In mathematics, a continued fraction is an expression obtained through an iterative process of representing a number as the sum of its integer part and the reciprocal of another number, then writing this other number as the sum of its integer part and another reciprocal, and so on. In a finite continued fraction (or terminated continued fraction), the iteration/recursion is terminated after finitely many steps by using an integer in lieu of another continued fraction. In contrast, an infinite continued fraction is an infinite expression. In either case, all integers in the sequence, other than the first, must be positive. The integers

Property Value
dbo:abstract
  • In mathematics, a continued fraction is an expression obtained through an iterative process of representing a number as the sum of its integer part and the reciprocal of another number, then writing this other number as the sum of its integer part and another reciprocal, and so on. In a finite continued fraction (or terminated continued fraction), the iteration/recursion is terminated after finitely many steps by using an integer in lieu of another continued fraction. In contrast, an infinite continued fraction is an infinite expression. In either case, all integers in the sequence, other than the first, must be positive. The integers are called the coefficients or terms of the continued fraction. Continued fractions have a number of remarkable properties related to the Euclidean algorithm for integers or real numbers. Every rational number / has two closely related expressions as a finite continued fraction, whose coefficients ai can be determined by applying the Euclidean algorithm to . The numerical value of an infinite continued fraction is irrational; it is defined from its infinite sequence of integers as the limit of a sequence of values for finite continued fractions. Each finite continued fraction of the sequence is obtained by using a finite prefix of the infinite continued fraction's defining sequence of integers. Moreover, every irrational number is the value of a unique infinite continued fraction, whose coefficients can be found using the non-terminating version of the Euclidean algorithm applied to the incommensurable values and 1. This way of expressing real numbers (rational and irrational) is called their continued fraction representation. It is generally assumed that the numerator of all of the fractions is 1. If arbitrary values and/or functions are used in place of one or more of the numerators or the integers in the denominators, the resulting expression is a generalized continued fraction. When it is necessary to distinguish the first form from generalized continued fractions, the former may be called a simple or regular continued fraction, or said to be in canonical form. The term continued fraction may also refer to representations of rational functions, arising in their analytic theory. For this use of the term, see Padé approximation and Chebyshev rational functions. (en)
  • 25بك المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016) في الرياضيات، الكسر المستمر هو كسر يأخذ الصيغة التالية : حيث a0 عدد صحيح والاعداد (ai (i ≠ 0 هي أعداد موجبة. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل. إذا سُمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما. (ar)
  • In der Mathematik und insbesondere der Zahlentheorie ist ein Kettenbruch (fortgesetzter Bruch) ein Ausdruck der Form Ein Kettenbruch ist also ein gemischter Bruch der Form , bei dem der Nenner wieder die Form eines gemischten Bruchs besitzt, wobei sich dieser Aufbau weiter so fortsetzt. Jede reelle Zahl kann als ein Kettenbruch mit ganzen Zahlen ausgedrückt werden. Kettenbrüche können daher als Zahlensystem bezeichnet werden, wie das Dezimalsystem. Sie dienen jedoch in erster Linie nicht zum Rechnen, sondern werden dazu verwendet, Approximationsaufgaben zu lösen: So liefern sie in der Zahlentheorie Näherungen für reelle Zahlen, indem diese durch einen Bruch aus ganzen Zahlen ausgedrückt werden, und in der numerischen Mathematik approximiert man durch sie Funktionen, ähnlich wie dies auch mittels Potenzreihen erreicht wird. Von besonderer Bedeutung sind reguläre Kettenbrüche. Bei dieser Form haben alle Zähler den Wert . Ein regulärer Kettenbruch ist also durch die Folge bestimmt, und man schreibt ihn platzsparend als . Kettenbrüche spielen zudem eine große Rolle in der Zahlentheorie. So zeigte zum Beispiel Joseph Liouville 1844 mit ihrer Hilfe, dass transzendente Zahlen existieren. Außer in der Zahlentheorie kommen Kettenbrüche in der Kryptographie, algebraischen Geometrie, Topologie, Funktionentheorie, numerischen Mathematik und bei der Analyse chaotischer Systeme zur Anwendung. (de)
  • En matemáticas, una fracción continua, nombrada también fracción continuada, es una expresión de la forma: donde a0 es un entero y todos los demás números ai son enteros positivos, para i= 0, 1, 2,...n,.... Los números a0, a1, a2,..., as se llaman elementos o cocientes incompletos. Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, que podrían ser funciones en algún contexto, la expresión resultante es una fracción continua generalizada. Cuando fuera necesario distinguir la forma típica de arriba de una generalizada aquella se denominará fracción continua regular o simple. (es)
  • En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou plus rarement fraction continuée est une expression de la forme : comportant un nombre fini ou infini d'étages. On montre qu'on peut « représenter » — en un sens qui sera précisé — tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle a0 est un entier relatif et les autres aj sont des entiers strictement positifs. Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque réel est approché par des nombres décimaux de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on rajoute des étages. En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un nombre irrationnel. Les fractions continues sont utiles en approximation diophantienne, notamment parce qu'elles fournissent, en un certain sens, les « meilleures » approximations des réels par des rationnels. Cette propriété est à l'origine d'algorithmes pour l'approximation de racines carrées, mais aussi de démonstrations d'irrationalité voire de transcendance pour certains nombres comme π ou e. La périodicité des fractions continues des racines carrées d'entiers strictement supérieurs à 1 et sans facteur carré a des conséquences utiles pour l'étude de l'équation de Pell-Fermat. Déjà usitées chez les mathématiciens indiens au Moyen Âge, les fractions continues sont étudiées en Europe dès le XVIIe siècle et constituent encore un vaste sujet de recherche[réf. nécessaire] ; près de 3 000 articles ont été publiés sur ce sujet au XXe siècle[réf. souhaitée]. Elles sont maintenant généralisées à d'autres expressions, appliquées aux approximations de séries entières appelées approximant de Padé, ou encore adaptées aux applications linéaires. (fr)
  • In matematica, una frazione continua è un'espressione quale dove a0 è un intero e tutti gli altri numeri an sono interi positivi detti quozienti parziali. Espressioni più lunghe sono definite in modo analogo. Se i numeratori possono differire dall'unità, l'espressione risultante viene chiamata frazione continua generalizzata. Per evitare confusioni una frazione continua non generalizzata viene anche chiamata frazione continua semplice. (it)
  • 連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数または正則連分数(英: regular continued fraction)ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。 ここで a0 は整数、それ以外の an は正の整数である。正則連分数は、最大公約数を求めるユークリッドの互除法から自然に生じるものであり、古来からペル方程式の解法にも利用された。 連分数を式で表す際には次のような書き方もある。 または x = [a0; a1, a2, a3] また、極限の概念により、分数を無限に連ねたものも考えられる。 二次無理数(整数係数二次方程式の根である無理数)の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。 (ja)
  • Een enkelvoudige of reguliere kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking van de vorm met a0 een willekeurig geheel getal en alle overige a's positieve gehele getallen. In het algemeen wordt ook een uitdrukking: waarin naast de bovengenoemde a's nog positieve gehele getallen b voorkomen, een kettingbreuk genoemd. Reguliere kettingbreuken, inclusief de eindige niet eindigend met een noemer 1 (d.w.z. kettingbreuken in kanonieke vorm), vormen een eenduidige voorstelling van de reële getallen. (nl)
  • Ułamek łańcuchowy (skończony) jest to wyrażenie postaci: gdzie a0 jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby an są naturalne i większe od 0. Zamiast notacji "piętrowej" najczęściej korzysta się z notacji "poziomej", zapisując odpowiedni ułamek jako: . Często wykorzystywana jest również notacja wprowadzona przez Pringsheima: . Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje): . Jeżeli x jest wartością ułamka (skończonego lub nie), to nazywamy n-tym reduktem liczby x. Okazuje się, że każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego, przy czym liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone. Algorytm przedstawiania liczby x w postaci ułamka łańcuchowego można schematycznie zapisać następująco: , gdzie oznacza część całkowitą liczby x. Innymi słowy: , a dalej postępuj podobnie z . W nieco bardziej sformalizowanej postaci: 1. * 2. * 3. * JEŚLI – STOP 4. * 5. * PRZEJDŹ DO 2 Dla x = 2,35, otrzymujemy na przykład: * * * * * * * * Zatem: Dla zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami: zachodzi . Ponadto jest to postać nieskracalna tego ułamka. Dla ułamków skończonych reprezentujących liczby wymierne zachodzi czyli rozwinięcie nie jest jednoznaczne. Staje się jednoznaczne przy założeniu że ta ostatnia liczba jest większa od 1, tzn.każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci gdzie a0 jest liczbą całkowitą, są liczbami naturalnymi, . Rozwinięcie liczby niewymiernej w ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne. Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach. Dokładniej, jeżeli liczba wymierna jest lepszym przybliżeniem liczby niż redukt liczby przedstawiony w postaci ułamka nieskracalnego, to mianownik tej liczby jest większy od mianownika tego reduktu. Ponadto redukty parzyste szacują liczbę od dołu, a nieparzyste od góry. (pl)
  • Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma , bem como . A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas. Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma , em que o primeiro termo, , é um número inteiro e os demais números são números inteiros positivos. (pt)
  • Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида где есть целое число, а все остальные — натуральные числа (положительные целые). При этом числа называются неполными частными или элементами цепной дроби. Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной).Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности. (ru)
  • 在数学中,连分数或繁分数即如下表达式: 这里的 是某个整数,而所有其他的数 都是正整数,可依樣定义出更长的表达式。如果部分分子(partial numerator)和部分分母(partial denominator)允许假定任意的值,在某些上下文中可以包含函数,则最終的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式與广义连分数相區別的时候,可稱它為简单或正规连分数,或称为是规范形式的。 (zh)
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 46802 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 743903481 (xsd:integer)
dbp:caption
  • A finite continued fraction, where is a non-negative integer, is an integer, and is a positive integer, for .
dbp:id
  • p/c025540
dbp:title
  • Continued Fraction
  • Continued fraction
dbp:urlname
  • ContinuedFraction
dbp:width
  • 220 (xsd:integer)
dct:subject
rdf:type
rdfs:comment
  • 25بك المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016) في الرياضيات، الكسر المستمر هو كسر يأخذ الصيغة التالية : حيث a0 عدد صحيح والاعداد (ai (i ≠ 0 هي أعداد موجبة. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل. إذا سُمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما. (ar)
  • En matemáticas, una fracción continua, nombrada también fracción continuada, es una expresión de la forma: donde a0 es un entero y todos los demás números ai son enteros positivos, para i= 0, 1, 2,...n,.... Los números a0, a1, a2,..., as se llaman elementos o cocientes incompletos. Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, que podrían ser funciones en algún contexto, la expresión resultante es una fracción continua generalizada. Cuando fuera necesario distinguir la forma típica de arriba de una generalizada aquella se denominará fracción continua regular o simple. (es)
  • In matematica, una frazione continua è un'espressione quale dove a0 è un intero e tutti gli altri numeri an sono interi positivi detti quozienti parziali. Espressioni più lunghe sono definite in modo analogo. Se i numeratori possono differire dall'unità, l'espressione risultante viene chiamata frazione continua generalizzata. Per evitare confusioni una frazione continua non generalizzata viene anche chiamata frazione continua semplice. (it)
  • 連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数または正則連分数(英: regular continued fraction)ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。 ここで a0 は整数、それ以外の an は正の整数である。正則連分数は、最大公約数を求めるユークリッドの互除法から自然に生じるものであり、古来からペル方程式の解法にも利用された。 連分数を式で表す際には次のような書き方もある。 または x = [a0; a1, a2, a3] また、極限の概念により、分数を無限に連ねたものも考えられる。 二次無理数(整数係数二次方程式の根である無理数)の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。 (ja)
  • Een enkelvoudige of reguliere kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking van de vorm met a0 een willekeurig geheel getal en alle overige a's positieve gehele getallen. In het algemeen wordt ook een uitdrukking: waarin naast de bovengenoemde a's nog positieve gehele getallen b voorkomen, een kettingbreuk genoemd. Reguliere kettingbreuken, inclusief de eindige niet eindigend met een noemer 1 (d.w.z. kettingbreuken in kanonieke vorm), vormen een eenduidige voorstelling van de reële getallen. (nl)
  • Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma , bem como . A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas. Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma , em que o primeiro termo, , é um número inteiro e os demais números são números inteiros positivos. (pt)
  • 在数学中,连分数或繁分数即如下表达式: 这里的 是某个整数,而所有其他的数 都是正整数,可依樣定义出更长的表达式。如果部分分子(partial numerator)和部分分母(partial denominator)允许假定任意的值,在某些上下文中可以包含函数,则最終的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式與广义连分数相區別的时候,可稱它為简单或正规连分数,或称为是规范形式的。 (zh)
  • In mathematics, a continued fraction is an expression obtained through an iterative process of representing a number as the sum of its integer part and the reciprocal of another number, then writing this other number as the sum of its integer part and another reciprocal, and so on. In a finite continued fraction (or terminated continued fraction), the iteration/recursion is terminated after finitely many steps by using an integer in lieu of another continued fraction. In contrast, an infinite continued fraction is an infinite expression. In either case, all integers in the sequence, other than the first, must be positive. The integers (en)
  • In der Mathematik und insbesondere der Zahlentheorie ist ein Kettenbruch (fortgesetzter Bruch) ein Ausdruck der Form Ein Kettenbruch ist also ein gemischter Bruch der Form , bei dem der Nenner wieder die Form eines gemischten Bruchs besitzt, wobei sich dieser Aufbau weiter so fortsetzt. Jede reelle Zahl kann als ein Kettenbruch mit ganzen Zahlen Von besonderer Bedeutung sind reguläre Kettenbrüche. Bei dieser Form haben alle Zähler den Wert . Ein regulärer Kettenbruch ist also durch die Folge bestimmt, und man schreibt ihn platzsparend als . (de)
  • En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou plus rarement fraction continuée est une expression de la forme : comportant un nombre fini ou infini d'étages. On montre qu'on peut « représenter » — en un sens qui sera précisé — tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle a0 est un entier relatif et les autres aj sont des entiers strictement positifs. (fr)
  • Ułamek łańcuchowy (skończony) jest to wyrażenie postaci: gdzie a0 jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby an są naturalne i większe od 0. Zamiast notacji "piętrowej" najczęściej korzysta się z notacji "poziomej", zapisując odpowiedni ułamek jako: . Często wykorzystywana jest również notacja wprowadzona przez Pringsheima: . Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje): . Jeżeli x jest wartością ułamka (skończonego lub nie), to nazywamy n-tym reduktem liczby x. , gdzie oznacza część całkowitą liczby x. Innymi słowy: 1. * 2. * * . (pl)
  • Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида где есть целое число, а все остальные — натуральные числа (положительные целые). При этом числа называются неполными частными или элементами цепной дроби. Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной).Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. (ru)
rdfs:label
  • Continued fraction (en)
  • كسر مستمر (ar)
  • Kettenbruch (de)
  • Fracción continua (es)
  • Fraction continue (fr)
  • Frazione continua (it)
  • 連分数 (ja)
  • Kettingbreuk (nl)
  • Ułamek łańcuchowy (pl)
  • Fração contínua (pt)
  • Непрерывная дробь (ru)
  • 连分数 (zh)
rdfs:seeAlso
owl:differentFrom
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:field of
is dbo:knownFor of
is dbo:wikiPageRedirects of
is owl:differentFrom of
is foaf:primaryTopic of