In mathematics, stochastic convergence formalizes the idea that a sequence of essentially random or unpredictable events sometimes is expected to settle into a pattern.

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  • In mathematics, stochastic convergence formalizes the idea that a sequence of essentially random or unpredictable events sometimes is expected to settle into a pattern. The pattern may for instance be Convergence in the classical sense to a fixed value, perhaps itself coming from a random event An increasing similarity of outcomes to what a purely deterministic function would produce An increasing preference towards a certain outcome An increasing "aversion" against straying far away from a certain outcome Some less obvious, more theoretical patterns could be That the probability distribution describing the next outcome may grow increasingly similar to a certain distribution That the series formed by calculating the expected value of the outcome's distance from a particular value may converge to 0 That the variance of the random variable describing the next event grows smaller and smaller.
  • In der Stochastik existieren verschiedene Konzepte eines Grenzwertbegriffs für Zufallsvariablen. Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem Stichprobenumfang, weil das asymptotische Verhalten der Experimente immer von den einzelnen Realisationen abhängt und wir es also formal mit der Konvergenz von Funktionen zu tun haben. Daher haben sich im Laufe der Zeit unterschiedlich starke Konzepte herausgebildet, die wichtigsten dieser Konvergenzarten werden im folgenden kurz vorgestellt.
  • Pravděpodobnostní konvergenci (též konvergence v pravděpodobnosti) popisuje chování posloupnosti náhodných veličin a pomocí pravděpodobnosti definuje pojem konvergence takovým způsobem, který je použitelný v teorii pravděpodobnosti.
  • La suite Xn converge vers X en loi, ou en distribution, si ::\lim_{n\rightarrow\infty} F_n(a) = F(a), pour tout réel a où F est continue. Puisque F(a) = P(X ≤ a), cela signifie que la probabilité que X appartienne à un certain intervalle est très similaire à la probabilité que Xn soit dans cet intervalle pour n suffisamment grand. La convergence en loi est souvent notée en ajoutant la lettre \mathcal L (ou \mathcal D pour distribution) au-dessus de la flèche de convergence: X_n \xrightarrow{\mathcal{L X. La convergence en loi est la forme la plus faible au sens où, en général, elle n'implique pas les autres formes de convergence définies ci-dessous, alors que ces autres formes de convergence impliquent la convergence en loi. C'est ce type de convergence qui est utilisé dans le théorème de la limite centrale. Définition équivalente: (Xn) converge en loi vers X ssi pour toute fonction continue bornée \lim_{n\rightarrow\infty} E[f(X_n)]=E [f(X)]. {{Théorème|Théorème de continuité de Paul Lévy|Soit \scriptstyle\ \varphi_n(t) la fonction caractéristique de \scriptstyle\ X_n et \scriptstyle\ \varphi(t) celle de \scriptstyle\ X. Alors \left\{\forall t\in\mathbb{R} : \varphi_n(t)\to\varphi(t)\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{ X_n \xrightarrow{\mathcal D} X\right\} Autrement dit, (Xn) converge en loi vers X ssi la fonction caractéristique de la variable aléatoire réelle Xn converge simplement vers la fonction caractéristique de la variable aléatoire réelle X. {{exemple|nom=exemple: Théorème de la limite centrale|La moyenne d'une suite de variables aléatoires centrées, indépendantes et de même loi, une fois renormalisée par \scriptstyle\ \sqrt{n}, converge en loi vers la loi normale \sqrt{n}\bar X_n\xrightarrow{\mathcal{L\mathcal{N}(0, \sigma^2). {{exemple|nom=exemple: convergence de la loi de Student|La loi de Student de paramètre \scriptstyle\ k\ converge, lorsque \scriptstyle\ k\ tend vers \scriptstyle\ +\infty, vers la loi de Gauss: \mathrm{t}(k)\xrightarrow{\mathcal{L\mathcal{N}(0,1). Dans ce cas, on peut aussi utiliser le lemme de Scheffé, qui est un critère de convergence d'une suite de variables aléatoires à densité vers une variable aléatoire à densité. {{exemple|exemple: loi dégénérée|La suite \mathcal{N}\left(0, \frac{1}{n}\right) converge en loi vers une variable aléatoire X0 dite dégénérée, qui prend une seule valeur (0) avec probabilité 1 (on parle parfois de masse de Dirac en 0, notée \scriptstyle\ \delta_0\) : \mathbb{P}(X_0\le x)=\delta_0\left(]-\infty,x]\right)=\begin{cases}0 & \text{ si } x< 0,\\1 &\text{ si } x \geq 0. \end{cases}
  • In teoria della probabilità e statistica è molto vivo il problema di studiare fenomeni con comportamento incognito ma, nei grandi numeri, riconducibili a fenomeni noti e ben studiati. A ciò vengono in soccorso i vari teoremi di convergenza di variabili casuali, che appunto studiano le condizioni sotto cui certe successioni di variabili casuali di una certa distribuzione tendono ad altre distribuzioni. I più importanti risultati raggiungibili sotto forma di convergenza di variabili casuali sono il teorema del limite centrale, che afferma che, col crescere della numerosità di un campione, la sua distribuzione di probabilità è più o meno come quella di una gaussiana e la legge dei grandi numeri, che giustifica al posto di un valore di probabilità incognito l'uso di una sua stima fatta su di un campione finito. Si distinguono più tipi di convergenza. Ognuna di queste condizioni si esporrà qua per variabili casuali reali univariate, ma si generalizza senza troppe difficoltà per variabili casuali multivariate.
  • Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem „słabą” zbieżnością.
  • Seja F1, F2, … uma sequência de funções distribuição acumulada correspondentes a variáveis aleatórias X1, X2, …, e seja F a função distribuição acumulada correspondente à variável aleatória X. Então define-se que a sequência Xn converge para X em distribuição quando: <math>\lim_{n\rightarrow\infty} F_n(a) = F(a),\, para cada ponto a em que F seja contínua. A convergência em distribuição costuma ser representada por uma letra <math>\mathcal D colocada sobre a seta que indica convergência: <math>X_n \, \xrightarrow{\mathcal D} \, X Outra forma de representar é através da letra d minúscula. A convergência em distribuição é a forma mais fraca de convergência, e é chamada algumas vezes de convergência fraca. No caso geral, a convergência em distribuição não implica nenhuma outra das convergências descritas neste artigo. Ela é, porém, a definição mais comum e útil de convergência de variáveis aleatórias. Esta noção de convergência é usada no teorema do limite central. Um importante resultado, que pode ser empregado junto com a lei dos grandes números, é que se a função g: R → R é contínua, e se Xn converge em distribuição para X, então g(Xn) também converge em distribuição para g(X). (A prova disto pode ser feita pelo teorema da representação de Skorokhod. ) Este fato pode ser usado como a definição da convergência em distribuição. A convergência em distribuição também é chamada de convergência na lei, porque a palavra lei é algumas vezes usada como sinônimo da distribuição de probabilidades.
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  • A business owner has two sources of income: his business, and interest from a large bank deposit with fixed interest and no withdrawal or deposits. The business income varies unpredictably from month to month, while income from interest is predictable and given by a simple function f. The income for month i can thus be modeled by a random variable Ui = Xi + f(i), where Xi is the income from the business. Now assume Xi converges almost surely to 0 (history bears out that all businesses sooner or later fold up). Then the total monthly income Ui has almost sure convergence to the function f(i).
  • Consider a man who starts tomorrow to toss seven coins once every morning. Each afternoon, he donates a random amount of money to a certain charity. The first time the result is all tails, however, he will stop permanently. Let X1, X2, … be the day by day amounts the charity receives from him. We may be almost sure that one day this amount will be zero, and stay zero forever after that. However, when we consider any finite number of days, there is a nonzero probability the terminating condition will not occur.
  • Consider an animal of some short-lived species. We note the exact amount of food that this animal consumes day by day. This sequence of numbers will be unpredictable in advance, but we may be quite certain that one day the number will become zero, and will stay zero forever after.
  • Inspecting this graph, you’ll notice the behavior typical of convergence in probability.
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  • Example 1
  • Example 2
  • Example 3
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  • Examples of almost sure convergence
  • Examples of convergence in probability
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  • In mathematics, stochastic convergence formalizes the idea that a sequence of essentially random or unpredictable events sometimes is expected to settle into a pattern.
  • In der Stochastik existieren verschiedene Konzepte eines Grenzwertbegriffs für Zufallsvariablen. Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem Stichprobenumfang, weil das asymptotische Verhalten der Experimente immer von den einzelnen Realisationen abhängt und wir es also formal mit der Konvergenz von Funktionen zu tun haben.
  • Pravděpodobnostní konvergenci (též konvergence v pravděpodobnosti) popisuje chování posloupnosti náhodných veličin a pomocí pravděpodobnosti definuje pojem konvergence takovým způsobem, který je použitelný v teorii pravděpodobnosti.
  • La suite Xn converge vers X en loi, ou en distribution, si ::\lim_{n\rightarrow\infty} F_n(a) = F(a), pour tout réel a où F est continue. Puisque F(a) = P(X ≤ a), cela signifie que la probabilité que X appartienne à un certain intervalle est très similaire à la probabilité que Xn soit dans cet intervalle pour n suffisamment grand.
  • In teoria della probabilità e statistica è molto vivo il problema di studiare fenomeni con comportamento incognito ma, nei grandi numeri, riconducibili a fenomeni noti e ben studiati. A ciò vengono in soccorso i vari teoremi di convergenza di variabili casuali, che appunto studiano le condizioni sotto cui certe successioni di variabili casuali di una certa distribuzione tendono ad altre distribuzioni.
  • Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem „słabą” zbieżnością.
  • Seja F1, F2, … uma sequência de funções distribuição acumulada correspondentes a variáveis aleatórias X1, X2, …, e seja F a função distribuição acumulada correspondente à variável aleatória X. Então define-se que a sequência Xn converge para X em distribuição quando: <math>\lim_{n\rightarrow\infty} F_n(a) = F(a),\, para cada ponto a em que F seja contínua.
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  • Convergence of random variables
  • Konvergenz (Stochastik)
  • Pravděpodobnostní konvergence
  • Convergence de variables aléatoires
  • Convergenza di variabili casuali
  • Zbieżność według rozkładu
  • Convergência de variáveis aleatórias
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