| dbpprop:abstract
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- In algebra, the discriminant of a polynomial with real or complex coefficients is a certain expression in the coefficients of the polynomial which is a homogeneous polynomial in the coefficients and gives information on the nature of the roots; in particular, it is equal to zero if and only if the polynomial has a multiple root (i.e. a root with multiplicity greater than one) in the complex numbers. For example, the discriminant of the quadratic polynomial <math>ax^2+bx+c\, is <math>\,b^2-4ac. The discriminant of the cubic polynomial <math>ax^3+bx^2+cx+d\, is <math>\,b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd. The discriminant of a quartic is significantly longer, having 16 terms. This concept also applies if the polynomial has coefficients in a field which is not contained in the complex numbers. In this case, the discriminant vanishes if and only if the polynomial has a multiple root in its splitting field.
- Die Diskriminante (lat. discriminare = unterscheiden) ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht. Am bekanntesten ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung.
- En àlgebra, el discriminant d'un polinomi amb coeficients reals o complexes és una expressió dels coeficients del polinomi. Aquesta expressió dona zero si i només si el polinomi té arrels múltiples en el cos dels nombres complexos. Per exemple el discriminant del polinomi de segon grau <math>ax^2+bx+c</math> és <math>b^2-4ac</math>. El discriminant d'un polinomi de tercer grau <math>ax^3+bx^2+cx+d</math> es <math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd</math>. Aquest concepte també s'aplica si el polinomi té coeficients en un cos que no sigui subconjunt dels nombres complexos. En aquest cas el discriminant s'anul·la si i només si el polinomi té arrels múltiples en el corresponent cos de descomposició. El discriminant ve donat per <math>a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}</math> on <math>a_n</math> és el coeficient principal i <math>r_1, ... , r_n</math> són arrels (tenint en compte la multiplicitat) del polinomi en algun cos de descomposició. El concepte de discriminant s'ha generalitzat a altres estructures algebraiques més enllà dels polinomis, incloent còniques, formes quadràtiques, i camps de nombres algebraics. Els discriminants en la teoria de nombres algebraics estan relacionats i contenen informació sobre la ramificació. De fet, els altres tipus geomètrics de ramificació també estan relacionats amb tipus més abstractes de discriminant, fent de la idea de discriminant una idea algebraica central en moltes aplicacions.
- Diskriminant je polynom s reálnými nebo imaginárními koeficienty, který se používá při řešení polynomických rovnic, zvláště pak kvadratických rovnic. Diskriminant rozhoduje o kvalitě a počtu kořenů.
- En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático <math>ax^2+bx+c\,</math> es <math>b^2-4ac\,</math>. El discriminante del polinomio cúbico <math>ax^3+bx^2+cx+d\,</math> es <math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,</math>. Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se desvanece si y solo si el polinomio no tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición. El concepto de discriminante ha sido generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo secciones cónicas, formas cuadráticas y cuerpos de números algebraicos. Los discriminantes en la teoría de números algebraicos están fuertemente relacionados y contienen información sobre ramificaciones. De hecho, los tipos de ramificación están relacionados con tipos más abstractos de discriminantes, lo que convierte esta idea algebraica en capital en muchas aplicaciones.
- Polynomin p(x)=anx+... +a1x+a0, missä kertoimet a1,a2,... ,an kuuluvat annettuun kuntaan K, diskriminantti on (2n − 1)×(2n − 1) matriisin <math>\left(\begin{matrix} & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & 0& \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 \\ & na_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\ & 0 & na_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots\ & a_1 \\ \end{matrix}\right)</math> determinantti.
- En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré quelconque et dont les coefficients sont choisis dans des ensembles équipés d'une addition et d'une multiplication. Le discriminant apporte dans ce cadre une information sur l'existence ou l'absence de racine multiple. Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes. Son usage permet de mieux comprendre les coniques et les quadriques en général. On le retrouve dans l'étude des formes quadratiques ou celle des corps de nombres dans le cadre de la théorie de Galois ou celle des nombres algébriques. Sa définition se fonde sur le calcul d'un déterminant.
- A diszkrimináns szó jelentése: előre megítélés, eldöntés, döntő tényező. A matematika területén magasabb fokú egyenletek megoldása során alkalmazzuk, ahol az adott egyenlet megoldóképletének szerves része maga, a diszkrimináns képlete. A diszkrimináns a gyakorlatban az adott magasabb fokú egyenletek gyökeinek számát határozza meg, dönti el. Mivel az algebra alaptétele csak a maximálisan szóba hozható gyökök számát definiálja, a valós gyökök számát azonban nem, ezért is volt szükséges minden lineárisnál magasabb fokú egyenlet esetében a diszkrimináns felfedezésére. (Az algebra alaptételéről a szócikk alján olvashat. ) Az alábbiakban a diszkrimináns fogalmát csakis kizárólag egyismeretlenes algebrai egyenletekre fogom kiterjeszteni:
- In de algebra is de discriminant van een polynoom een speciale uitdrukking in de coëfficiënten die belangrijke informatie geeft over het aantal nulpunten. De discriminant is alleen dan gelijk aan nul als de polynoom een of meer meervoudige (complexe) nulpunten heeft. De discriminant is vooral bekend uit de theorie van de vierkantsvergelijkingen, ter bepaling van de nulpunten van tweedegraadspolynomen.
- Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników tego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.
- Дискримина́нт многочлена <math>p(x)=a_0+a_1x+... +a_nx^n</math>, есть произведение <math>D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2</math>, где <math>\alpha_1,\alpha_2,... ,\alpha_n</math> - все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют. 'D=b*b-4ac', где а-старший коэффициент; b-второй коэффициент; с-свободный член.
- Diskiriminant (D) Yöntemi <math>ax^2 + bx + c = 0</math> denklemi a ¹ 0 ve D = b – 4 ac ise, çözüm kümesi <math>ax^2 + bx + c = 0</math> denkleminde, D = b – 4ac olsun. a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. Bu kökleri, b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur. c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.
- 在数学中，一个实系数或复系数多项式的判别式是一个与之相关的表达式。一个多项式的判别式等于零当且仅当多项式有重根。比如，一元二次多项式 <math>ax^2+bx+c</math> 的判别式是 <math>b^2-4ac</math>。 一元三次多项式 <math>ax^3+bx^2+cx+d</math> 的判别式是 <math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd</math>。 当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为： <math>a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}</math> 其中的<math>a_n</math>是多项式的最高次项系数，<math>r_1, ... , r_n</math>是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。 判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。
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- In algebra, the discriminant of a polynomial with real or complex coefficients is a certain expression in the coefficients of the polynomial which is a homogeneous polynomial in the coefficients and gives information on the nature of the roots; in particular, it is equal to zero if and only if the polynomial has a multiple root (i.e. a root with multiplicity greater than one) in the complex numbers.
- Die Diskriminante (lat. discriminare = unterscheiden) ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht. Am bekanntesten ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung.
- En àlgebra, el discriminant d'un polinomi amb coeficients reals o complexes és una expressió dels coeficients del polinomi. Aquesta expressió dona zero si i només si el polinomi té arrels múltiples en el cos dels nombres complexos. Per exemple el discriminant del polinomi de segon grau <math>ax^2+bx+c</math> és <math>b^2-4ac</math>.
- Diskriminant je polynom s reálnými nebo imaginárními koeficienty, který se používá při řešení polynomických rovnic, zvláště pak kvadratických rovnic. Diskriminant rozhoduje o kvalitě a počtu kořenů.
- En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático <math>ax^2+bx+c\,</math> es <math>b^2-4ac\,</math>. El discriminante del polinomio cúbico <math>ax^3+bx^2+cx+d\,</math> es <math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,</math>.
- Polynomin p(x)=anx+... +a1x+a0, missä kertoimet a1,a2,...
- En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré quelconque et dont les coefficients sont choisis dans des ensembles équipés d'une addition et d'une multiplication. Le discriminant apporte dans ce cadre une information sur l'existence ou l'absence de racine multiple. Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes.
- A diszkrimináns szó jelentése: előre megítélés, eldöntés, döntő tényező. A matematika területén magasabb fokú egyenletek megoldása során alkalmazzuk, ahol az adott egyenlet megoldóképletének szerves része maga, a diszkrimináns képlete. A diszkrimináns a gyakorlatban az adott magasabb fokú egyenletek gyökeinek számát határozza meg, dönti el.
- In de algebra is de discriminant van een polynoom een speciale uitdrukking in de coëfficiënten die belangrijke informatie geeft over het aantal nulpunten. De discriminant is alleen dan gelijk aan nul als de polynoom een of meer meervoudige (complexe) nulpunten heeft. De discriminant is vooral bekend uit de theorie van de vierkantsvergelijkingen, ter bepaling van de nulpunten van tweedegraadspolynomen.
- Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników tego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.
- Дискримина́нт многочлена <math>p(x)=a_0+a_1x+... +a_nx^n</math>, есть произведение <math>D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2</math>, где <math>\alpha_1,\alpha_2,... ,\alpha_n</math> - все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.
- Diskiriminant (D) Yöntemi <math>ax^2 + bx + c = 0</math> denklemi a ¹ 0 ve D = b – 4 ac ise, çözüm kümesi <math>ax^2 + bx + c = 0</math> denkleminde, D = b – 4ac olsun. a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. Bu kökleri, b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur. c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.
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