| dbpprop:abstract
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- In number theory, Dirichlet's theorem, also called the Dirichlet prime number theorem, states that for any two positive coprime integers a and d, there are infinitely many primes of the form a + nd, where n ≥ 0. In other words: there are infinitely many primes which are congruent to a modulo d. The numbers of the form a + nd form an arithmetic progression <math>a, a+d, a+2d, a+3d, ... ,\ </math> and Dirichlet's theorem states that this sequence contains infinitely many prime numbers. The theorem extends Euclid's theorem that there are infinitely many prime numbers. Stronger forms of Dirichlet's theorem state that, for any arithmetic progression, the sum of the reciprocals of the prime numbers in the progression diverges, and that different arithmetic progressions with the same modulus have approximately the same proportions of primes. Note that Dirichlet's theorem does not require the prime numbers in an arithmetic sequence to be consecutive. It is also known that there exist arbitrarily long finite arithmetic progressions consisting only of primes, but this is a different result, known as the Green–Tao theorem.
- Der dirichletsche Primzahlsatz ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie, der besagt, dass eine arithmetische Folge unendlich viele Primzahlen enthält, wenn dies nicht aus trivialen Gründen unmöglich ist. In der einfachsten Fassung lautet der Satz: Es sei <math>m</math> eine natürliche Zahl und <math>a</math> eine zu <math>m</math> teilerfremde natürliche Zahl. Dann enthält die arithmetische Folge <math>a, a+m, a+2m, a+3m,\ldots </math> unendlich viele Primzahlen. Anders formuliert: Es gibt unendlich viele Primzahlen, die kongruent zu <math>a</math> modulo <math>m</math> sind. Wären <math>a</math> und <math>m</math> nicht teilerfremd und <math>g>1</math> ein gemeinsamer Teiler, so wäre jedes Folgenglied durch <math>g</math> teilbar; zwei verschiedene Primzahlen können aber nicht beide durch <math>g</math> teilbar sein. Deshalb ist die Bedingung der Teilerfremdheit von <math>a</math> und <math>m</math> notwendig. Jede ungerade Zahl hat die Form <math>4k+1</math> oder <math>4k+3</math> mit einer nichtnegativen ganzen Zahl <math>k</math>. Der dirichletsche Primzahlsatz sagt in diesem Spezialfall aus, dass es von beiden Formen jeweils unendlich viele Primzahlen gibt. In einer quantitativen Fassung, die beispielsweise aus dem tschebotarjowschen Dichtigkeitssatz folgt, lautet der dirichletsche Primzahlsatz: <math> \lim_{x\to\infty}\frac{\#\{p\leq x\mid p\ \mathrm{prim},\quad p\equiv a\pmod m\}}{\#\{p\leq x\mid p\ \mathrm{prim}\}}=\frac1{\varphi(m)}</math> mit der eulerschen φ-Funktion. Diese Aussage bedeutet, dass es in jeder der primen Restklassen modulo <math>m</math> in einem gewissen Sinne gleich viele Primzahlen gibt.
- En matemàtiques, i més particularment en teoria dels nombres, el teorema de la progressió aritmètica, degut al matemàtic alemany Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, s'enuncia de la manera següent: {{teorema|Per a tots els naturals no nuls n i m primers entre ells, la progressió aritmètica <math>a_{i}=n+i\cdot m</math>, conté una infinitat de nombres primers el que és equivalent a l'enunciat següent: Aquest teorema fa servir a la vegada els resultats de l'aritmètica modular i els de la teoria analítica dels nombres
- El Teorema de Dirichlet es un resultado de la teoría analítica de números demostrado por el matemático Johann Dirichlet. Este teorema sobre la distribución de los números primos en <math>\mathbb{N}</math>, fue conjeturado por Gauss y finalmente demostrado en 1837 por Dirichlet, nombre por el que actualmente se le conoce. El primer teorema de convergencia de series de Fourier, debido a Dirichlet, apareció en 1829 y se refiere a funciones monótonas a trozos. Por ello comenzamos primero con unos comentarios sobre estas funciones. Una función monótona y acotada en un intervalo [a, b] es integrable y tiene límites laterales finitos en cada punto. Si estos límites no coinciden la función tendrá una discontinuidad con un salto finito. La suma de los saltos no puede ser mayor que la diferencia de los valores de la función en los extremos del intervalo, de modo que el conjunto de discontinuidades con salto mayor que 1/n es finito y, por tanto, el conjunto de discontinuidades es a lo más numerable. Las mismas propiedades serán ciertas para una función monótona a trozos, es decir, aquella que es monótona en una cantidad finita de intervalos que unidos dan el intervalo original.
- En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, le théorème de la progression arithmétique, dû au mathématicien allemand Gustav Lejeune-Dirichlet, s'énonce de la façon suivante : « Pour tous les entiers naturels non nuls n et m premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers de la forme n + a m, où a est un entier positif. » ce qui est équivalent à l'énoncé suivant : « Pour tous les entiers non nuls n et m premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers dans la classe de m modulo n. » Ce théorème utilise à la fois les résultats de l'arithmétique modulaire et ceux de la théorie analytique des nombres.
- A számelméletben L. Dirichlet nevezetes tétele azt állítja, hogy minden <math>a, a+q, a+2q, a+3q,\dots</math> számtani sorozatban végtelen sok prím van, feltéve, hogy a és q>0 relatív prímek.
- Nella teoria dei numeri, il teorema di Dirichlet afferma che dati due numeri interi coprimi a e b, esistono infiniti primi della forma a + nb, dove b > 0, o, in altre parole, ogni progressione aritmetica siffatta contiene infiniti numeri primi. Questo teorema rappresenta una naturale generalizzazione di quanto affermato da Euclide, e cioè che esistono infiniti numeri primi (ciò infatti rappresenta il caso particolare in cui a = b = 1). In effetti, è in genere piuttosto facile dimostrare casi particolari di questo teorema (ad esempio che esistono infiniti primi della forma 4n + 1, o 4n + 3, o 6n + 5, etc), ma il caso generale presenta invece parecchie difficoltà. È importante osservare che il teorema non dice affatto che esistono infiniti numeri primi consecutivi in progressione aritmetica. Eulero affermò che ogni progressione aritmetica che cominci con 1 contiene un infinito numero di primi. Il teorema in questa forma fu prima congetturato da Gauss e dimostrato da Dirichlet nel 1835 con le L-serie di Dirichlet. La dimostrazione è modellata sul precedente lavoro di Eulero che collegava la funzione zeta di Riemann alla distribuzione dei numeri primi. Il teorema rappresenta l'inizio della moderna teoria dei numeri analitica. Nella teoria dei numeri algebrica il teorema di Dirichlet viene generalizzato al teorema di densità di Chebotarev.
- ディリクレの算術級数定理は、初項と公差が互いに素である算術級数には無限に素数が存在する、という定理である。
- Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит: Каждая арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел. Фактически Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах <math>l</math> и <math>k</math> <math>\lim_{s\to 1+}\frac{\sum_p\frac1{p^s}}{\ln\frac1{s-1}}=\frac1{\varphi(k)}</math> где суммирование ведется по всем простым числам <math>p</math> с условием <math>p\equiv l\,\operatorname{mod}\,k</math>, а <math>\varphi</math> — функция Эйлера. Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов <math>\mod k</math>, поскольку <math>\lim_{s\to 1+}\frac{\sum_p\frac1{p^s}}{\ln\frac1{s-1}}=1</math> если суммирование ведется по всем простым числам.
- 在數論，狄利克雷定理說明對於任意互質的正整數<math>a,d</math>，有無限多個質數的形式如<math>a+nd</math>，其中<math>n</math>為正整數，即在算術級數<math>a+d,a+2d,a+3d,... </math>中有無限多個質數——有無限個質數模<math>d</math>同餘<math>a</math>。
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| rdfs:comment
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- In number theory, Dirichlet's theorem, also called the Dirichlet prime number theorem, states that for any two positive coprime integers a and d, there are infinitely many primes of the form a + nd, where n ≥ 0. In other words: there are infinitely many primes which are congruent to a modulo d. The numbers of the form a + nd form an arithmetic progression <math>a, a+d, a+2d, a+3d, ...
- Der dirichletsche Primzahlsatz ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie, der besagt, dass eine arithmetische Folge unendlich viele Primzahlen enthält, wenn dies nicht aus trivialen Gründen unmöglich ist. In der einfachsten Fassung lautet der Satz: Es sei <math>m</math> eine natürliche Zahl und <math>a</math> eine zu <math>m</math> teilerfremde natürliche Zahl.
- El Teorema de Dirichlet es un resultado de la teoría analítica de números demostrado por el matemático Johann Dirichlet. Este teorema sobre la distribución de los números primos en <math>\mathbb{N}</math>, fue conjeturado por Gauss y finalmente demostrado en 1837 por Dirichlet, nombre por el que actualmente se le conoce. El primer teorema de convergencia de series de Fourier, debido a Dirichlet, apareció en 1829 y se refiere a funciones monótonas a trozos.
- En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, le théorème de la progression arithmétique, dû au mathématicien allemand Gustav Lejeune-Dirichlet, s'énonce de la façon suivante : « Pour tous les entiers naturels non nuls n et m premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers de la forme n + a m, où a est un entier positif.
- A számelméletben L. Dirichlet nevezetes tétele azt állítja, hogy minden <math>a, a+q, a+2q, a+3q,\dots</math> számtani sorozatban végtelen sok prím van, feltéve, hogy a és q>0 relatív prímek.
- Nella teoria dei numeri, il teorema di Dirichlet afferma che dati due numeri interi coprimi a e b, esistono infiniti primi della forma a + nb, dove b > 0, o, in altre parole, ogni progressione aritmetica siffatta contiene infiniti numeri primi. Questo teorema rappresenta una naturale generalizzazione di quanto affermato da Euclide, e cioè che esistono infiniti numeri primi (ciò infatti rappresenta il caso particolare in cui a = b = 1).
- ディリクレの算術級数定理は、初項と公差が互いに素である算術級数には無限に素数が存在する、という定理である。
- Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит: Каждая арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.
- 在數論，狄利克雷定理說明對於任意互質的正整數<math>a,d</math>，有無限多個質數的形式如<math>a+nd</math>，其中<math>n</math>為正整數，即在算術級數<math>a+d,a+2d,a+3d,... </math>中有無限多個質數——有無限個質數模<math>d</math>同餘<math>a</math>。
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