| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, the continuum hypothesis (abbreviated CH) is a hypothesis, advanced by Georg Cantor in 1877, about the possible sizes of infinite sets. It states: There is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and that of the real numbers. Establishing the truth or falsehood of the continuum hypothesis is the first of Hilbert's twenty-three problems presented in the year 1900. The contributions of Kurt Gödel in 1940 and Paul Cohen in 1963 show that the hypothesis can neither be disproved nor be proved using the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, the standard foundation of modern mathematics, provided set theory is consistent. The name of the hypothesis comes from the term the continuum for the real numbers.
- Die Kontinuumshypothese wurde 1878 vom Mathematiker Georg Cantor aufgestellt. Der Name rührt daher, dass die reellen Zahlen auch als „das Kontinuum“ bezeichnet werden.
- Hypotéza kontinua (označovaná někdy jako CH) je matematické tvrzení formulované poprvé Georgem Cantorem v roce 1882. Toto tvrzení se týká otázky, zda existuje nějaká množina, jejíž mohutnost je ostře mezi mohutností množiny přirozených čísel a mohutností množiny čísel reálných (neboli kontinua), a odpovídá na ni záporně.
- En teoría de conjuntos, la hipótesis del continuo (abreviada HC) es una hipótesis, debida a Georg Cantor, sobre la cardinalidad del conjunto de los números reales. Cantor introdujo el concepto de cardinal para comparar el tamaño de conjuntos infinitos, demostrando en 1874 que el cardinal del conjunto de los enteros es estrictamente inferior al de los números reales. Lo siguiente a preguntarse es si existen conjuntos cuyo cardinal esté incluido estrictamente entre el de ambos conjuntos. La hipótesis del continuo viene a decir: No existen conjuntos cuyo tamaño esté comprendido estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales. Matemáticamente hablando, si el cardinal de los enteros es <math>\aleph_0</math> y el cardinal de los números reales es <math>2^{\aleph_0}</math>, la hipótesis del continuo afirma que: <math>\nexists A : \aleph_0 < |A| < 2^{\aleph_0}</math> donde |A| indica el cardinal de A. Admitiendo el axioma de elección, existe un número cardinal <math>\aleph_1</math>, el inmediato superior a <math>\aleph_0</math>, siendo la hipótesis del continuo equivalente a la igualdad <math>2^{\aleph_0} = \aleph_1. </math>
- Kontinuumihypoteesi on Georg Cantorin esittämä väite, joka koskee äärettömien joukkojen kokoja. Cantor esitteli mahtavuuden käsitteen vertaillakseen äärettömien joukkojen kokoja ja osoitti, että kokonaislukujen joukon mahtavuus on pienempi kuin reaalilukujen. Kontinuumihypoteesi on seuraava väite: Ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin kokonaislukujen joukon, mutta pienempi kuin reaalilukujen joukon. Matemaattisessa tekstissä kokonaislukujen mahtavuutta merkitään <math>\aleph_0</math> ja reaalilukujen mahtavuutta merkitään <math>2^{\aleph_0}</math> (reaalilukujen joukon mahtavuus on siis sama kuin kokonaislukujen joukon potenssijoukon). Nyt voimme esittää kontinuumihypoteesin seuraavassa muodossa: Ei ole olemassa joukkoa <math>S</math>, siten että <math> \aleph_0 < |S| < 2^{\aleph_0}. </math>. Tämä väite on yhtäpitävä väitteen <math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math> kanssa.
- En théorie des ensembles, l'hypothèse du continu, due à Georg Cantor, affirme qu'il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels. En d'autres termes : tout ensemble strictement plus grand, au sens de la cardinalité, que l'ensemble des entiers naturels doit contenir une « copie » de l'ensemble des nombres réels. Cantor avait démontré (et publié en 1874) que le cardinal de l'ensemble des nombres réels était strictement plus grand que celui des nombres entiers, il formula plus tard cette hypothèse, qui résultait d'une analyse des sous-ensembles de la droite réelle, et de sa hiérarchisation des cardinaux infinis, mais il tenta en vain de la démontrer. Cette démonstration constituait le premier de la célèbre liste des 23 problèmes de Hilbert, que celui-ci avait établie pour le congrès international de mathématiques de 1900 à Paris, afin de guider la recherche en mathématiques du siècle alors naissant. Ce n'est que bien plus tard, en 1963, que Paul Cohen introduisit sa méthode de forcing pour montrer que cette hypothèse ne pouvait se déduire des axiomes de la théorie des ensembles ZFC, généralement considérée comme une formalisation adéquate de la théorie des ensembles de Cantor, qui n'était pas encore axiomatisée en 1900. Kurt Gödel avait précédemment démontré, en 1938, que cette hypothèse n'était pas non plus réfutable dans ZFC. Elle est donc indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC, ou encore indécidable dans cette théorie. La méthode du forcing de Cohen a connu depuis de nombreux développements en théorie des ensembles. Son résultat n'a pas mis un point final aux travaux sur le sujet. La recherche d'hypothèses naturelles à ajouter à la théorie ZFC et d'arguments qui permettraient de trancher pour ou contre l'hypothèse du continu constitue toujours un sujet actif en théorie des ensembles.
- A kontinuumhipotézis a matematika halmazelmélet nevű ágának egyik kijelentése („igazságértékére” vonatkozóan lásd később), amit Cantor vetett fel kérdésként, amikor a Cantor-tételben rámutatott, hogy többféle rendű végtelen számosságú halmaz létezik a halmazelméletben. Legközérthetőbb formájában kontinuumhipotézisen a következőt értjük: a valós számok minden végtelen részhalmaza vagy magával a valós számok halmazával, vagy a természetes számokkal azonos számosságú. Másképp fogalmazva: nincs olyan halmaz, amelynek számossága a valós számok számossága és a természetes számok számossága közé esne.
- In matematica, l'ipotesi del continuo è un'ipotesi avanzata da Georg Cantor che riguarda le dimensioni possibili per gli insiemi infiniti. Cantor introdusse il concetto di cardinalità e di numero cardinale (che possiamo immaginare come una "dimensione" dell'insieme) per confrontare tra loro insiemi transfiniti, e dimostrò l'esistenza di insiemi infiniti di cardinalità diversa, come ad esempio i numeri naturali e i numeri reali. L'ipotesi del continuo afferma che: Non esiste nessun insieme la cui cardinalità è strettamente compresa fra quella dei numeri naturali e quella dei numeri reali. Matematicamente parlando, dato che la cardinalità degli interi <math>|\mathbb{Z}|</math> è <math>\aleph_0</math> e la cardinalità dei numeri reali <math>|\mathbb{R}|</math> è <math>2^{\aleph_0}</math>, l'ipotesi del continuo afferma: <math>\not\exists A : \aleph_0 < |A| < 2^{\aleph_0}</math> dove |A| indica la cardinalità di A. Il nome di questa ipotesi deriva dalla retta dei numeri reali, chiamata appunto il continuo. Vi è anche una generalizzazione dell'ipotesi del continuo, denominata ipotesi generalizzata del continuo, e che afferma che per ogni cardinale transfinito T <math>\not\exists A : |T| < |A| < 2^</math> Gli studi di Gödel e Cohen hanno permesso di stabilire che nella teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel comprensiva dell'assioma di scelta l'ipotesi del continuo risulta indecidibile.
- 連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH）とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということが明確に証明されている。
- In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de continuümhypothese een door Georg Cantor in 1877 geponeerde hypothese over de mogelijke grootte van oneindige verzamelingen. De hypothese luidt dat: Er bestaat geen verzameling, waarvan de kardinaliteit tussen de kardinaliteit van de gehele getallen en de kardinaliteit van de reële getallen ligt. De continuümhypothese stelt dat de kardinaliteit van de verzameling reële getallen het eerste overaftelbare kardinaalgetal is, oftewel het eerste kardinaalgetal groter dan de kardinaliteit van de natuurlijke getallen.
- Hipoteza continuum to hipoteza postawiona przez Georga Cantora dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych. Cantor - posługując się rozumowaniem przekątniowym - wykazał, że moce powyższych zbiorów nie są równe. Pojawiło się w takim razie pytanie: czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych i mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych? Okazało się, że odpowiedź na tak naturalne pytanie nie jest oczywista. Cantor wysunął hipotezę - zwaną właśnie hipotezą continuum - że takiego zbioru nie ma. Fakt, że nie potrafił tej hipotezy udowodnić, sprawił, że Cantor zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie teorii mnogości. W roku 1940 ukazała się praca K. Gödla, w której autor udowodnił, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami teorii mnogości, a w 1963 roku P.J. Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od aksjomatów teorii mnogości - czyli możemy do matematyki dołączyć zarówno zdanie mówiące, że hipoteza continuum jest prawdziwa, jak i jego negację, i w żadnym z tych wypadków nie otrzymamy sprzeczności. Uogólniona hipoteza continuum mówi, że dla żadnego zbioru nieskończonego A nie istnieje zbiór B, którego moc byłaby większa od mocy zbioru A, ale mniejsza od mocy zbioru potęgowego A.
- A hipótese do continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte: Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros e menos elementos do que o conjunto dos números reais. Aqui mais elementos e menos elementos tem um sentido muito preciso. Esta hipótese foi um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.
- В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую конти́нуум-гипо́тезу, которую можно сформулировать следующим образом: Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта. В 1940 году Гёдель доказал в расширенной теории, полученной присоединением к системе аксиом Цермело — Френкеля (ZFC) аксиомы о непротиворечивости ZFC, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC; а в 1963 году Коэн доказал в той же теории, что континуум-гипотеза недоказуема в ZFC. Таким образом, континуум-гипотеза не зависит от аксиом ZFC. Вопрос о независимости континуум-гипотезы от аксиом использовавшейся Гёделем и Коэном расширенной теории остается открытым. Разделение по отрицанию или подтверждению континуум-гипотезы привело к созданию так называемой канторовской теории множеств, которая считает, что мощность множества вещественных чисел или континуума <math>\mathbf{c}=2^{\aleph_0}</math> равна <math>\aleph_1</math> и неканторовской теории множеств, в которой это неверно. В последнем случае можно доказать, что между c и <math>\aleph_1</math> заключено бесконечно много кардинальных чисел.
- Kontinuumhypotesen är ett mängdteoretiskt påstående som bland annat har betydelse inom matematikfilosofin. Hypotesen är att det inte existerar något kardinaltal som ligger mellan kardinaltalet för mängden av de hela talen, Alef-noll, och kardinaltalet för mängden av de reella talen, kontinuum. Kurt Gödel bevisade med hjälp av det konstruktibla universat att antagandet att kontinuumhypotesen är sann inte strider mot mängdlärans axiom i systemet ZFC. Emellertid visade matematikern Paul Cohen genom att introducera metoden forcing år 1963 att inte heller antagandet att kontinuumhypotesen är falsk strider mot axiomen i ZFC. Det är alltså likgiltigt för mängdläran huruvida ett sådant kardinaltal existerar eller inte, man kan inte avgöra med dess hjälp huruvida det finns eller inte. Att kontinuumhypotesen är oavgörbar innebär, enligt dem som förespråkar matematisk realism, att axiomsystemet ZFC inte beskriver den matematiska verkligheten tillräckligt precist för att kontinuumhypotesens verkliga sanningsvärde skall kunna avgöras. Andra realister hävdar att det kan existera parallella mängdteoretiska universa: vissa där kontinuumhypotesen är sann och andra där den är falsk. Om man är formalist tolkar man i stället resultatet bara som en matematisk egenskap hos ZFC som formellt system. Ett fåtal nutida mängdteoretiker, framförallt Hugh Woodin, anser att en djupare förståelse av mängdläran kan leda till insikter som får oss att acceptera nya axiom som skulle kunna avgöra kontinuumhypotesen. Bland sådana är tendensen numera snarare att tro att kontinuumhypotesen är falsk än att den är sann.
- Bütün sonsuzlar eşit değildir. 19. yüzyılın sonunda Alman matematikçi Georg Cantor'un ispatından beri gerçel sayılar'ın sayısının doğal sayılar'ınkinden fazla olduğu biliniyor. Daha da doğrusu gerçel sayılar'ın sayısının doğal sayılar'ın alt kümelerinin sayısına eşit olduğu. Genelde <math>\aleph_0</math> ile doğal sayılar'ın sayısı ifade edilirken, bu durumda gerçel sayılar'ın sayısının <math>2^{\aleph_0}</math> olduğunu görüyoruz. Süreklilik hipotezi bu iki sonsuzluk arasında başka mertebelerde sonsuzluk olup olmadığı sorusunu sorar. Avusturyalı matematikçi Kurt Gödel bu soruya verilecek negatif bir cevabın kümeler teorisi ile tutarlı olduğunu, Amerikalı matematikçi Paul Cohen ise bu soruya verilecek pozitif bir cevabın da kümeler teorisiyle tutarlı olduğunu ispatlamışlardır. Dolayısıyla bu soru bir matematik sorusu olmaktan çıkıp bir matematik felsefesi sorusuna dönüşmüştür.
- У 1877 році Георг Кантор висунув і згодом безуспішно намагався довести так звану конти́нуум-гіпо́тезу, яку можна сформулювати таким чином: Будь-яка нескінченна підмножина континууму є або зліченною, або континуальною. Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які Давид Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі в 1900 році. Тому континуум-гіпотеза відома також як перша проблема Гільберта. У 1940 році Курт Гедель довів в припущенні несуперечності системи аксіом Цермело-Френкеля (ZF), що, виходячи з аксіом теорії множин разом з аксіомою вибору, континуум-гіпотезу не можна спростувати; а в 1963 році американський математик Пол Коен довів (також в припущенні несуперечності ZF), що континуум-гіпотезу не можна довести, виходячи з тих же аксіом. Таким чином, континуум-гіпотеза не залежить від аксіом ZF. Розділення по запереченню або підтвердженню континуум-гипотези привело до створення так званої канторівської теорії множин, яка вважає, що потужність множини дійсних чисел або континууму <math>\mathbf{c}=2^{\aleph_0}</math> дорівнює <math>\aleph_1</math> і неканторовської теорії множин, в якій це твердження неправильне. В останньому випадку можна довести, що між c і <math>\aleph_1</math> поміщено нескінченно багато кардинальних чисел. Узагальнена континуум-гіпотеза стверджує, що для будь-якої нескінченної множини S не існує таких множин, кардинальне число яких більше, ніж у S, але менше, ніж у множини всіх його підмножин 2. Узагальнена континуум-гіпотеза також не протирічить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як показали Серпінський в 1947 р. і Шпеккер у 1952 р. , з неї виходить аксіома вибору.
- 在數學中，連續統假設（簡稱CH）是一個猜想，也是希尔伯特的23个问题的第一題，由康托尔提出，關於無窮集的可能大小。其為： 不存在一個基数絕對大于可列集而絕對小于实数集的集合。 康托爾引入了基數的概念以比較無窮集間的大小，也證明了整數集的基數絕對小於實集的基數。康托爾也就給了出連續統假設，就是说，在无限集中，比自然数集{1，2，3，4...... }基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而連續統就是實數集的一個舊稱。 更加形式地说，自然数集的基数为<math>\aleph_0</math>。而连续统假设的观点认为实数集的基数为<math>\aleph_1</math>。由是，康托尔定义了绝对无限。 等價地，整數集的序数是<math>\aleph_0</math>而實數的序数是<math>2^{\aleph_0}</math>，連續續假設指出不存在一個集合<math>S</math>使得 <math> \aleph_0 < |S| < 2^{\aleph_0}. </math> 假設選擇公理是對的，那就會有一個最小的基數<math>\aleph_1</math>大於<math>\aleph_0</math>，而連續統假設也就等價於以下的等式： <math>2^{\aleph_0} = \aleph_1. </math> 連續統假設有個更廣義的形式，叫作廣義連續統假設（GCH），其命題為： 对于所有的序数<math>\alpha</math>, <math>2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}. </math> 庫爾特·哥德尔在1940年用内模型法证明了连续统假设与ZFC的相对协调性，保羅·柯恩在1963年用力迫法证明了连续统假设不能由ZFC推导。也就是说连续统假设成立与否无法由ZFC确定。
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics, the continuum hypothesis (abbreviated CH) is a hypothesis, advanced by Georg Cantor in 1877, about the possible sizes of infinite sets. It states: There is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and that of the real numbers. Establishing the truth or falsehood of the continuum hypothesis is the first of Hilbert's twenty-three problems presented in the year 1900.
- Die Kontinuumshypothese wurde 1878 vom Mathematiker Georg Cantor aufgestellt. Der Name rührt daher, dass die reellen Zahlen auch als „das Kontinuum“ bezeichnet werden.
- Hypotéza kontinua (označovaná někdy jako CH) je matematické tvrzení formulované poprvé Georgem Cantorem v roce 1882. Toto tvrzení se týká otázky, zda existuje nějaká množina, jejíž mohutnost je ostře mezi mohutností množiny přirozených čísel a mohutností množiny čísel reálných (neboli kontinua), a odpovídá na ni záporně.
- En teoría de conjuntos, la hipótesis del continuo (abreviada HC) es una hipótesis, debida a Georg Cantor, sobre la cardinalidad del conjunto de los números reales. Cantor introdujo el concepto de cardinal para comparar el tamaño de conjuntos infinitos, demostrando en 1874 que el cardinal del conjunto de los enteros es estrictamente inferior al de los números reales. Lo siguiente a preguntarse es si existen conjuntos cuyo cardinal esté incluido estrictamente entre el de ambos conjuntos.
- Kontinuumihypoteesi on Georg Cantorin esittämä väite, joka koskee äärettömien joukkojen kokoja. Cantor esitteli mahtavuuden käsitteen vertaillakseen äärettömien joukkojen kokoja ja osoitti, että kokonaislukujen joukon mahtavuus on pienempi kuin reaalilukujen. Kontinuumihypoteesi on seuraava väite: Ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin kokonaislukujen joukon, mutta pienempi kuin reaalilukujen joukon.
- En théorie des ensembles, l'hypothèse du continu, due à Georg Cantor, affirme qu'il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels. En d'autres termes : tout ensemble strictement plus grand, au sens de la cardinalité, que l'ensemble des entiers naturels doit contenir une « copie » de l'ensemble des nombres réels.
- A kontinuumhipotézis a matematika halmazelmélet nevű ágának egyik kijelentése („igazságértékére” vonatkozóan lásd később), amit Cantor vetett fel kérdésként, amikor a Cantor-tételben rámutatott, hogy többféle rendű végtelen számosságú halmaz létezik a halmazelméletben.
- In matematica, l'ipotesi del continuo è un'ipotesi avanzata da Georg Cantor che riguarda le dimensioni possibili per gli insiemi infiniti. Cantor introdusse il concetto di cardinalità e di numero cardinale (che possiamo immaginare come una "dimensione" dell'insieme) per confrontare tra loro insiemi transfiniti, e dimostrò l'esistenza di insiemi infiniti di cardinalità diversa, come ad esempio i numeri naturali e i numeri reali.
- 連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH）とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということが明確に証明されている。
- In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de continuümhypothese een door Georg Cantor in 1877 geponeerde hypothese over de mogelijke grootte van oneindige verzamelingen. De hypothese luidt dat: Er bestaat geen verzameling, waarvan de kardinaliteit tussen de kardinaliteit van de gehele getallen en de kardinaliteit van de reële getallen ligt.
- Hipoteza continuum to hipoteza postawiona przez Georga Cantora dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych. Cantor - posługując się rozumowaniem przekątniowym - wykazał, że moce powyższych zbiorów nie są równe. Pojawiło się w takim razie pytanie: czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych i mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych? Okazało się, że odpowiedź na tak naturalne pytanie nie jest oczywista.
- A hipótese do continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte: Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros e menos elementos do que o conjunto dos números reais. Aqui mais elementos e menos elementos tem um sentido muito preciso.
- В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую конти́нуум-гипо́тезу, которую можно сформулировать следующим образом: Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.
- Kontinuumhypotesen är ett mängdteoretiskt påstående som bland annat har betydelse inom matematikfilosofin. Hypotesen är att det inte existerar något kardinaltal som ligger mellan kardinaltalet för mängden av de hela talen, Alef-noll, och kardinaltalet för mängden av de reella talen, kontinuum. Kurt Gödel bevisade med hjälp av det konstruktibla universat att antagandet att kontinuumhypotesen är sann inte strider mot mängdlärans axiom i systemet ZFC.
- Bütün sonsuzlar eşit değildir. 19. yüzyılın sonunda Alman matematikçi Georg Cantor'un ispatından beri gerçel sayılar'ın sayısının doğal sayılar'ınkinden fazla olduğu biliniyor. Daha da doğrusu gerçel sayılar'ın sayısının doğal sayılar'ın alt kümelerinin sayısına eşit olduğu.
- У 1877 році Георг Кантор висунув і згодом безуспішно намагався довести так звану конти́нуум-гіпо́тезу, яку можна сформулювати таким чином: Будь-яка нескінченна підмножина континууму є або зліченною, або континуальною.
- 在數學中，連續統假設（簡稱CH）是一個猜想，也是希尔伯特的23个问题的第一題，由康托尔提出，關於無窮集的可能大小。其為： 不存在一個基数絕對大于可列集而絕對小于实数集的集合。 康托爾引入了基數的概念以比較無窮集間的大小，也證明了整數集的基數絕對小於實集的基數。康托爾也就給了出連續統假設，就是说，在无限集中，比自然数集{1，2，3，4......
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
