| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, the word continuum has at least two distinct meanings, outlined in the sections below. For other uses see Continuum.
- In der Mathematik nennt man jede Menge, welche die Mächtigkeit der reellen Zahlen hat, das Kontinuum. Man kann (etwa mit den ZF-Axiomen, sogar ohne das Auswahlaxiom) zeigen, dass die folgenden Mengen alle gleichmächtig sind: <math>\mathbb R</math>, die Menge aller reellen Zahlen <math>\mathbb C</math>, die Menge aller komplexen Zahlen <math>[0,1]</math>, die Menge aller reellen Zahlen die zwischen 0 und 1 liegen <math>\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}</math>, die Menge aller Irrationalzahlen <math>{\mathcal P}({\mathbb N})</math>, die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen, also die Potenzmenge von <math>\mathbb N</math> <math>\left\{0,1\right\}^{\mathbb N}</math>, die Menge aller Funktionen mit Definitionsbereich <math>\mathbb N</math> und Zielbereich {0,1} <math>\mathbb N^{\mathbb N}</math>, die Menge aller Folgen von natürlichen Zahlen <math>\mathbb R^{\mathbb N}</math>, die Menge aller Folgen von reellen Zahlen. Die Mächtigkeit dieser Menge wird üblicherweise <math>\mathfrak c</math> (Fraktur c, für continuum) oder <math>\aleph</math> (Aleph, der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets) genannt. Da es sich um die Potenzmenge von <math>\mathbb N</math> handelt und deren Mächtigkeit <math>\aleph_0</math> heißt, schreibt man dafür auch <math>2^{\aleph_0}</math>. Es hat sich gezeigt, dass sehr viele weitere Strukturen, die in der Mathematik untersucht werden, dieselbe Mächtigkeit haben. In der Analysis handelt es sich dabei in aller Regel um Mengen reeller Zahlen, welche entweder höchstens abzählbar sind oder die eine Cantor-Menge enthalten; die letztere hat die Mächtigkeit <math>\mathfrak c</math>. Die vielleicht naheliegende Vermutung, dass tatsächlich alle überabzählbaren Teilmengen der reellen Zahlen eine Cantor-Menge enthalten, kann man widerlegen (allerdings nur mit Hilfe des Auswahlaxioms; ein Gegenbeispiel ist ohne eine Wohlordnung der reellen Zahlen nicht explizit konstruierbar). Die etwas schwächere Vermutung, dass alle überabzählbaren Teilmengen der reellen Zahlen zumindest gleichmächtig mit den reellen Zahlen sind, heißt Kontinuumshypothese. Sie ist (mit den üblichen Axiomen) weder widerlegbar noch beweisbar.
- La palabra continuo (sin acento) proviene del latín continŭus. En física, una función, variable o sistema es continuo, en contraposición a discreto, si entre dos puntos cualesquiera existe una infinidad de puntos y si, además, tiene la propiedad de completitud; es decir, si la distancia entre los dos puntos tomados mide <math>d</math>, para cada número entre 0 y <math>d</math> podemos encontrar un punto cuya distancia del primero mida exactamente a ese número. Es el caso, por ejemplo, de los números reales, así como el espacio-tiempo, según la relatividad. En topología, un continuo es un espacio topológico conexo y compacto. Los continuos nacieron como un intento de caracterizar las funciones continuas como aquellas que transformaban continuos en continuos. La idea no cuajó, pero el término siguió usándose, pues en numerosas areas de la matemática se utilizan conjuntos compactos y conexos. Algunos autores exigen, además, que se cumpla la propiedad de Hausdorff. Desde el punto de vista topológico, en física se habla de continuo para referirse a un subconjunto conexo del espacio euclídeo. En música, continuo es sinónimo de bajo continuo, un relleno armónico de la línea del bajo ejecutado por dos instrumentos, muy común en obras del período barroco.
- In matematica, la parola continuo talvolta indica la retta reale. In un senso più generale, un continuo è un insieme totalmente ordinato che è "densamente ordinato", cioè tra due membri dell'insieme c'è sempre un terzo membro compreso fra i primi due, e non ha "buchi", cioè ogni insieme non vuoto limitato superiormente ha sempre un estremo superiore. Secondo questa definizione, la retta lunga è un continuo, così come vari altri insiemi al di fuori della retta reale. La cardinalità del continuo è la cardinalità della retta reale. L'ipotesi del continuo è talvolta espressa dicendo che non esiste nessuna cardinalità fra la cardinalità del continuo e quella dei numeri naturali. In topologia generale, un continuo è un generico spazio di Hausdorff compatto e connesso. Le proprietà interessanti studiate nella teoria dei continui emergono dal fatto che esistono continui indecomponibili (continui che non possono essere scritti come unione di due opportuni sottocontinui) non banali.
- Continuum - pojęcie używane w matematyce do oznaczania przestrzeni, poniższe rozumienia tego pojęcia nie wykluczają się, choć położony w nich nacisk służy innym celom.
- В теории множеств, конти́нуум (от лат. continuum — непрерывное) может обозначать одно из следующих сходных понятий: кардинал или класс множеств, равномощных множеству вещественных чисел. множество, равномощное множеству вещественных чисел. Например, совокупность всех точек отрезка на прямой или множество всех иррациональных чисел. Говорят: «континуум», «множество мощности континуум» или «континуальное множество».
- Kontinuum, begrepp inom fysik och matematik. Inom fysiken är ett kontinuum ett objekt som har utbredning i rummet och som i teorin kan delas i oändligt små delar, infinitesimaler. Kontinua betraktas inom bland annat elektrodynamik och kontinuummekanik. Inom matematiken, i synnerhet inom mängdteorin, är kontinuum den ordnade mängden av de reella talen. (Detta är alltså den ordnade, obrutna, kontinuerliga reella talaxeln. ) Kontinuum har kontinuums mäktighet dvs kardinaltalet för denna mängd (betecknas |R|) är större än kardinaltalet för de hela talen, Alef-0. Kardinaltalet för kontinuum är lika med 2 och betecknas ibland med lilla c. Enligt den oavgörbara kontinuumhypotesen finns inga kardinaltal mellan Alef-0 och c, och kardinaltalet för kontinuumet är då lika med Alef-1. Se även: Kardinaltal Aleftal Kontinuumhypotesen
- Континуум - множина, рівнопотужна множині дійсних чисел в інтервалі (0,1), а також кардинальне число такої множини (позначається c або <math>\aleph_1</math>). Множина дійсних чисел в інтервалі (0,1), як і в будь-якому іншому інтервалі рівнопотужна множині всіх чисел на числовій прямій, тобто можна побудувати однозначне відображення з інтервалу (0,1) на всю числову пряму. Множина точок на площині й в n-вимірному просторі, де n - скінченне число, теж має потужність континууму. Континуум потужніша множина, ніж множина натуральних чисел. Питання про існування множини з потужністю проміжною між множиною натуральних чисел та множиною континууму є однією з нерозв'язаних задач математики.
- 連續統是一個數學概念。當人們籠統地說：「在實數集裡實數可以連續變動」，也就可以說實數集是個連續統；更嚴格的描述需要使用序理論、拓撲學等數學工具。這裡的連續是相對於離散的概念而言的。在不討論精確的定義前，有時人們也會談到一個量可以在某範圍內連續取值，或者說該量的變化範圍是一個連續統。在數學上，連續統這一術語至少有兩種精確定義，但並不等價。另外，連續統一詞有時即指實數線或者實數集，這是較舊的叫法；見連續統假設。
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics, the word continuum has at least two distinct meanings, outlined in the sections below. For other uses see Continuum.
- In der Mathematik nennt man jede Menge, welche die Mächtigkeit der reellen Zahlen hat, das Kontinuum.
- La palabra continuo (sin acento) proviene del latín continŭus. En física, una función, variable o sistema es continuo, en contraposición a discreto, si entre dos puntos cualesquiera existe una infinidad de puntos y si, además, tiene la propiedad de completitud; es decir, si la distancia entre los dos puntos tomados mide <math>d</math>, para cada número entre 0 y <math>d</math> podemos encontrar un punto cuya distancia del primero mida exactamente a ese número.
- In matematica, la parola continuo talvolta indica la retta reale. In un senso più generale, un continuo è un insieme totalmente ordinato che è "densamente ordinato", cioè tra due membri dell'insieme c'è sempre un terzo membro compreso fra i primi due, e non ha "buchi", cioè ogni insieme non vuoto limitato superiormente ha sempre un estremo superiore. Secondo questa definizione, la retta lunga è un continuo, così come vari altri insiemi al di fuori della retta reale.
- Continuum - pojęcie używane w matematyce do oznaczania przestrzeni, poniższe rozumienia tego pojęcia nie wykluczają się, choć położony w nich nacisk służy innym celom.
- В теории множеств, конти́нуум (от лат. continuum — непрерывное) может обозначать одно из следующих сходных понятий: кардинал или класс множеств, равномощных множеству вещественных чисел. множество, равномощное множеству вещественных чисел.
- Kontinuum, begrepp inom fysik och matematik. Inom fysiken är ett kontinuum ett objekt som har utbredning i rummet och som i teorin kan delas i oändligt små delar, infinitesimaler. Kontinua betraktas inom bland annat elektrodynamik och kontinuummekanik. Inom matematiken, i synnerhet inom mängdteorin, är kontinuum den ordnade mängden av de reella talen. (Detta är alltså den ordnade, obrutna, kontinuerliga reella talaxeln.
- Континуум - множина, рівнопотужна множині дійсних чисел в інтервалі (0,1), а також кардинальне число такої множини (позначається c або <math>\aleph_1</math>).
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
