| dbpprop:abstract
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- In logic, and especially in its applications to mathematics and philosophy, a counterexample is an exception to a proposed general rule. For example, consider the proposition "all students are lazy". Because this statement makes the claim that a certain property (laziness) holds for all students, even a single example of a diligent student will prove it false. Thus, any hard-working student is a counterexample to "all students are lazy". More precisely, a counterexample is a specific instance of the falsity of a universal quantification (a "for all" statement). In mathematics, this term is (by a slight abuse) also sometimes used for examples illustrating the necessity of the full hypothesis of a theorem, by considering a case where a part of the hypothesis is not verified, and where one can show that the conclusion does not hold.
- Ein Gegenbeispiel ist in der Mathematik oder in der Philosophie, insbesondere in der Logik ein empirischer oder konstruierter Sachverhalt, der eine bestimmte Hypothese widerlegt. Seit Karl Poppers Forderung nach Falsifizierbarkeit gelten heute nur solche Aussagen als wissenschaftlich, zu denen Gegenbeispiele möglich sind. In der Mathematik gibt es ein großes Feld, welches auf der Aussagenlogik basiert. In dieser Logik ist eine Aussage falsch oder richtig. Eine Aussage über eine Menge von Objekten ist falsch, wenn sie für ein Objekt falsch ist. Dieses Objekt wird dann Gegenbeispiel genannt.
- En lògica, especialment en les seves aplicacions a matemàtiques i filosofia, un contraexemple és una excepció a una regla general proposada, és a dir, un cas específic de la falsedat d'una quantificació universal (un "per a tot"). Per exemple, considerem la proposició "tots els escriptors són intel·ligents". Com aquesta proposició diu que una certa propietat (intel·ligència) és vàlida per a tots els escriptors, inclús un sol escriptor ximple provarà la seva falsedat. En aquest cas, un escriptor ximple és un contraexemple a "tots els escriptor són intel·ligents". El nombre 2 és l'únic contraexemple de la proposició "tots els nombres primers són nombres senars". Algunes proposicions poden ser negades amb un nombre major, inclús infinit de contraexemples. Per exemple: "Tots els nombres senars són primers" té infinits contraexemples: tots els múltiples senars de 3, 5, 7, etc.
- V oblasti logiky a zejména v matematice nebo filosofii je protipříklad výjimka z uvažovaného obecného pravidla, tedy speciální případ nepravdivosti formule s univerzálním kvantifikátorem . Například věta: „všichni studenti jsou líní“. Protože tento výrok přikládá jistou vlastnost (lenost) „všem“ studentům, pak byť i „jediný“ student porušující tuto vlastnost dokáže neplatnost tohoto tvrzení. Proto je jakýkoli pilný student protipříkladem vyvracujícím větu: „všichni studenti jsou líní“.
- En lógica, especialmente en sus aplicaciones a matemáticas y filosofía, un contraejemplo es una excepción a una regla general propuesta, es decir, un caso específico de la falsedad de una cuantificación universal (un "para todo"). Por ejemplo, consideremos la proposición "todos los escritores son inteligentes". Como esta proposición dice que una cierta propiedad (inteligencia) es válida para todos los escritores, incluso un solo escritor tonto probará su falsedad. En este caso, un escritor tonto es un contraejemplo a "todos los escritores son inteligentes". El número 2 es el único contraejemplo de la proposición "todos los números primos son impares". Algunas proposiciones pueden ser negadas con un número mayor, incluso infinito de contraejemplos .
- En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter une conjecture, c'est-à-dire un énoncé que les gens (et en particulier les mathématiciens) pensaient vrai.
- In logica, e più in generale in matematica ed in filosofia, un controesempio è un fatto particolare che dimostra che una certa congettura generale è falsa. Costruire esplicitamente un controesempio è il metodo più naturale ed efficace per confutare dei teoremi. Ad esempio, consideriamo l'affermazione seguente: "tutti i gatti sono neri". Questa affermazione è indubbiamente falsa, ma come facciamo a dimostrarlo? Semplicemente, mostrando al mondo l'esistenza di un gatto di un altro colore! Questo esempio, a prima vista banale, si estende in tutti gli ambiti della matematica, a vari livelli. Per esempio, molte congetture famose sono asserzioni che valgono in una certa generalità: ad esempio la congettura di Fermat sostiene che: non esistono soluzioni intere positive all'equazione: a + b = c per n > 2. Ebbene un controesempio per questa congettura sarebbe una terna di numeri a, b e c, ed un altro intero n>2 che soddisfano questa relazione. I matematici che si trovano di fronte una congettura, o più generalmente un problema di cui non sanno la soluzione, hanno generalmente davanti a sé due strade percorribili: tentare di dimostrarla, o cercare un controesempio (e in questo caso l'utilizzo intensivo di computer può essere di grande aiuto). Addirittura per alcuni matematici, un controesempio è l'unico modo per poter dimostrare la falsità di un teorema dove le configurazioni possibili da verificare sono infinite.
- 論理式 ∀x P(x) が成り立たないことを証明するために導入される、¬P(a) を満たすような a を反例という。 反例が存在する場合、∃x ¬P(x) が成立し、これが元の論理式の否定になるため、∀x P(x) は成り立たない。
- Kontrprzykład to zdanie falsyfikujące, z którego wynika negacja pewnego zdania ogólnego. Kontrprzykład jest koniunkcją dwóch zdań elementarnych (tzn. takich, że jest to zdanie atomowe lub negacja zdania atomowego). Jeżeli uda nam się znaleźć kontrprzykład to wyrażenie nie jest tautologią, ponieważ istnieje takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat jest fałszywy.
- Na Lógica, e em suas aplicações à Matemática e à Filosofia, um contra-exemplo é uma exceção a uma hipótese geral, ou seja, é um caso particular que falsifica uma quantificação universal do tipo todo X é um Y. Muitos contra-exemplos são considerados casos patológicos dos objetos estudados.
- În logică, şi în special în aplicaţiile sale de care se leagă însaşi existenţa sa, matematica şi filozofia, un contraexemplu este o excepţie a unei legi generale propuse. Logica formală, aplicată unei propoziţii afirmative, poate avea următoarea traiectorie. De exemplu, se consideră afirmaţia "toţi elevii sunt leneşi". Pentru că această propoziţie spune că o proprietate (aceea de a fi leneş) este aplicabilă pentru toţi elevii, trebuie doar un exemplu, şi numai unul, care să o declare falsă. Deci, fiecare exemplu concret de elev care nu este leneş este un contraexemplu, şi în acelaşi timp, un element esenţial al demostrării falsitaţii afirmaţiei iniţiale. Dacă, în schimb se consideră afirmaţia "unii elevi sunt leneşi" atunci existenţa oricărui exemplu concret al unui elev anume, care este harnic, deşi ramâne în categoria contraexemplului, nu este suficient, în sine, pentru a demostra falsitatea afirmaţiei iniţiale. În gramatica limbii române se poate găsi un alt tip de contraexemplu. Dacă se studiază, de pildă, adjectivele şi adverbele în limba română se constată că, în imensa majoritate a exemplelor concrete a adjectivelor şi adverbelor, ele sunt identice ca formă. Mai exact, adverbul corespunzător unui adjectiv este identic cu forma masculină a adjectivului, la singular. "Cântecul este frumos, dar şi cântăreaţa îl cântă frumos. " Primul cuvânt frumos, determinând un substantiv, cântec, este un adjectiv, al doilea cuvânt frumos, caracterizând un verb, cântă, este un adverb. Totuşi adjectivului bun (bun, bună, buni, bune) îi corespunde adverbul bine. Astfel propoziţia anterioară devine "Cântecul este bun, dar şi cântăreaţa îl cântă bine. " Perechea adjectiv/adverb bun/bine este un contraexemplu al regulii generale că în limba română adjectivele şi adverbele au aceeaşi formă, respectiv adverbul are forma adjectivului corespunzător, masculin singular.
- Контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения. Построение контрпримера — обычный способ опровержения гипотез. Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет любой объект X0 из множества M, для которого свойство A не выполняется. Классический контрпример в истории математического анализа представляет собой построенная Бернардом Больцано функция, непрерывная на всей вещественной оси и не дифференцируемая ни в одной точке. Эта функция послужила контрпримером к гипотезе о том, что дифференцируемость функции является естественным следствием её непрерывности.
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- In logic, and especially in its applications to mathematics and philosophy, a counterexample is an exception to a proposed general rule. For example, consider the proposition "all students are lazy". Because this statement makes the claim that a certain property (laziness) holds for all students, even a single example of a diligent student will prove it false. Thus, any hard-working student is a counterexample to "all students are lazy".
- Ein Gegenbeispiel ist in der Mathematik oder in der Philosophie, insbesondere in der Logik ein empirischer oder konstruierter Sachverhalt, der eine bestimmte Hypothese widerlegt. Seit Karl Poppers Forderung nach Falsifizierbarkeit gelten heute nur solche Aussagen als wissenschaftlich, zu denen Gegenbeispiele möglich sind. In der Mathematik gibt es ein großes Feld, welches auf der Aussagenlogik basiert. In dieser Logik ist eine Aussage falsch oder richtig.
- En lògica, especialment en les seves aplicacions a matemàtiques i filosofia, un contraexemple és una excepció a una regla general proposada, és a dir, un cas específic de la falsedat d'una quantificació universal (un "per a tot"). Per exemple, considerem la proposició "tots els escriptors són intel·ligents". Com aquesta proposició diu que una certa propietat (intel·ligència) és vàlida per a tots els escriptors, inclús un sol escriptor ximple provarà la seva falsedat.
- V oblasti logiky a zejména v matematice nebo filosofii je protipříklad výjimka z uvažovaného obecného pravidla, tedy speciální případ nepravdivosti formule s univerzálním kvantifikátorem . Například věta: „všichni studenti jsou líní“. Protože tento výrok přikládá jistou vlastnost (lenost) „všem“ studentům, pak byť i „jediný“ student porušující tuto vlastnost dokáže neplatnost tohoto tvrzení.
- En lógica, especialmente en sus aplicaciones a matemáticas y filosofía, un contraejemplo es una excepción a una regla general propuesta, es decir, un caso específico de la falsedad de una cuantificación universal (un "para todo"). Por ejemplo, consideremos la proposición "todos los escritores son inteligentes". Como esta proposición dice que una cierta propiedad (inteligencia) es válida para todos los escritores, incluso un solo escritor tonto probará su falsedad.
- En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter une conjecture, c'est-à-dire un énoncé que les gens (et en particulier les mathématiciens) pensaient vrai.
- In logica, e più in generale in matematica ed in filosofia, un controesempio è un fatto particolare che dimostra che una certa congettura generale è falsa. Costruire esplicitamente un controesempio è il metodo più naturale ed efficace per confutare dei teoremi. Ad esempio, consideriamo l'affermazione seguente: "tutti i gatti sono neri".
- 論理式 ∀x P(x) が成り立たないことを証明するために導入される、¬P(a) を満たすような a を反例という。 反例が存在する場合、∃x ¬P(x) が成立し、これが元の論理式の否定になるため、∀x P(x) は成り立たない。
- Kontrprzykład to zdanie falsyfikujące, z którego wynika negacja pewnego zdania ogólnego. Kontrprzykład jest koniunkcją dwóch zdań elementarnych (tzn. takich, że jest to zdanie atomowe lub negacja zdania atomowego). Jeżeli uda nam się znaleźć kontrprzykład to wyrażenie nie jest tautologią, ponieważ istnieje takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat jest fałszywy.
- Na Lógica, e em suas aplicações à Matemática e à Filosofia, um contra-exemplo é uma exceção a uma hipótese geral, ou seja, é um caso particular que falsifica uma quantificação universal do tipo todo X é um Y. Muitos contra-exemplos são considerados casos patológicos dos objetos estudados.
- În logică, şi în special în aplicaţiile sale de care se leagă însaşi existenţa sa, matematica şi filozofia, un contraexemplu este o excepţie a unei legi generale propuse. Logica formală, aplicată unei propoziţii afirmative, poate avea următoarea traiectorie. De exemplu, se consideră afirmaţia "toţi elevii sunt leneşi".
- Контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения. Построение контрпримера — обычный способ опровержения гипотез.
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