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- In calculus, a branch of mathematics, the derivative is a measure of how a function changes as its input changes. Loosely speaking, a derivative can be thought of as how much a quantity is changing at a given point; for example, the derivative of the position (or distance) of a vehicle with respect to time is the instantaneous velocity (respectively, instantaneous speed) at which the vehicle is traveling. Conversely, the integral of the velocity over time is the vehicle's position. The derivative of a function at a chosen input value describes the best linear approximation of the function near that input value. For a real-valued function of a single real variable, the derivative at a point equals the slope of the tangent line to the graph of the function at that point. In higher dimensions, the derivative of a function at a point is a linear transformation called the linearization. A closely related notion is the differential of a function. The process of finding a derivative is called differentiation. The fundamental theorem of calculus states that differentiation is the reverse process to integration.
- Die Differential- bzw. Differenzialrechnung ist ein Gebiet der Mathematik und ein wesentlicher Bestandteil der Analysis. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Hierzu dient die Ableitung (auch Differentialquotient genannt), deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist (nach der Vorstellung von Leibniz) der Proportionalitätsfaktor zwischen verschwindend kleinen (infinitesimalen) Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Existiert ein solcher Proportionalitätsfaktor, so nennt man die Funktion differenzierbar. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als diejenige lineare Abbildung definiert, die unter allen linearen Abbildungen die Änderung der Funktion lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt. In vielen Fällen ist die Differentialrechnung zur Bildung von mathematischen Modellen, die versuchen die Wirklichkeit abzubilden, sowie deren nachfolgende Analyse ein unverzichtbares Hilfsmittel. Die Entsprechung der Ableitung im untersuchten Sachverhalt ist häufig die momentane Änderungsrate; in den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten (z. B. Grenzkosten, Grenzproduktivität eines Produktionsfaktors etc.). Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Differenzenquotient, Differentialquotient, Differentiation, stetig differenzierbar, glatt, partielle Ableitung, totale Ableitung, Reduktion des Grades eines Polynoms.
- En càlcul infinitesimal, la derivada és una mesura de com canvia una funció en modificar el valor de les seves variables. Intuïtivament pot dir-se que la derivada és la rapidesa en què varia una quantitat determinada en un punt donat. Per exemple, la derivada de la posició d'un cotxe en un moment concret, és la velocitat instantània a la qual va el cotxe en aquell moment; i, de manera recíproca, la integral de la velocitat del cotxe és la seva posició. La derivada de la funció en un punt donat descriu la millor aproximació lineal de la funció en el punt. Per una funció real d'una variable real, la derivada en un punt és igual al pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en aquest punt. En diverses dimensions, la derivada d'una funció en un punt és una aplicació lineal anomenada la linealització de la funció en el punt. Del procés de trobar una derivada se'n diu derivació. El teorema fonamental del càlcul estableix que la derivació és el procés invers al de la integració.
- Derivace je základní pojem matematiky konkrétně diferenciálního počtu. Derivace nějaké funkce je změna (růst) obrazu této funkce v poměru k (ideálně) nekonečně malé změně jejích argumentů. Opačným procesem k derivování je integrování. Pojem derivace vzniknul v 17. století při řešení geometrických a fyzikálních problémů typickým příkladem problému je jak nalézt rovnici tečny ke grafu funkce v jejím libovolném bodě. Koncept derivace se dá nahlížet z mnoha stran například v případě dvourozměrného grafu funkce f(x) je derivace této funkce v libovolném bodě (ve kterém existuje) rovna směrnici tečny tohoto grafu. Z toho je vidět že pojem derivace se objevuje i v mnoha geometrických souvislostech např. u pojmu konkávnosti.
- En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la Pendiente de una rectapendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto. La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje <math>x\,</math> de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado. ImagenTangent to a curve. svgthumb260pxwidth=150length=150La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).
- Matematiikassa derivaatta kuvaa funktion paikallista tai hetkellistä muutosnopeutta. Geometrisesti derivaattaa voidaan havainnollistaa funktion kuvaajan tangentin (sivuajan) kulmakertoimena. Täsmällisesti derivaatta määritellään raja-arvon avulla. Derivaatan arvon määrittämistä tai funktion derivaattafunktion määrittämistä kutsutaan derivoinniksi. Derivaatan käsitteen esittivät ensimmäisenä Isaac Newton ja Gottfried Leibniz 1600-luvulla. Sanan derivaatta (johdos) otti käyttöön Joseph-Louis Lagrange 1700-luvun lopulla. Derivaatalla on monia hyödyllisiä sovelluksia fysiikassa ja insinööritieteissä. Derivoinnin käänteisoperaatio on integrointi, jolla määritetään integraali.
- En analyse, le nombre dérivé d'une fonction en un point est, si celui-ci existe, le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C'est-à-dire le coefficient directeur de l'approximation affine de cette fonction en ce point — si cette approximation affine existe. La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. La notion de nombre dérivé a vu le jour au XVII siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ». La dérivée de la fonction <math>f\,</math> est notée en mathématique <math>f'\,</math> ou <math>\frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}</math>. La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation. En sciences, lorsqu'une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée de la dérivée donne l'accélération. Par exemple, la vitesse instantanée d'un mobile est la valeur à cet instant de la dérivée de sa position par rapport au temps, et son accélération est la valeur à cet instant de la dérivée par rapport au temps, de sa vitesse. Il existe aussi une définition purement algébrique de la dérivée. On en trouve un exemple dans l'article polynôme formel.
- Fájl:Graph of sliding derivative line. gif A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált. A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e), szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma), grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe) a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan) a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére. A derivált fogalma a 16. és a 17. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre, alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes tartalma enélkül is megérthető.
- In matematica la derivata di una funzione è, insieme all'integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.
- 数学、とくに解析学における微分法（びぶんほう、differentiation, derivation）は、空間やその上に定義される関数・写像を各点の近傍で考え、その局所的な振舞いを調べることによって、それらの特徴を記述する方法である。積分法と並んで、解析学における中心的な概念のうちの一つとなっている。微分においては、特定の無限小を基準にして挙動を測っており、考えている無限小よりも高位の無限小についての情報は測り取れずに落ちてしまうため、ある量の微分は基準となる無限小に対して線型性を示し、やや大域的には考えている点の近傍の線型近似として捉えられる。微分から大域的な情報を得るには、貼り合せ条件や積分といった別の手段をきちんと考える必要がある。
- In de wiskunde is de afgeleide een maat voor de verandering die een functie ondergaat als de argumenten van deze functie een infinitesimaal kleine verandering ondergaan. In een functie met één reële variabele wordt de afgeleide in een punt gegeven door de helling van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in dat punt. Het woord afgeleide is hier in feite een afgekorte term voor het begrip afgeleide waarde. Het is een waarde die afgeleid is van de oorspronkelijke functie. Het bepalen van de afgeleide van een functie heet differentiëren. Als de afgeleide van een functie f gedefinieerd is voor alle punten in het domein van f, wordt de daardoor bepaalde functie de afgeleide functie of kortweg de afgeleide genoemd. Het concept van de afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd door Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevonden. De afgeleide van een functie f wordt vaak genoteerd als f' ("f-accent") of als <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}.
- Derivasjon eller differensialregning er et område av matematikk og en viktig bestanddel av analyse. Det er nært forbundet med integrasjon. Den deriverte til en funksjon beskriver dens stigning. I et gitt punkt er den deriverte lik stigningen til tangenten i det punktet. Ekvivalent beskriver den deriverte den lineære funksjonen som er den beste lokale tilnærmingen til funksjonen. Ofte er derivasjon et essensielt hjelpemiddel i konstruksjonen og analysen av matematiske modeller som forsøker å beskrive virkeligheten.
- Pochodna funkcji – w analizie matematycznej, narzędzie służące do badania przebiegu zmienności wartości funkcji, określonej na pewnym przedziale o wartościach rzeczywistych, przy zmianie jej argumentów. Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej, pochodna jest operatorem liniowym. Pojęcie pochodnej było uogólniane, na przykład na przestrzenie unormowane. Proces odnajdywania pochodnej nazywamy różniczkowaniem, a dział matematyki zajmujący się pochodnymi, ich własnościami i zastosowaniami rachunkiem różniczkowym. Definicja intuicyjna Pochodna pewnej funkcji opisuje jak szybko zmienia się wartość tej funkcji.
- No Cálculo, a derivada representa a taxa de variação de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por <math>f'(a)\,</math> ou por <math>\frac{df}{dx}(a)</math>. Assim, por exemplo, se se considerar a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f − f está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f) mais perto estará este de ser linear. Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.
- În matematică, derivata unei funcţii este unul dintre conceptele fundamentale ale analizei matematice, împreună cu primitiva şi inversa derivatei. Derivata unei funcţii într-un punct semnifică rata cu care se modifică valoarea funcţiei atunci când se modifică argumentul. Cu alte cuvinte, derivata este o formulare matematică a noţiunii de rată de variaţie. Derivata este un concept foarte versatil, care poate fi privit în multe feluri. De exemplu, referindu-ne la graficul bidimensional al funcţiei f, derivata într-un punct x reprezintă panta tangentei la grafic în punctul x. Panta tangentei se poate aproxima printr-o secantă. Cu această interpretare geometrică, nu este surprinzător faptul că derivatele pot fi folosite pentru a descrie multe proprietăţi geometrice ale graficelor de funcţii, cum ar fi concavitatea şi convexitatea. Trebuie menţionat că nu toate funcţiile admit derivate. De exemplu, funcţiile nu au derivate în punctele în care au o tangentă verticală, în punctele de discontinuitate şi în punctele de întoarcere.
- Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.
- Inom matematik är derivatan en funktion som anger hur en annan, känd funktion förändras beroende på vilken indata funktionen får, funktionens förändringshastighet. Intuitivt kan en funktions derivata sägas beskriva hur mycket och i vilken riktning en funktions värde förändras om man rör sig från en given punkt. Exempelvis kan positionen för en bil i rörelse beskrivas som en funktion av tiden som har passerat sedan bilen sattes i rörelse, derivatan av denna funktion beskriver bilens hastighet (hur mycket läget för bilen förändras inom den närmaste framtiden) och derivatan av derivatan är bilens acceleration (hur mycket hastigheten förändras). Derivata är ett grundläggande begrepp inom matematisk analys. Den enklaste formen av derivata är derivatan av en reellvärd funktion av en reell oberoende variabel, där derivatan är den hastighet med vilken funktionsvärdet ändras i den punkt som svarar mot den oberoende variabelns värde. Då förändringshastigheten hos en funktion inte måste vara konstant med avseende på den oberoende variabeln, är även derivatan en funktion av denna. För en reellvärd funktion f av en variabel betecknas derivatan vanligen f ′, varför derivatan i punkten x följaktligen betecknas f ′(x) (uttalas "f-prim av x".). Derivatan kan också betecknas df/dx (uttalas "d-f, d-x").
- Diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir. Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevin
- Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має кінцеву похідну, називають диференційовною.
- 导数是微积分中的重要概念。 我們知道在運動學中，平均速度等於通過的位移除以所花費的時間，同樣在一小段間隔的距離內，除上其走過的一小段時間，等於這一小段時間內的速度，但當這一小段間隔的時間趨於零時，這時的速度為瞬時速度，無法按照通常的除法計算，這時的速度為時間的導數。得用求導的方法計算。 也就是說，一個函數的自變量趨近某一極限時，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導數。在速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化，當時間趨於某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數。 導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。
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- In calculus, a branch of mathematics, the derivative is a measure of how a function changes as its input changes. Loosely speaking, a derivative can be thought of as how much a quantity is changing at a given point; for example, the derivative of the position (or distance) of a vehicle with respect to time is the instantaneous velocity (respectively, instantaneous speed) at which the vehicle is traveling. Conversely, the integral of the velocity over time is the vehicle's position.
- Die Differential- bzw. Differenzialrechnung ist ein Gebiet der Mathematik und ein wesentlicher Bestandteil der Analysis. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Hierzu dient die Ableitung (auch Differentialquotient genannt), deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist.
- En càlcul infinitesimal, la derivada és una mesura de com canvia una funció en modificar el valor de les seves variables. Intuïtivament pot dir-se que la derivada és la rapidesa en què varia una quantitat determinada en un punt donat. Per exemple, la derivada de la posició d'un cotxe en un moment concret, és la velocitat instantània a la qual va el cotxe en aquell moment; i, de manera recíproca, la integral de la velocitat del cotxe és la seva posició.
- Derivace je základní pojem matematiky konkrétně diferenciálního počtu. Derivace nějaké funkce je změna (růst) obrazu této funkce v poměru k (ideálně) nekonečně malé změně jejích argumentů. Opačným procesem k derivování je integrování. Pojem derivace vzniknul v 17. století při řešení geometrických a fyzikálních problémů typickým příkladem problému je jak nalézt rovnici tečny ke grafu funkce v jejím libovolném bodě.
- En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la Pendiente de una rectapendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto. La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.
- Matematiikassa derivaatta kuvaa funktion paikallista tai hetkellistä muutosnopeutta. Geometrisesti derivaattaa voidaan havainnollistaa funktion kuvaajan tangentin (sivuajan) kulmakertoimena. Täsmällisesti derivaatta määritellään raja-arvon avulla. Derivaatan arvon määrittämistä tai funktion derivaattafunktion määrittämistä kutsutaan derivoinniksi. Derivaatan käsitteen esittivät ensimmäisenä Isaac Newton ja Gottfried Leibniz 1600-luvulla.
- En analyse, le nombre dérivé d'une fonction en un point est, si celui-ci existe, le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C'est-à-dire le coefficient directeur de l'approximation affine de cette fonction en ce point — si cette approximation affine existe. La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé.
- Fájl:Graph of sliding derivative line. gif A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált. A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek.
- In matematica la derivata di una funzione è, insieme all'integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.
- In de wiskunde is de afgeleide een maat voor de verandering die een functie ondergaat als de argumenten van deze functie een infinitesimaal kleine verandering ondergaan. In een functie met één reële variabele wordt de afgeleide in een punt gegeven door de helling van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in dat punt. Het woord afgeleide is hier in feite een afgekorte term voor het begrip afgeleide waarde. Het is een waarde die afgeleid is van de oorspronkelijke functie.
- Derivasjon eller differensialregning er et område av matematikk og en viktig bestanddel av analyse. Det er nært forbundet med integrasjon. Den deriverte til en funksjon beskriver dens stigning. I et gitt punkt er den deriverte lik stigningen til tangenten i det punktet. Ekvivalent beskriver den deriverte den lineære funksjonen som er den beste lokale tilnærmingen til funksjonen.
- Pochodna funkcji – w analizie matematycznej, narzędzie służące do badania przebiegu zmienności wartości funkcji, określonej na pewnym przedziale o wartościach rzeczywistych, przy zmianie jej argumentów. Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej, pochodna jest operatorem liniowym. Pojęcie pochodnej było uogólniane, na przykład na przestrzenie unormowane.
- No Cálculo, a derivada representa a taxa de variação de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.
- În matematică, derivata unei funcţii este unul dintre conceptele fundamentale ale analizei matematice, împreună cu primitiva şi inversa derivatei. Derivata unei funcţii într-un punct semnifică rata cu care se modifică valoarea funcţiei atunci când se modifică argumentul. Cu alte cuvinte, derivata este o formulare matematică a noţiunii de rată de variaţie. Derivata este un concept foarte versatil, care poate fi privit în multe feluri.
- Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
- Inom matematik är derivatan en funktion som anger hur en annan, känd funktion förändras beroende på vilken indata funktionen får, funktionens förändringshastighet. Intuitivt kan en funktions derivata sägas beskriva hur mycket och i vilken riktning en funktions värde förändras om man rör sig från en given punkt.
- Diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir. Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevin
- Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує).
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