In mathematics, the Cramér-Wold theorem in measure theory states that a Borel probability measure on <math>R^k</math> is uniquely determined by the totality of its one-dimensional projections. The theorem is named after Harald Cramér and Herman Ole Andreas Wold. Let <math> \overline{X}_n = (X_{n1},\dots,X_{nk}) \; </math> and <math> \; \overline{X} = (X_1,\dots,X_k) </math> be random vectors of dimension k.

PropertyValue
dbpprop:abstract
  • In mathematics, the Cramér-Wold theorem in measure theory states that a Borel probability measure on <math>R^k</math> is uniquely determined by the totality of its one-dimensional projections. The theorem is named after Harald Cramér and Herman Ole Andreas Wold. Let <math> \overline{X}_n = (X_{n1},\dots,X_{nk}) \; </math> and <math> \; \overline{X} = (X_1,\dots,X_k) </math> be random vectors of dimension k. Then <math> \overline{X}_n </math> converges to <math> \overline{X} </math> if and only if: <math> \sum_{i=1}^k t_iX_{ni} \frac{D}{\overrightarrow{\infty}} \sum_{i=1}^k t_iX_i. </math> for each <math> (t_1,\dots,t_k)\in \mathbb{R}^k </math> That is if every fixed linear combination of the coordinates of <math> \overline{X}_n</math> converges in distribution to the correspondent linear combination of coordinates of <math> \overline{X} </math>.
  • Der Satz von Cramér-Wold aus der Maßtheorie besagt, dass ein Borelmaß auf <math>\mathbb{R}^k</math> durch alle seine eindimensionalen Projektionen eindeutig bestimmt ist. Dies begründet, warum es in statischen Verfahren wie der Grand Tour oder Projection Pursuit ausreicht, sich Projektionen der Daten anzuschauen. Er wurde 1936 veröffentlicht. Es sei <math> \overline{X}_n = (X_{n1},\dots,X_{nk}) \; </math> eine Folge von <math>k</math>-dimensionalen Zufallsvariablen und <math> \; \overline{X} = (X_1,\dots,X_k) </math> ebenfalls eine Zufallsvariable der Dimension <math>k</math>. Dann gilt <math>\overline{X}_n {\rightarrow} \overline{X} \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^k t_iX_{ni} {\rightarrow} \sum_{i=1}^k t_iX_i </math> für alle <math> (t_1,\dots,t_k)\in \mathbb{R}^k </math>. Jede Folge von (festen) Linearkombination von <math>\overline{X}_n</math>konvergiert in Verteilung gegen die korrespondierende Linearkombination von <math>\overline{X}</math> genau dann, wenn die Folge <math>\overline{X}_n</math> gegen <math>\overline{X}</math> konvergiert in Verteilung. Dies bedeutet, die Konvergenz in Verteilung einer Sequenz von multivariaten Zufallsvariablen kann auf die Konvergenz in Verteilung einer univariaten Sequenz (eben der Linearkombinationen) von Zufallsvariablen zurückgeführt werden.
  • Il teorema di Cramér-Wold, utilizzato nella teoria della misura afferma che una misura di probabilità di Borel in <math>R^k</math> è unicamente determinata dalla totalità delle sue proiezioni unidimensionali. Siano <math> \overline{X}_n = (X_{n1},\dots,X_{nk}) \; </math> e <math> \; \overline{X} = (X_1,\dots,X_k) </math> vettori casuali di dimensione k. Allora <math> \overline{X}_n </math> converge a <math> \overline{X} </math> se e solo se: <math> \sum_{i=1}^k t_iX_{ni} \frac{D}{\overrightarrow{\infty}} \sum_{i=1}^k t_iX_i. </math> per ogni <math> (t_1,\dots,t_k)\in \mathbb{R}^k </math> Vale a dire se per ogni prefissata combinazione lineare delle coordinate di <math> \overline{X}_n</math> converge in distribuzione alla corrispondente combinazione lineare di <math> \overline{X} </math>.
  • Twierdzenie Craméra-Wolda – twierdzenie opublikowane w 1936 roku przez szwedzkich matematyków H. Wolda i H. Craméra.
dbpprop:hasPhotoCollection
dbpprop:id
  • 3711 (xsd:integer)
dbpprop:reference
dbpprop:title
  • Cramér-Wold theorem
dbpprop:wikiPageUsesTemplate
rdf:type
rdfs:comment
  • In mathematics, the Cramér-Wold theorem in measure theory states that a Borel probability measure on <math>R^k</math> is uniquely determined by the totality of its one-dimensional projections. The theorem is named after Harald Cramér and Herman Ole Andreas Wold. Let <math> \overline{X}_n = (X_{n1},\dots,X_{nk}) \; </math> and <math> \; \overline{X} = (X_1,\dots,X_k) </math> be random vectors of dimension k.
  • Der Satz von Cramér-Wold aus der Maßtheorie besagt, dass ein Borelmaß auf <math>\mathbb{R}^k</math> durch alle seine eindimensionalen Projektionen eindeutig bestimmt ist. Dies begründet, warum es in statischen Verfahren wie der Grand Tour oder Projection Pursuit ausreicht, sich Projektionen der Daten anzuschauen. Er wurde 1936 veröffentlicht.
  • Il teorema di Cramér-Wold, utilizzato nella teoria della misura afferma che una misura di probabilità di Borel in <math>R^k</math> è unicamente determinata dalla totalità delle sue proiezioni unidimensionali. Siano <math> \overline{X}_n = (X_{n1},\dots,X_{nk}) \; </math> e <math> \; \overline{X} = (X_1,\dots,X_k) </math> vettori casuali di dimensione k.
  • Twierdzenie Craméra-Wolda – twierdzenie opublikowane w 1936 roku przez szwedzkich matematyków H. Wolda i H. Craméra.
rdfs:label
  • Cramér-Wold theorem
  • Satz von Cramér-Wold
  • Teorema di Cramér-Wold
  • Twierdzenie Craméra-Wolda
owl:sameAs
skos:subject
foaf:page
is dbpedia-owl:Person/knownFor of
is dbpedia-owl:knownFor of
is dbpprop:knownFor of
is dbpprop:redirect of
is owl:sameAs of