| dbpprop:abstract
|
- Differential calculus, a field in mathematics, is the study of how functions change when their inputs change. The primary object of study in differential calculus is the derivative. A closely related notion is the differential. The derivative of a function at a chosen input value describes the behavior of the function near that input value. For a real-valued function of a single real variable, the derivative at a point equals the slope of the tangent line to the graph of the function at that point. In general, the derivative of a function at a point determines the best linear approximation to the function at that point. The process of finding a derivative is called differentiation. The fundamental theorem of calculus states that differentiation is the reverse process to integration. Differentiation has applications to all quantitative disciplines. In physics, the derivative of the displacement of a moving body with respect to time is the velocity of the body, and the derivative of velocity with respect to time is acceleration. Newton's second law of motion states that the derivative of the momentum of a body equals the force applied to the body. The reaction rate of a chemical reaction is a derivative. In operations research, derivatives determine the most efficient ways to transport materials and design factories. By applying game theory, differentiation can provide best strategies for competing corporations. Derivatives are frequently used to find the maxima and minima of a function. Equations involving derivatives are called differential equations and are fundamental in describing natural phenomena. Derivatives and their generalizations appear in many fields of mathematics, such as complex analysis, functional analysis, differential geometry, measure theory and abstract algebra.
- Diferenciální počet je matematická disciplína, která zkoumá změny funkčních hodnot v závislosti na změně nezávislé proměnné. Základním pojmem diferenciálního počtu je derivace. Pokud je derivace spojité funkce v daném bodě kladná, resp. záporná, je zde funkce rostoucí, resp. klesající. Lokální extrém může nastat pouze v bodě, ve kterém je derivace rovna nule nebo derivace neexistuje. Diferenciální počet tedy umožňuje vyšetřovat průběh funkce. Mezi další důležité pojmy diferenciálního počtu patří např. limita, diferenciál nebo spojitost. Derivace funkce v bodě vyjadřuje míru změny hodnoty funkce se změnou argumentu. Tuto změnu je možno interpretovat následovně: Geometricky: jde o směrnici tečny (tangenty) ke grafu v daném bodě Fyzikálně: změna rychlosti v čase je zrychlení. změna polohového vektoru v čase je okamžitá rychlost změna φ u pohybu po kružnici je okamžitá úhlová rychlost ω Historicky se k diferenciálnímu počtu dospělo dvěma způsoby: Isaac Newton - přes geometrickou interpolaci Gottfried Leibniz - přes limitu
- A differenciálszámítás a matematika azon ága, amely vizsgálja, hogy függvények hogyan változnak néhány (esetleg az összes, de legalább egy) független változó változására. A differenciálszámítás fő tárgya a derivált. Egy függvény adott pontban vett deriváltja megmutatja, hogy a függvény a pont környezetében hogyan viselkedik. Egyváltozós valós-valós függvénynél a pontbéli derivált egyenlő az adott pontban húzott érintő meredekségével (kivétel ez alól az inflexiós pont). Általánosságban egy függvény deriváltja megmutatja az adott függvény tárgyalt pontjában való legjobb lineáris közelítését. A derivált megkeresésének folyamatát nevezzük differenciálásnak. Bizonyítható, hogy a differenciálás az integrálás inverz művelete. A differenciálszámítást a természettudományok túlnyomó részében használjuk. Például a fizikában egy testre vonatkozó helyvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltja a sebesség. Newton második mozgási törvénye értelmében egy adott testre ható erővektorok algebrai összegének időfüggvénye egyenlő a testre vonatkozó impulzusvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltjával. A kémiában a reakcióidőket, az operációkutatásban a gazdaságosságokat, a játékelméletben megfelelő stratégiákat lehet meghatározni vele, de ezeknél természetesen jóval több területen használjuk fel. A deriváltakat gyakran függvények extrémumainak meghatározására is alkalmazzuk. Egyenletek, egyenlőtlenségek is tartalmazhatnak deriváltakat, ezeket differenciálegyenleteknek nevezzük. Ez a matematika egy bonyolult témája, bár hasznos, mert a természet sok jelenségét le tudjuk írni vele. A deriválási tételek, szabályok, tulajdonságok és ezek általánosításai megjelennek még a komplex analízisben, a függvényanalízisben, a differenciálgeometriában, az absztrakt algebrában is, és mind az elméleti, mind az alkalmazott természettudományok ezernyi szegletében.
- Differentiaalrekening is een wiskundige rekenmethode voor het vaststellen van de veranderingen die functies ondergaan als er in hun argumenten oneindig kleine veranderingen optreden. De differentiaalrekening is oorspronkelijk door Isaac Newton ontwikkeld omdat hij deze nodig had voor zijn theorie van de mechanica. Het principe van de differentiaalrekening laat zich het eenvoudigste uitleggen aan de hand van een voorbeeld. De snelheid van een beweging is de weg die in een bepaalde tijd wordt afgelegd gedeeld door die tijd: wie in een uur honderd kilometer aflegt rijdt honderd kilometer per uur. Althans gemiddeld. Maar hoe komen wij nu de snelheid te weten als die varieert? Om de snelheid op één bepaald moment te weten te komen moet de afstand worden bepaald die in zeer korte tijd wordt afgelegd. Dat levert een breuk op met een heel kleine noemer en een heel kleine teller, waarbij de verhouding (het quotiënt) in de regel niet heel klein is. Wie 28 mm in een milliseconde aflegt rijdt nog steeds 100 km/u. In de differentiaalrekening wordt vervolgens een limietovergang toegepast door het tijdinterval naar nul te laten naderen. In een experiment kan het tijdsinterval niet willekeurig klein worden gekozen: daar zijn technische grenzen aan. Wanneer de afgelegde weg echter als een wiskundige functie van de tijd wordt geschreven, dan is dat wel mogelijk: de afgeleide geeft het differentiaalquotiënt, in dit geval van tijd en afstand, en kan eenduidig worden bepaald. Grafisch is het differentiaalquotiënt voor te stellen als de helling van een kromme in een bepaald punt. Meetkundig is die helling voor te stellen als de helling van een raaklijn – en een raaklijn is een lijn die denkbeeldig geconstrueerd kan worden door een lijn door twee punten op die kromme te trekken en de afstand tussen die twee punten tot de nul te laten naderen. Het belang van de differentiaalrekening is vooral dat natuurkundige verschijnselen waarbij natuurkundige grootheden continu variëren in onderlinge afhankelijkheid, dus bijna overal, zich laten beschrijven door differentiaalvergelijkingen. Een elementaire toepassing is het bepalen waar een wiskundige functie extreme waarden bereikt, want daar loopt de raaklijn horizontaal en is het differentiaalquotiënt dus nul. Van een functie met meer dan een onafhankelijk variabele kunnen ook zadelpunten worden bepaald. Voor scalaire en vectoriële functies zijn allerlei differentiaaloperatoren ontwikkeld: de del of nabla die, op een scalar toegepast, een gradiënt oplevert, en op een vector toegepast, een rotatie of een divergentie kan zijn. Dit soort geavanceerde differentiaaloperatoren spelen een enorme rol in de mechanica, elektromagnetisme en stromingsleer. Voorts zijn er de Laplace-operator, de Hessiaan en de Jacobiaan. Integraalrekening en differentiaalrekening worden samen wel omschreven als infinitesimaalrekening, een onderdeel van de 'hogere wiskunde'.
- 通常把自变量<math>x</math>的增量 <math>\Delta x</math>称为自变量的微分，记作<math>dx</math>，即<math>dx = \Delta x</math>。于是函数<math>y = f(x)</math>的微分又可记作<math>dy = f'(x)dx</math>。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
|
| rdfs:comment
|
- Differential calculus, a field in mathematics, is the study of how functions change when their inputs change. The primary object of study in differential calculus is the derivative. A closely related notion is the differential. The derivative of a function at a chosen input value describes the behavior of the function near that input value.
- Diferenciální počet je matematická disciplína, která zkoumá změny funkčních hodnot v závislosti na změně nezávislé proměnné. Základním pojmem diferenciálního počtu je derivace. Pokud je derivace spojité funkce v daném bodě kladná, resp. záporná, je zde funkce rostoucí, resp. klesající. Lokální extrém může nastat pouze v bodě, ve kterém je derivace rovna nule nebo derivace neexistuje. Diferenciální počet tedy umožňuje vyšetřovat průběh funkce.
- A differenciálszámítás a matematika azon ága, amely vizsgálja, hogy függvények hogyan változnak néhány (esetleg az összes, de legalább egy) független változó változására. A differenciálszámítás fő tárgya a derivált. Egy függvény adott pontban vett deriváltja megmutatja, hogy a függvény a pont környezetében hogyan viselkedik.
- Differentiaalrekening is een wiskundige rekenmethode voor het vaststellen van de veranderingen die functies ondergaan als er in hun argumenten oneindig kleine veranderingen optreden. De differentiaalrekening is oorspronkelijk door Isaac Newton ontwikkeld omdat hij deze nodig had voor zijn theorie van de mechanica. Het principe van de differentiaalrekening laat zich het eenvoudigste uitleggen aan de hand van een voorbeeld.
- 通常把自变量<math>x</math>的增量 <math>\Delta x</math>称为自变量的微分，记作<math>dx</math>，即<math>dx = \Delta x</math>。于是函数<math>y = f(x)</math>的微分又可记作<math>dy = f'(x)dx</math>。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
