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- In mathematics, the cross product is a binary operation on two vectors in a three-dimensional Euclidean space that results in another vector which is perpendicular to the plane containing the two input vectors. The algebra defined by the cross product is neither commutative nor associative. It contrasts with the dot product which produces a scalar result. In many engineering and physics problems, it is handy to be able to construct a perpendicular vector from two existing vectors, and the cross product provides a means for doing so. The cross product is also useful as a measure of "perpendicularness"—the magnitude of the cross product of two vectors is equal to the product of their magnitudes if they are perpendicular and scales down to zero when they are parallel. The cross product is also known as the vector product, or Gibbs vector product. The cross product is only defined in three or seven dimensions. Like the dot product, it depends on the metric of Euclidean space. Unlike the dot product, it also depends on the choice of orientation or "handedness". Certain features of the cross product can be generalized to other situations. For arbitrary choices of orientation, the cross product must be regarded not as a vector, but as a pseudovector. For arbitrary choices of metric, and in arbitrary dimensions, the cross product can be generalized by the exterior product of vectors, defining a two-form instead of a vector.
- Das Kreuzprodukt <math>\vec a\times\vec b (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) zweier Vektoren <math>\vec a und <math>\vec b im dreidimensionalen reellen Vektorraum ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet. Die Länge dieses Vektors ist die Flächengröße des Parallelogramms mit den Seiten <math>\vec a und <math>\vec b. Das Kreuzprodukt tritt in der Physik beispielsweise bei der Lorentzkraft oder dem Drehmoment auf. Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben. Es gilt \vec{a}\times\vec{b} \left(\left|\vec{a}\right|\, \left|\vec{b}\right|\, \sin\theta\right) \, \vec{n}\,. Dabei sind <math>\vert\vec{a}\vert und <math>\vert\vec{b}\vert die Längen der Vektoren <math>\vec{a} und <math>\vec{b} und <math>\sin \theta \, ist der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels <math>\theta. Der Vektor <math>\vec{n} ist der zu <math>\vec{a} und <math>\vec{b} senkrechte Einheitsvektor, der sie zu einem Rechtssystem ergänzt. Das heißt, <math>\vec a\,, <math>\vec b und <math>\vec{a}\times\vec{b} verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand. Komponentenweise Berechnung Für den euklidischen Raum <math>\R^3 mit der Standardbasis gilt für das Kreuzprodukt: \vec{a}\times\vec{b} \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}\,. Ein Zahlenbeispiel: \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 \\ 3 \cdot (-7) - 1 \cdot 9 \\ 1 \cdot 8 - 2 \cdot (-7) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \end{pmatrix}\,. Das Kreuzprodukt ist symbolisch die Determinante der <math>(3 \times 3)-Matrix, in deren ersten Spalte die Symbole <math>\vec e_1, <math>\vec e_2 und <math>\vec e_3 für die kanonische Basis stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors <math>\vec a und die dritte von denen des Vektors <math>\vec b gebildet. Diese Determinante berechnet man nach der Regel von Sarrus: <math>\begin{align} \det \begin{pmatrix}\vec e_1 & a_1 & b_1 \\ \vec e_2 & a_2 & b_2 \\ \vec e_3 & a_3 & b_3\end{pmatrix} & \vec e_1 \cdot a_2 \cdot b_3 + a_1 \cdot b_2 \cdot \vec e_3 + b_1 \cdot \vec e_2 \cdot a_3 - \vec e_3 \cdot a_2 \cdot b_1 - a_3 \cdot b_2 \cdot \vec e_1 - b_3 \cdot \vec e_2 \cdot a_1 \\ & (a_2 \,b_3 - a_3 \, b_2) \, \vec e_1 + (b_1 \, a_3 - a_1 \, b_3) \, \vec e_2 + (a_1 \, b_2 - \, a_2 \, b_1) \, \vec e_3 \,. \end{align} Mit dem Levi-Civita-Symbol <math>\varepsilon_{ijk} schreiben sich Komponenten als (\vec{a}\times\vec{b})_i \sum_{j,k1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k\,. Bilinearität, Antisymmetrie Das Kreuzprodukt ist bilinear, für alle Zahlen <math>\alpha, <math>\beta und <math>\gamma und alle Vektoren <math>\vec a, <math>\vec b und <math>\vec c gilt \vec{a}\times(\beta \,\vec{b} + \gamma\, \vec{c}) \beta \,(\vec{a}\times\vec{b}) + \gamma \,(\vec{a}\times\vec{c})\,,\ (\alpha\,\vec{a} + \beta\,\vec{b})\times\vec{c} \alpha\,(\vec{a}\times\vec{c}) + \beta \,(\vec{b}\times\vec{c})\,. Da die Fläche jedes Parallelogramms verschwindet, das ein Vektor mit sich aufspannt, \vec{a}\times\vec{a} 0\,, ist das Kreuzprodukt antisymmetrisch, 0 (\vec{a} + \vec{b})\times (\vec{a} + \vec{b}) \vec{a}\times\vec{a} + \vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{a} + \vec{b}\times\vec{b} 0 + \vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{a} + 0 \,, \vec{a}\times\vec{b} -\, \vec{b}\times\vec{a}\,. Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Das Kreuzprodukt ist antikommutativ oder schiefsymmetrisch. Doppeltes Kreuzprodukt: Graßmann-Identität Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ. Die Graßmann-Identität, auch Graßmannscher Entwicklungssatz genannt, für das wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren, deren Komponenten kommutieren, lautet \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) \vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}\,(\vec{a}\cdot\vec{b})\,. Sie heißt auch BAC-CAB-Formel, wobei der Name das Ergebnis ausspricht. Handelt es sich bei den Komponenten der Vektoren um Operatoren oder Matrizen, dann gilt die Formel, falls die Reihenfolge der Operatoren unerheblich ist oder mit der Reihenfolge auf der linken Seite übereinstimmt. Doppeltes Kreuzprodukt mit Nabla-Operatoren Ist <math>\mathbf{B} der Nabla-Operator, so lässt sich der Graßmann'sche Entwicklungssatz nicht einfach übertragen, da Nabla stets nach rechts auf <math>\mathbf{C} wirkt (Notation im Folgenden\nabla_{\mathbf{C}} differenziert nur die Komponenten des Vektors <math>\mathbf{C} und <math>\nabla\mathbf{C} ist der Vektorgradient, also die Jacobi-Matrix von <math>\mathbf{C}): <math>\begin{array}{rcl} \mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{C}) & & \nabla_{\mathbf{C}}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{C}(\nabla\mathbf{C})\cdot\mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot(\nabla\mathbf{C})\\ & & (\mbox{grad}\,\mathbf{C})\cdot\mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot\mbox{grad}\,\mathbf{C}\end{array} Daher gilt, falls <math>\mathbf{a} und <math>\mathbf{b} der Nabla-Operator und <math>\mathbf{c} ein Vektorfeld ist, in der Form: <math>\begin{array}{rcl} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{C}) & & \nabla(\nabla\cdot\mathbf{C})-(\nabla\cdot\nabla)\mathbf{C}\\ & & \mbox{grad}\,(\mbox{div}\,\mathbf{C})-(\mbox{div}\cdot\mbox{grad})\mathbf{C}\\ & & \mbox{grad}\,(\mbox{div}\,\mathbf{C})-\Delta\,\mathbf{C}\end{array} Für die Rotation des Kreuzprodukts zweier Vektorfelder <math> \mathbf B und <math> \mathbf C gilt hingegen: <math>\begin{array}{rcl} \nabla\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) & & \mathbf{B}\,(\nabla\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}\,(\nabla\cdot\mathbf{B})+(\mathbf{C}\cdot\nabla)\mathbf{B}-(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{C}\\ & & \mathbf{B}\,(\mbox{div}\,\mathbf{C})-\mathbf{C}\,(\mbox{div}\,\mathbf{B})+(\mathbf{C}\cdot\mbox{grad})\mathbf{B}-(\mathbf{B}\cdot\mbox{grad})\mathbf{C}\end{array} Die zusätzlichen Terme entstehen, weil die Ableitung eines Produktes nach der Produktregel zwei Terme ergibt. Jacobi-Identität Wenn die Komponenten der Vektoren kommutieren, gilt die Jacobi-Identität, dass die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte verschwindet, <math>\vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c}) +\vec{b}\times (\vec{c}\times\vec{a}) +\vec{c}\times (\vec{a}\times\vec{b}) 0\,. Lagrange-Identität <math>(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d}) (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d}) - (\vec{b}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{d}). Für das Quadrat der Norm erhält man hieraus |\vec{a}\times\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2 \, |\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2 |\vec{a}|^ 2|\vec{b}|^ 2(1-\cos^ 2 \theta)\,, also ist der Betrag des Kreuzproduktes |\vec{a}\times\vec{b}| |\vec{a}| \, |\vec{b}|\, \sin \theta\,. Zusammenhang mit Lie-Algebra Für einen Körper <math>\mathbb K bildet der <math>\mathbb K-Vektorraum <math>\mathbb R^3 zusammen mit dem Kreuzprodukt eine Lie-Algebra. Kreuzprodukt im <math>\mathbb{R}^n Das Kreuzprodukt lässt sich auf den <math>\mathbb{R}^n verallgemeinern. Es sei <math>\vec e_i der zugehörige i-te Einheitsvektor. Für n-1 Vektoren <math>\vec a_1,\vec a_2, ... , \vec a_{n-1} \in \mathbb{R}^n, wobei \vec a_k \begin{pmatrix}a_{1k} \\ a_{2k} \\ \vdots \\ a_{nk}\end{pmatrix} sei, ist das Kreuzprodukt definiert durch <math> \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1} det \begin{pmatrix} \vec e_1 & a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} \\ \vec e_2 & a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \vec e_n & a_{n1} & \dots & a_{n(n-1)} \end{pmatrix} \begin{vmatrix} \vec e_1 & a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} \\ \vec e_2 & a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \vec e_n & a_{n1} & \dots & a_{n(n-1)} \end{vmatrix} analog zu der oben erwähnten symbolischen Berechnung mit Hilfe einer Determinante. Siehe auch Quaternion Rotation-Rechenregeln Skalarprodukt Spatprodukt Einzelnachweise Weblinks Java-Applet der Universität von Syracuse zum Vektor- oder Kreuzprodukt
- En matemàtiques, el producte vectorial o producte extern és una operació entre dos vectors d'un espai euclidià tridimensional orientat que retorna un altre vector ortogonal als dos vectors originals. És diferent doncs, del producte escalar o producte intern que retorna un escalar.
- Vektorový součin je v matematice označení binární operace mezi dvěma vektory v trojrozměrném vektorovém prostoru. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár). Výsledný vektor je kolmý k oběma původním vektorům.
- En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).
- Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique. Les travaux de Hermann Günther Grassmann et William Rowan Hamilton sont à l'origine du produit vectoriel défini par Gibbs{{,.
- A vektoriális szorzat, más néven külső vagy keresztszorzat egy vektorokkal végzett művelet. A skaláris szorzattal ellentétben e művelet eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük. Jelölése: a×b vagy [ab] Értelmezése: Az eredményvektor nagyságát megkapjuk, ha a a két vektor hosszának (abszolútértékének) szorzatát megszorozzuk a közbezárt szögük szinuszával (0° ≤ θ ≤ 180°): <math>|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin(\theta)</math> A művelet eredményeként kapott vektor merőleges mind a-ra, mind b-re. Mivel két (ellentétes irányú) vektor is teljesíti a térben ezt a merőlegességi feltételt, egyértelművé kell tenni, hogy melyikre gondolunk. a-nak, b-nek és az eredményvektornak jobbkezes koordinátarendszert kell alkotnia. Egy i, j, k kordináta-rendszert akkor hívunk jobbkezesnek, ha a jobb kezünk hüvelyk ujja i-vel, mutató ujja j-vel, középső ujja pedig (tenyerünkre merőlegesen) k-val párhuzamosan áll. Másképpen így is megfogalmazhatjuk: ha szembenézünk az a×b vektorral, akkor az a vektor pozitív (legfeljebb 180°-os) elforgatással vihető át egy b-vel egyező állású és irányú vektorba. Ez egy önkényes megállapodás (lehetne fordítva is definiálni), ezért az eredményét pszeudovektornak is nevezik. Fájl:Crossproduct. png Derékszögű koordinátarendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból: <math>c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2</math> <math>c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3</math> <math>c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1</math> Vagy rövidebben: <math>c_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k</math>, ahol <math>\varepsilon_{ijk}</math> a Levi-Civita-szimbólumot jelenti. Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével. Két párhuzamos vektor vektoriális szorzata a nullvektort adja eredményül (mert a bezárt 0 fokos szög szinusza 0). Például a×b = 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90 fok szinusza 1).
- In matematica il prodotto vettoriale è un'operazione binaria sui vettori in un spazio euclideo tridimensionale. È anche conosciuto come prodotto vettore o prodotto esterno. A differenza del prodotto scalare esso genera un vettore e non uno scalare.
- ベクトル解析において、クロス積（クロスせき、cross product）、ベクトル積（ベクトルせき、vector product）とは、2 つの3次元ベクトル a と b に対して定義される演算 a × b である。 これは、外積の3次元での特殊ケースである。
- Het kruisproduct, vectorproduct, vectorieel product, uitwendig product of uitproduct is een wiskundige, binaire operatie op twee driedimensionale vectoren a en b die een vector, genoteerd als a×b, als resultaat geeft die loodrecht staat op de twee oorspronkelijke vectoren a en b. In tegenstelling tot het kruisproduct, is het inwendig product geen vector maar een scalair.
- Iloczyn wektorowy to działanie <math>(n-1)</math>-argumentowe na elementach <math>n\,</math>-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
- Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Pode ser denominado também como produto externo. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no facto que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais.
- Produsul vectorial a doi vectori este o operaţie binară a doi vectori într-un spaţiu euclidian tridimensional în urma căreia rezultă un alt vector care este perpendicular pe cei doi vectori iniţiali. Prin comparaţie, produsul scalar a doi vectori produce un rezultat care este un scalar. În cazul multor concepte şi modelări din fizică şi inginerie este foarte practic să se exprime un fenomen sau o măsurabilă prin definirea sa ca un produs vectorial a doi vectori. Această operaţie este cunoscută şi ca produsul vectorial Gibbs, după numele lui fizicianului şi matematicianului american Josiah Willard Gibbs, cel care a inventat analiza vectorială.
- В математике векторное произведение — это бинарная операция двух векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве, результатом которой является третий вектор, перпендикулярный плоскости, состоящей из двух первоначальных векторов. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для измерения «перпендикулярности» векторов — величина векторного произведения двух векторов равна произведению их величин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны. Векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространстве. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства. В отличие от скалярного произведения, векторное зависит от ориентации системы координат или, иначе, «хиральности». Для произвольного выбора ориентации системы координат, векторное произведение должно рассматриваться как псевдовектор. Файл:Cross product vector. svg Векторное произведение в правосторонней системе координат.
- En kryssprodukt är en form av vektorprodukt som är definierad för vissa vektorrum. Kryssprodukten är en pseudovektor.
- Векторний добуток — білінійна, антисиметрична операція на векторах у тривимірному просторі. На відміну від скалярного добутку векторів евклідового простора, результатом векторного добутку є вектор, а не скаляр.
- 向量积，也被称为矢量积、叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。
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