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- In propositional logic, contraposition is a logical relationship between two propositions of material implication. A proposition Q (e.g. "Socrates is human") is materially implicated by a proposition P (e.g. "Socrates is a man") when the following relationship holds: :<math>(P \to Q)</math> In vernacular terms, this states "If P then Q", or, "If Socrates is a man then Socrates is human. " In a conditional such as this, P is called the antecedent and Q the consequent. One statement is the contrapositive of the other just when its antecedent is the negated consequent of the other, and vice-versa. The contrapositive of the given example statement would be: :<math>(\neg Q \to \neg P)</math> That is, "If not-Q then not-P", or more clearly, "If Q is not the case, then P is not the case. " Using our example, this is rendered "If Socrates is not human, then Socrates is not a man. " This statement is said to be contraposed to the original, and is logically equivalent to it. Due to their logical equivalence, stating one is effectively the same as stating the other, and where one is true, the other is also true (likewise with falsity). Strictly, a contraposition can only exist in the above form of two simple conditionals. However, it is common to call two more complex statements contraposed if they are the same apart from containing a contraposition. Thus, <math>\forall{x}(P{x} \to Q{x})</math>, or "All P's are Q's" is contraposed to <math>\forall{x}(\neg Q{x} \to \neg P{x})</math>, or "All non-Q's are non-P's".
- Unter Kontraposition (von lat. contra – gegen und lat. positio – Position, Stellung, Lage) versteht man in der Logik den Umkehrschluss einer Implikation, d. h. den Schluss von „Wenn A, dann B“ auf „Wenn nicht B, dann nicht A“. Tatsächlich ist die Aussage „Aus A folgt B“ sogar äquivalent zu ihrer Kontraposition „Aus nicht B folgt nicht A“. Siehe auch: Umkehrschluss - die Kontraposition als juristische Auslegungsmethode.
- Contraposición lógica es una de las operaciones que la lógica clásica tradicional admitía como operación lógica. Consiste en la modificación del juicio aristotélico convirtiendo el juicio previamente obvertido, u obvirtiendo el juicio previamente convertido. De esta forma la aplicación a las distintas clases de juicios sigue el proceso siguiente: Teniendo en cuenta que no es posible la conversión en O La lógica moderna al tratar los juicios aristotélicos como funciones proposicionales cambia notablemente el sentido lógico de estas operaciones, por lo que hoy día estas propiedades no tienen en realidad apenas importancia lógica, aunque sí pueden ayudar
- La contraposition (ou modus tollens) est un type de raisonnement logique consistant à affirmer une implication (« si A alors B ») et à poser ensuite la négation du conséquent (« or, non B ») pour en déduire la négation de l'antécédent (« donc non A »). En d'autres termes, puisque la cause d'une implication engendre la conséquence, alors l'absence de la conséquence implique automatiquement l'absence de la cause (tollens est le participe présent du verbe latin tollere, ôter, enlever). La contraposition est équivalente à une implication, dont elle est considérée comme une règle dérivée. Ainsi, la proposition contraposée de la proposition « A implique B » ("s'il pleut, alors le sol est mouillé") est « non-B implique non-A » ("si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas"). Si la première est vraie, alors la seconde l'est aussi. Inversement, si la seconde est vraie, la première est vraie en logique classique (cette dernière affirmation n'est cependant pas acceptée en logique intuitionniste, qui établit une différence entre les deux implications). La contraposition exprime le fait que B est une condition nécessaire de A : on ne peut pas avoir A sans avoir B. Dans notre exemple, il n'est pas possible qu'il pleuve et que le sol ne soit pas mouillé. Il faut bien distinguer la contraposée de la réciproque : la réciproque de « A implique B » est « B implique A ». Le fait que l'une soit vraie ne dit rien sur l'autre à moins qu'on ait montré, par ailleurs, qu'il existe une équivalence entre A et B (« A si et seulement si B ») auquel cas, l'implication et la réciproque sont toutes deux vraies. Ainsi, même si l'implication "s'il pleut, alors le sol est mouillé" est vraie, on ne peut pas rien dire sa réciproque ("si le sol est mouillé, alors il pleut"). Il ne faut pas confondre non plus la contraposition avec la négation de l'antécédent « non-A implique non-B » ("s'il ne pleut pas, alors le sol n'est pas mouillé") qui, elle, n'est pas équivalente à l'implication. Utiliser la négation de l'antécédent conduit à un raisonnement faux ou sophisme. En effet, dans notre exemple le sol peut avoir été mouillé par autre chose que la pluie, de même que le sol peut ne pas être encore sec alors que la pluie s'est arrêtée, ce n'est donc pas parce qu'il ne pleut pas que le sol n'est pas mouillé.
- 命題「AならばB」の対偶は「BでないならAでない」である。 論理記号を用いて説明すると、命題「A ⇒ B」の対偶は「¬B⇒ ¬A」（¬A は命題 A の否定）である。 通常の数学では、命題「AならばB」の真偽とその対偶「BでないならAでない」の真偽とは必ず一致する。 数学では、元の命題「AならばB」の証明が難しくても、その対偶「BでないならAでない」の証明は比較的易しい場合がある。「AならばB」と「BでないならAでない」との真偽は一致するので、このようなときには対偶「BでないならAでない」のほうを証明すれば「AならばB」を証明できる（対偶論法）。
- Het bewijs door contrapositie is een methode om het wiskundig bewijs te geven van de stelling als A dan B, door het bewijzen van de stelling als niet B dan niet A. In de klassieke logica is deze laatste stelling equivalent aan de eerste: een bewijs van de ene stelling is ook een bewijs van de ander. In de intuïtionistische logica zijn beide stellingen niet equivalent. Een bewijs van (als A dan B) impliceert wel dat (als niet B dan niet A) geldt, maar de implicatie in de andere richting geldt daar niet.
- Зако́н контрапози́ции — закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»). Как и всякое общезначимое импликативное утверждение, может служить также и правилом вывода.
- Kontraposition är en egenskap hos implikationssbegreppet i den klassiska logiken, att A → B är ekvivalent med ¬B → ¬A: | A || B || A → B || ¬B → ¬A | s || s || s || s | s || f || f || f | f || s || s || s | f || f|| s || s I det naturliga språket har regeln tillämpbarhet i vissa kontexter, till exempel två-värda, medan den fallerar i andra. Särskilt vid tillämpning i icke-två-värda kontexter skapar dess användning ofta paradoxer. Kontraposition är nära förbunden med den logiska härledningsregeln modus tollens.
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- In propositional logic, contraposition is a logical relationship between two propositions of material implication. A proposition Q (e.g. "Socrates is human") is materially implicated by a proposition P (e.g. "Socrates is a man") when the following relationship holds: :<math>(P \to Q)</math> In vernacular terms, this states "If P then Q", or, "If Socrates is a man then Socrates is human. " In a conditional such as this, P is called the antecedent and Q the consequent.
- Unter Kontraposition (von lat. contra – gegen und lat. positio – Position, Stellung, Lage) versteht man in der Logik den Umkehrschluss einer Implikation, d. h. den Schluss von „Wenn A, dann B“ auf „Wenn nicht B, dann nicht A“. Tatsächlich ist die Aussage „Aus A folgt B“ sogar äquivalent zu ihrer Kontraposition „Aus nicht B folgt nicht A“. Siehe auch: Umkehrschluss - die Kontraposition als juristische Auslegungsmethode.
- Contraposición lógica es una de las operaciones que la lógica clásica tradicional admitía como operación lógica. Consiste en la modificación del juicio aristotélico convirtiendo el juicio previamente obvertido, u obvirtiendo el juicio previamente convertido.
- La contraposition (ou modus tollens) est un type de raisonnement logique consistant à affirmer une implication (« si A alors B ») et à poser ensuite la négation du conséquent (« or, non B ») pour en déduire la négation de l'antécédent (« donc non A »).
- Het bewijs door contrapositie is een methode om het wiskundig bewijs te geven van de stelling als A dan B, door het bewijzen van de stelling als niet B dan niet A. In de klassieke logica is deze laatste stelling equivalent aan de eerste: een bewijs van de ene stelling is ook een bewijs van de ander. In de intuïtionistische logica zijn beide stellingen niet equivalent.
- Зако́н контрапози́ции — закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»).
- Kontraposition är en egenskap hos implikationssbegreppet i den klassiska logiken, att A → B är ekvivalent med ¬B → ¬A: | A || B || A → B || ¬B → ¬A | s || s || s || s | s || f || f || f | f || s || s || s | f || f|| s || s I det naturliga språket har regeln tillämpbarhet i vissa kontexter, till exempel två-värda, medan den fallerar i andra. Särskilt vid tillämpning i icke-två-värda kontexter skapar dess användning ofta paradoxer.
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