastní vektor dané transformace nenulový vektor, jehož směr se při transformaci nemění. Koeficient, o který se změní velikost vektoru, se nazývá vlastní číslo (hodnota) daného vektoru. Množina vlastních vektorů určuje vlastní prostor transformace. Je zvykem označovat přídavným jménem vlastní libovolný název související s řešením i v případě, že se nejedná o vektor, např. vlastní řešení místo vlastní vektor, vlastní funkce, pokud řešením není vektor, ale funkce, vlastní stav pokud je řešením kvantový stav, apod. Vlastní čísla hrají důležitou roli nejen v lineární algebře a funkcionální analýze, ale také v kvantové fyzice.
- En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar <math>\lambda recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común. La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.
- Olkoon A annettu vektoriavaruuden V lineaarikuvaus. A:n ominaisvektori on vektori v, jonka suunta ei muutu kuvauksessa A. Kerrointa, jolla kuvavektori kutistuu tai kasvaa tässä kuvauksessa, sanotaan vektorin ominaisarvoksi. Usein kuvaus voidaan luonnehtia kokonaan ominaisarvojensa ja ominaisvektoreidensa avulla. Ominaisavaruus on joukko ominaisvektoreita joilla on sama ominaisarvo. Nämä käsitteet ovat merkittävässä roolissa useilla puhtaan ja soveltavan matematiikan osa-alueilla, kuten lineaarialgebrassa, funktionaalianalyysissä ja jopa useissa epälineaarisissa tilanteissa.
- En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique vecteurs propres, réunis en un espace propre. Le graphique de la figure 1 illustre ces notions. La connaissance des vecteurs et valeurs propres offre une information clé sur l'application linéaire considérée. Il existe de plus de nombreux cas où cette connaissance caractérise totalement l'application linéaire. Ce concept appartient à l'origine à une branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. Son utilisation, cependant, dépasse maintenant de loin ce cadre. Il intervient aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées. Il apparaît par exemple en géométrie dans l'étude des formes quadratiques, ou en analyse fonctionnelle. Il permet de résoudre des problèmes appliqués aussi variés que celui des mouvements d'une corde vibrante, le classement des pages web par Google, la détermination de la structure de l'espace-temps en théorie de la relativité générale, ou l'étude de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique. Pour un article synthétique sur le sujet ne traitant que du contenu mathématique, voir : Valeur propre (synthèse)
- A lineáris algebrában egy lineáris transzformáció sajátvektora a vektortér olyan vektora, amelyet a leképezés a skalárszorosába visz. Négyzetes mátrixok sajátvektorainak a mátrixhoz tartozó leképezés sajátvektorait nevezzük. A szóban forgó skalár értékek a sajátértékek. Sajátértékei és sajátvektorai adott esetben jól jellemzik a transzformációt, és fontos szerepet játszanak a matematika csaknem valamennyi ágában, például az algebrában, az analízisben, a geometriában. A fogalom számos hasznos alkalmazása létezik a fizikában, különösen fontos szerepet tölt be a kvantummechanikában.
- In algebra lineare, un autovettore di una trasformazione lineare è un vettore non nullo che non cambia direzione nella trasformazione. Il vettore può cambiare quindi solo per moltiplicazione di uno scalare, chiamato autovalore. L'autospazio è il sottospazio formato da tutti gli autovettori aventi un fissato autovalore, più il vettore nullo. Un esempio è mostrato in Fig.1. In matematica, questi concetti fondamentali si applicano in algebra lineare, in analisi funzionale, in geometria. In molti contesti, questi hanno anche un significato fisico importante. In meccanica classica gli autovettori delle equazioni che descrivono un sistema fisico corrispondono spesso ai modi di vibrazione di un corpo e gli autovalori alle loro frequenze. In meccanica quantistica, gli operatori corrispondono a variabili osservabili, gli autovettori sono chiamati anche autostati e gli autovalori di un operatore rappresentano quei valori della variabile corrispondente che hanno probabilità non nulla di essere misurati. Il termine autovettore è stato tradotto dalla parola tedesca Eigenvektor, coniata da Hilbert nel 1904. "Eigen" significa "proprio", "caratteristico". Anche nella letteratura italiana troviamo spesso l'autovettore indicato come vettore proprio, vettore caratteristico o vettore latente.
- 線型代数学において、線型変換の特徴を表す指標として固有値 (Eigenvalue) や固有ベクトル (Eigenvector) がある。与えられた線型変換の固有値および固有ベクトルを求める問題のことを固有値問題 (Eigenvalue problem) という。ヒルベルト空間論において線型作用素 あるいは線型演算子 と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数におけるスペクトルの意味でもしばしば使われる。
- In de lineaire algebra en toepassingen daarvan spelen lineaire afbeeldingen (ook lineaire operatoren genoemd) een belangrijke rol. Een speciaal geval vormen de lineaire afbeeldingen van een vectorruimte in zichzelf. Er kunnen dan rechte lijnen door de oorsprong zijn die op zichzelf afgebeeld worden. Een punt op zo'n lijn wordt eigenvector van de afbeelding genoemd en de factor waarmee een eigenvector door de afbeelding geschaald wordt heet eigenwaarde. De term "eigen" komt uit het Duits, waar het dezelfde betekenis heeft als in het Nederlands. Hilbert gebruikte in 1904 deze terminologie voor het eerst (er was een eerder verwant gebruik door Helmholtz). In oudere verwijzingen wordt wel de term "karakteristiek" gebruikt, wat we nog terugvinden in de benaming "karakteristiek polynoom".
- Gitt en lineær transformasjon <math>A\,\!</math> vil en vektor <math>\mathbf{x}\,\!</math> forskjellig fra nullvektoren være en egenvektor av transformasjonen om det fins en skalar <math>\lambda\,\!</math>, dennes egenverdi, som løser egenverdiligningen: <math>A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}\,\!</math> Transformasjonens egenvektorer med en gitt egenverdi utgjør sammen med nullvektoren et egenrom. Summen av dimensjonene av transformasjonens egenrom er oppad begrenset til transformasjonens rang; over et komplekst rom vil disse være like.
- Wartość własna operatora liniowego <math>T\colon X\to X</math> przestrzeni liniowej <math>X</math> nad ciałem <math>K</math>, to taki skalar <math>\lambda \in K</math>, że dla pewnego niezerowego <math>x\in X</math> spełniony jest związek: <math>Tx =\lambda x</math>. Zwykle zakłada się, że przestrzeń <math>X</math> jest rzeczywista bądź zespolona oraz jest w niej określona liniowa topologia - w zastosowaniach często bada się wartości własne operatorów liniowych, określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że <math>X</math> jest pewną przestrzenią Banacha, a <math>T\colon X\to X</math> jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.
- Em álgebra linear, um escalar λ é valor próprio (ou autovalor) de um operador linear A : V -> V se existir um vector x diferente de zero tal que Ax=λx. O vector x é chamado vector próprio.
- În matematică, un vector propriu al unei transformări liniare pe un spaţiu vectorial este un vector nenul a cărui direcţie rămîne neschimbată de către acea transformare. Factorul prin care mărimea vectorului este scalată se numeşte valoare proprie a acelui vector. Mulţimea vectorilor proprii ce au asociată aceeaşi valoare proprie constituie un subspaţiu vectorial al spaţiului transformării, numit spaţiu propriu al transformării, asociat valorii proprii respective. Deseori, o transformare este descrisă complet cu ajutorul vectorilor şi valorilor sale proprii. Aceste concepte au un rol major în mai multe ramuri ale matematicii pure şi a celei aplicate. Ele apar în special în algebra liniară, în analiza funcţională şi în diverse situaţii neliniare. Vectorii proprii ai unei matrice sau ai unui operator diferenţial au adesea semnificaţie fizică importantă în matematica aplicată şi în fizică. În mecanica clasică, vectorii proprii ai ecuaţiilor de traiectorie corespund în mod obişnuit modurilor naturale de vibraţie a unui corp, iar valorile proprii frecvenţelor de vibraţie respective. În mecanica cuantică, operatorii corespund variabilelor observabile; vectorii proprii mai sunt numiţi şi stări proprii, iar valorile proprii ale operatorului reprezintă acele valori ale respectivei variabile care au probabilitate nenulă de apariţie.
- Файл:Mona Lisa with eigenvector. png Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению <math>\lambda=1</math>. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.
- Låt F vara en linjär avbildning på ett linjärt rum V. En vektor u skild från nollvektorn i V sådan att F(u) = λu för något tal λ kallas en egenvektor till F med egenvärdet λ. Om vi framställer F som en matris A, så kan vi med hjälp av matriser skriva A·U = λ·U, där matrisen U kan vara en koordinatvektor. En egenvektor av en linjärtransformation är en vektor som antingen förblir opåverkad, eller endast multipliceras med en skalär faktor i och med transformationen. (Att den förblir opåverkad skulle motsvara att den multiplicerats med en skalär faktor lika med 1). Egenvärdet av en egenvektor är skalärfaktorn som den (egenvektorn) har multiplicerats med. Egenrummet till ett egenvärde av en linjärtransformation är det vektorrum av alla egenvektorer till linjärtransformationen som har detta egenvärde. Den algebraiska multipliciteten av ett egenvärde är multipliciten för egenvärdet isekularekvationen. Den geometriska multipliciteten av ett egenvärde är dimensionen av det tillhörande egenrummet. Spektrumet av en transformation på ett ändligdimensionellt vektorrum är mängden av alla dess egenvärden. (I det oändligdimensionella fallet är konceptet med spektrum mer subtilt och beror av topologin hos vektorrummet.)
- Вла́сний ве́ктор квадратної матриці <math>A \!</math> (з вла́сним зна́ченням <math>\lambda \!</math>) — це ненульовий вектор <math>v \!</math>, для якого виконується співвідношення <math> Av = \lambda v, \qquad </math> де <math>\lambda</math> це певний скаляр, тобто дійсне або комплексне число. Тобто, власні вектори матриці <math>A</math> — це ненульові вектори, які поводяться найпростішим чином під дією <math>A,</math> а саме, множаться на скаляр <math>\lambda. </math> Співвідношення має сенс також для лінійного оператора у векторному просторі <math>V. </math> Якщо цей простір — скінченовимірний, то оператор можна записати у вигляді матриці відносно до певного базису <math>V. </math> Оскільки власні вектори і власні значення було означено без застосування координат, вони не залежать від вибору базиса. Тому подібні матриці мають однакові власні значення.
- 数学上，一个线性变换的一个特征向量（本征向量）是一个非退化向量，其方向在该线性变换的作用下仍保持與原方向保持在同一條線上（即可能會反向，如果特徵值為負），而長度則可能改變。该向量在该线性变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。图1给出了一幅图像的例子。通常一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述。一个特征空间是相同特征值的特征向量的集合。 这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用。在线性代数和泛函分析之外，甚至在一些非线性的情况下，这些概念都是十分重要的。 「特征」一詞來自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。eigen一詞可翻译为“自身的”，“特定于... 的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要。
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics, eigenvalue, eigenvector, and eigenspace are related concepts in the field of linear algebra. Linear algebra studies linear transformations, which are represented by matrices acting on vectors. Eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces are properties of a matrix. They are computed by a method described below, give important information about the matrix, and can be used in matrix factorization.
- Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, und man bezeichnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Abbildung. Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht.
- En matemàtiques, i més concretament en àlgebra el concepte de vector propi és una noció que es refereix a una aplicació lineal d'un espai en si mateix.
- V matematice označuje vlastní vektor dané transformace nenulový vektor, jehož směr se při transformaci nemění. Koeficient, o který se změní velikost vektoru, se nazývá vlastní číslo (hodnota) daného vektoru. Množina vlastních vektorů určuje vlastní prostor transformace. Je zvykem označovat přídavným jménem vlastní libovolný název související s řešením i v případě, že se nejedná o vektor, např.
- En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar <math>\lambda recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios.
- Olkoon A annettu vektoriavaruuden V lineaarikuvaus. A:n ominaisvektori on vektori v, jonka suunta ei muutu kuvauksessa A. Kerrointa, jolla kuvavektori kutistuu tai kasvaa tässä kuvauksessa, sanotaan vektorin ominaisarvoksi. Usein kuvaus voidaan luonnehtia kokonaan ominaisarvojensa ja ominaisvektoreidensa avulla. Ominaisavaruus on joukko ominaisvektoreita joilla on sama ominaisarvo.
- En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique vecteurs propres, réunis en un espace propre. Le graphique de la figure 1 illustre ces notions.
- A lineáris algebrában egy lineáris transzformáció sajátvektora a vektortér olyan vektora, amelyet a leképezés a skalárszorosába visz. Négyzetes mátrixok sajátvektorainak a mátrixhoz tartozó leképezés sajátvektorait nevezzük. A szóban forgó skalár értékek a sajátértékek.
- In algebra lineare, un autovettore di una trasformazione lineare è un vettore non nullo che non cambia direzione nella trasformazione. Il vettore può cambiare quindi solo per moltiplicazione di uno scalare, chiamato autovalore. L'autospazio è il sottospazio formato da tutti gli autovettori aventi un fissato autovalore, più il vettore nullo. Un esempio è mostrato in Fig.1. In matematica, questi concetti fondamentali si applicano in algebra lineare, in analisi funzionale, in geometria.
- In de lineaire algebra en toepassingen daarvan spelen lineaire afbeeldingen (ook lineaire operatoren genoemd) een belangrijke rol. Een speciaal geval vormen de lineaire afbeeldingen van een vectorruimte in zichzelf. Er kunnen dan rechte lijnen door de oorsprong zijn die op zichzelf afgebeeld worden. Een punt op zo'n lijn wordt eigenvector van de afbeelding genoemd en de factor waarmee een eigenvector door de afbeelding geschaald wordt heet eigenwaarde.
- Gitt en lineær transformasjon <math>A\,\!</math> vil en vektor <math>\mathbf{x}\,\!</math> forskjellig fra nullvektoren være en egenvektor av transformasjonen om det fins en skalar <math>\lambda\,\!</math>, dennes egenverdi, som løser egenverdiligningen: <math>A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}\,\!</math> Transformasjonens egenvektorer med en gitt egenverdi utgjør sammen med nullvektoren et egenrom.
- Wartość własna operatora liniowego <math>T\colon X\to X</math> przestrzeni liniowej <math>X</math> nad ciałem <math>K</math>, to taki skalar <math>\lambda \in K</math>, że dla pewnego niezerowego <math>x\in X</math> spełniony jest związek: <math>Tx =\lambda x</math>.
- Em álgebra linear, um escalar λ é valor próprio (ou autovalor) de um operador linear A : V -> V se existir um vector x diferente de zero tal que Ax=λx. O vector x é chamado vector próprio.
- În matematică, un vector propriu al unei transformări liniare pe un spaţiu vectorial este un vector nenul a cărui direcţie rămîne neschimbată de către acea transformare. Factorul prin care mărimea vectorului este scalată se numeşte valoare proprie a acelui vector. Mulţimea vectorilor proprii ce au asociată aceeaşi valoare proprie constituie un subspaţiu vectorial al spaţiului transformării, numit spaţiu propriu al transformării, asociat valorii proprii respective.
- Файл:Mona Lisa with eigenvector. png Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению <math>\lambda=1</math>.
- Låt F vara en linjär avbildning på ett linjärt rum V. En vektor u skild från nollvektorn i V sådan att F(u) = λu för något tal λ kallas en egenvektor till F med egenvärdet λ. Om vi framställer F som en matris A, så kan vi med hjälp av matriser skriva A·U = λ·U, där matrisen U kan vara en koordinatvektor.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
