The curse of dimensionality is the problem caused by the exponential increase in volume associated with adding extra dimensions to a (mathematical) space. The term was coined by Richard Bellman.

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  • The curse of dimensionality is the problem caused by the exponential increase in volume associated with adding extra dimensions to a (mathematical) space. The term was coined by Richard Bellman. For example, 100 evenly-spaced sample points suffice to sample a unit interval with no more than 0.01 distance between points; an equivalent sampling of a 10-dimensional unit hypercube with a lattice with a spacing of 0.01 between adjacent points would require 10 sample points: thus, in some sense, the 10-dimensional hypercube can be said to be a factor of 10 "larger" than the unit interval. (Adapted from an example by R. E. Bellman, see below. ) Another way to envisage the "vastness" of high-dimensional Euclidean space is to compare the size of the unit ball with the unit cube: as the dimension of the space increases, the unit ball becomes an insignificant volume relative to that of the unit cube; thus, in some sense, nearly all of the high-dimensional space is "far away" from the centre, or, to put it another way, the high-dimensional unit space can be said to consist almost entirely of the "corners" of the hypercube, with almost no "middle". (This is an important intuition for understanding the chi-squared distribution.)
  • Fluch der Dimensionalität ist ein Begriff, der von Richard Bellman eingeführt wurde, um den rapiden Anstieg im Volumen beim Hinzufügen weiterer Dimensionen in einen mathematischen Raum zu beschreiben. Leo Breiman gibt als ein Beispiel den Fakt, dass 100 Beobachtungen den eindimensionalen Raum der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 ziemlich gut abdecken. Aus diesen Beobachtungen lässt sich zum Beispiel ein Histogramm berechnen und Schlussfolgerungen lassen sich ziehen. Wenn man jetzt in einem 10-dimensionalen Raum der gleichen Art (jede Dimension kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen) 100 Stichproben sammelt, sind dies isolierte Punkte, die den Raum bei weitem nicht abdecken. Um eine ähnliche Abdeckung wie im eindimensionalen Raum zu erreichen, müsste man 10 Stichproben ziehen - was zumindest ein sehr aufwändiges Unterfangen wäre.
  • Fléau de la dimension ou Malédiction de la dimension (Curse of dimensionality) est un terme inventé par Richard Bellman pour qualifier le problème de l'augmentation explosive du volume de données associée à l'ajout de dimensions supplémentaires dans un espace mathématique. Leo Breiman donne l'exemple de 100 observations couvrant l'intervalle unidimensionnel [0,1] dans les réels: il est possible de dresser un histogramme des résultats et d'en tirer des inférences. En revanche, dans l'espace correspondant à 10 dimensions [0,1], les 100 observations sont des points isolés dans un vaste espace vide, et ne permettent pas l'analyse statistique. Pour réaliser dans [0,1] une couverture équivalente à celle des 100 point dans [0,1], il ne faut pas moins de 10 observations – entreprise gigantesque et souvent impraticable. Le fléau de la dimension est un obstacle majeur dans l'apprentissage automatique, qui revient souvent à tirer des inférences d'un nombre réduit d'expériences dans un espace de possibilités de dimension élevée. Il devient alors souvent nécessaire d'injecter des informations a priori de manière à contraindre le système d'apprentissage pour obtenir des inférences. Il doit être préparé au type d'information à extraire. On parle alors d'inférence bayésienne.
  • 次元の呪い（英: Curse of dimensionality）という言葉はリチャード・ベルマンが使ったもので、（数学的）空間の次元が増えるのに対応して指数関数的に問題が大きくなることを表している。 例えば、単位区間をサンプリングするには100個の点を等間隔で、かつ点間の距離を 0.01 以上にならないように配置すれば十分である。同じようなサンプリングを10次元の単位超立方体について行おうとすると、必要な点の数は 10 にもなる。したがって、10次元の超立方体はある意味では単位区間の10倍の大きさとも言える。 高次元ユークリッド空間の広大さを示す別の例として、単位球と単位立方体の大きさを次元を上げながら比較してみればよい。次元が高くなると、単位球は単位立方体に比較して小さくなっていく。したがってある意味では、ほとんど全ての高次元空間は中心から遠く、言い換えれば、高次元単位空間はほとんど超立方体の角で構成されており、「中間」がない。このことは、カイ二乗分布を理解する上で重要である。
  • 维度之咒 是一个最早由Richard Bellman提出来的术语，用来描述当（数学）空间维度增加时，体积指数增加的难题。 举例来说，100个平均分布的点能把一个单位区间以每个点距离不超过0.01采样；而当维度增加到10后，如果以相邻点距离不超过0.01小方格采样一单位超正方体，则需要10 个采样点:所以，这个10维的超正方体也可以说是比单位区间大10倍。
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  • The curse of dimensionality is the problem caused by the exponential increase in volume associated with adding extra dimensions to a (mathematical) space. The term was coined by Richard Bellman.
  • Fluch der Dimensionalität ist ein Begriff, der von Richard Bellman eingeführt wurde, um den rapiden Anstieg im Volumen beim Hinzufügen weiterer Dimensionen in einen mathematischen Raum zu beschreiben. Leo Breiman gibt als ein Beispiel den Fakt, dass 100 Beobachtungen den eindimensionalen Raum der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 ziemlich gut abdecken. Aus diesen Beobachtungen lässt sich zum Beispiel ein Histogramm berechnen und Schlussfolgerungen lassen sich ziehen.
  • Fléau de la dimension ou Malédiction de la dimension (Curse of dimensionality) est un terme inventé par Richard Bellman pour qualifier le problème de l'augmentation explosive du volume de données associée à l'ajout de dimensions supplémentaires dans un espace mathématique. Leo Breiman donne l'exemple de 100 observations couvrant l'intervalle unidimensionnel [0,1] dans les réels: il est possible de dresser un histogramme des résultats et d'en tirer des inférences.
  • 维度之咒 是一个最早由Richard Bellman提出来的术语，用来描述当（数学）空间维度增加时，体积指数增加的难题。 举例来说，100个平均分布的点能把一个单位区间以每个点距离不超过0.01采样；而当维度增加到10后，如果以相邻点距离不超过0.01小方格采样一单位超正方体，则需要10 个采样点:所以，这个10维的超正方体也可以说是比单位区间大10倍。
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  • Curse of dimensionality
  • Fluch der Dimensionalität
  • Fléau de la dimension
  • 次元の呪い
  • 维数之咒
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