In classical deductive logic, a consistent theory is one that does not contain a contradiction. The lack of contradiction can be defined in either semantic or syntactic terms. The semantic definition states that a theory is consistent if and only if it has a model, i.e., there exists an interpretation under which all formulas in the theory are true. This is the sense used in traditional Aristotelian logic, although in contemporary mathematical logic the term satisfiable is used instead. A theory is consistent if and only if there is no formula such that both and its negation . Let is.

Property Value
dbo:abstract
  • In classical deductive logic, a consistent theory is one that does not contain a contradiction. The lack of contradiction can be defined in either semantic or syntactic terms. The semantic definition states that a theory is consistent if and only if it has a model, i.e., there exists an interpretation under which all formulas in the theory are true. This is the sense used in traditional Aristotelian logic, although in contemporary mathematical logic the term satisfiable is used instead. A theory is consistent if and only if there is no formula such that both and its negation are elements of the set . Let be set of closed sentences (informally "axioms") and the set of closed sentences provable from under a meta-theoretical deductive system such as informal mathematics. The set of axioms is consistent when is. If these semantic and syntactic definitions are equivalent for any theory formulated using a particular deductive logic, the logic is called complete. The completeness of the sentential calculus was proved by Paul Bernays in 1918 and Emil Post in 1921, while the completeness of predicate calculus was proved by Kurt Gödel in 1930, and consistency proofs for arithmetics restricted with respect to the induction axiom schema were proved by Ackermann (1924), von Neumann (1927) and Herbrand (1931). Stronger logics, such as second-order logic, are not complete. A consistency proof is a mathematical proof that a particular theory is consistent The early development of mathematical proof theory was driven by the desire to provide finitary consistency proofs for all of mathematics as part of Hilbert's program. Hilbert's program was strongly impacted by incompleteness theorems, which showed that sufficiently strong proof theories cannot prove their own consistency (provided that they are in fact consistent). Although consistency can be proved by means of model theory, it is often done in a purely syntactical way, without any need to reference some model of the logic. The cut-elimination (or equivalently the normalization of the underlying calculus if there is one) implies the consistency of the calculus: since there is obviously no cut-free proof of falsity, there is no contradiction in general. (en)
  • الاتساق يقال في علم المنطق عن نظرية أنها متناسقة عندما تخلو من أي تناقضات، والاتساق (عدم التناقض) هو مقياس الصواب والخطأ في العلوم الصورية (المنطق والرياضيات)، أما العلوم الطبيعية فإن مقياس الصواب والخطأ فيها هو تطابق النتائج مع الواقع. الخلو من التناقضات يشير إلى كلا التناقضات المعنوية والقواعدية. هذا الخلو من التناقضات يمكن تعريفه بطريقتين: تعريف دلالي أو تعريف نحوي. التعريف الدلالي ينص على أن النظرية متناغمة ومتنسقة إذا وفقط إذا كان لها نموذج. (أنظر نظرية النموذج)، بمعنى أن هنالك تفسير بموجبه جميع الصيغ في النظرية صحيحة. هذا هو المنطق المستخدم في المنطق الأرسطي التقليدي، على الرغم من المنطق الرياضي المعاصر يتم استخدام مصطلح إرضاء بدلاً من ذلك. أما التعريف النحوي ينص على أن النظرية متناغمة ومتنسقة إذا وفقط إذا لم يكن هنالك صيغة P بحيث كلٍ من P و نَفيُها يمكن استنتاجهما و إثباتهما من بديهيات نظرية تحت نفس النظام الاستنتاجي المستخدم. (ar)
  • In der Logik gilt eine Menge von Aussagen als konsistent oder widerspruchsfrei, wenn aus ihr kein Widerspruch abgeleitet werden kann, also kein Ausdruck und zugleich dessen Negation. Da man mit inkonsistenten Aussagenmengen Beliebiges beweisen könnte, auch Unsinniges, ist die Widerspruchsfreiheit unerlässlich für brauchbare wissenschaftliche Theorien, logische Kalküle oder mathematische Axiomensysteme. Die relative Konsistenz bedeutet, dass in einem als konsistent angenommenen Axiomensystem die Erweiterung durch Zusatzaxiome konsistent ist. (de)
  • En lógica, la consistencia o consistencia lógica es una propiedad que pueden tener los conjuntos de fórmulas lógicas. Intuitivamente, un conjunto de fórmulas es consistente cuando no contiene una contradicción, es decir, que si p puede ser deducido de () entonces su negación ¬p no puede ser deducida del mismo conjunto. Equivalentemente, esto se puede expresar diciendo que para ninguna proposición lógica p: y simultáneamente. (es)
  • In logica matematica, una teoria formale si dice coerente (o non contraddittoria, talvolta anche consistente, per assonanza con l'inglese consistent) se in essa è impossibile dimostrare una contraddizione. A priori si distiguono due livelli di consistenza: * consistenza sintattica se nella teoria non si possono dimostrare contemporaneamente una formula ben formata e la sua negazione; * consistenza semantica se la teoria ammette almeno un modello. Si dimostra che per una teoria del primo ordine ciascuno dei due tipi di consistenza implica l'altro. Dimostrare una delle due implicazioni è semplice mentre dimostrare che una teoria sintatticamente consistente ammette sempre un modello è la parte non banale della dimostrazione e richiede l'utilizzo dell'assioma della scelta per famiglie numerabili di insiemi. Un esempio semplice di teoria del primo ordine non consistente è dato dalla teoria che ha un unico simbolo predicativo P e come unico assioma: (it)
  • 45xCe modèle est-il pertinent ? Cliquez pour en voir d'autres.Des informations de cet article ou section devraient être mieux reliées aux sources mentionnées dans la bibliographie, sources ou liens externes (avril 2015). Améliorez sa vérifiabilité en les associant par des références à l'aide d'appels de notes. En logique mathématique, la cohérence, ou consistance, d'une théorie axiomatique peut se définir de deux façons, soit par référence à la déduction : il n'est pas possible de tout démontrer à partir des axiomes de la théorie, soit par référence à la sémantique la théorie : celle-ci possède des réalisations qui lui donnent un sens. La première définition est syntaxique au sens où elle utilise des déductions ou démonstrations, qui sont des objets finis. Une théorie est dite dans ce sens cohérente ou consistante quand elle n'a pas pour conséquence tous les énoncés du langage dans lequel est exprimé la théorie, ou, de façon équivalente (car d'une contradiction on déduit n'importe quoi), quand elle ne permet pas de démontrer à la fois un énoncé et sa négation. Une telle théorie est dite également non-contradictoire. La seconde définition utilise la théorie des modèles : une théorie est cohérente quand elle possède un modèle, soit une structure mathématique dans laquelle s'interprète les termes du langage, et qui satisfait tous les axiomes de la théorie, dit autrement il existe une structure telle que tous les axiomes de la théorie sont vrais dans cette structure. Ces deux définitions sont équivalentes par le théorème de correction et le théorème de complétude. Le premier a pour conséquence que tous les énoncés démontrables d'une théorie sont satisfaits par une structure qui satisfait les axiomes, et donc une théorie cohérente au sens sémantique est cohérente au sens syntaxique, car une structure ne peut satisfaire à la fois un énoncé et sa négation. Le théorème de complétude indique qu'une théorie cohérente au sens syntaxique possède un modèle, c'est-à-dire qu'elle est cohérente au sens sémantique. Ces deux théorèmes se démontrent en logique classique, en calcul des prédicats du premier ordre. (fr)
  • Consistent betekent in de logica: innerlijk samenhangend en niet tegenstrijdig, inconsistent is daarvan het antoniem en betekent: tegenstrijdig en niet innerlijk samenhangend. Kurt Gödel heeft bewezen dat geen enkel systeem dat de wiskunde probeert te formaliseren zowel consistent als compleet kan zijn, dit heet de onvolledigheidsstelling. (nl)
  • Niesprzeczność – brak sprzeczności teorii logicznej. Można go zdefiniować semantycznie albo syntaktycznie. Definicja semantyczna postuluje, że teoria jest niesprzeczna, jeśli posiada model. Odpowiada to pojęciu niesprzeczności w tradycyjnej logice Arystotelesa, aczkolwiek w dzisiejszej logice matematycznej używa się w zamian określenia spełnialności. Definicja syntaktyczna mówi, że teoria jest niesprzeczna, jeśli nie ma takiej formuły P, że zarówno P jak i jej zaprzeczenie można wyprowadzić z aksjomatów danej teorii za pomocą powiązanego z nią systemu dedukcji. Jeśli dane definicje semantyczne i syntaktyczne są równoważne, to mówi się, że dana logika jest zupełna. Zupełność rachunku zdań została wykazana przez Paula Bernaysa w 1918 roku i Emila Posta w 1921 roku, podczas gdy zupełność rachunku kwantyfikatorów została udowodniona przez Kurta Gödla w 1930 r. Silne logiki, takie jak rachunek predykatów drugiego rzędu, nie są zupełne. Wczesny rozwój teorii dowodu był napędzany chęcią podania skończonych dowodów niesprzeczności dla całej matematyki w ramach programu Hilberta. Postulatami programu Hilberta wstrząsnęło twierdzenie Gödla o niedowodliwości niesprzeczności, które uzmysłowiło matematykom, że dostatecznie bogate teorie dowodzenia nie pozwalają na wykazanie niesprzeczności samych siebie (przy założeniu, że są one rzeczywiście niesprzeczne). Pomimo iż niesprzeczność można wykazać za pomocą teorii modeli, to często robi się to opierając się wyłącznie na syntaktyce, bez odnoszenia się do modeli. (pl)
  • Непротиворечивость — свойство формальной системы, заключающееся в невыводимости из неё противоречия. Если отрицание какого-то предложения из системы может быть доказано в теории, то о самом предложении говорится, что оно опровержимо в ней. Непротиворечивость системы означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто. Требование Непротиворечивости является обязательным требованием к научной и, в частности, логической теории. Противоречивая система заведомо несовершенна: наряду с истинными положениями она включает также ложные, в ней что-то одновременно и доказывается, и опровергается. Во многих системах имеет место закон Дунса Скота. В этих условиях доказуемость противоречия означает, что становится доказуемым. Формальные системы, обладающие этим свойством, называются непротиворечивыми, или формально непротиворечивыми. В противном случае формальная система называется противоречивой, или несовместной. Для широкого класса формальных систем, язык которых содержит знак отрицания, эквивалентна свойству: «не существует такой формулы , что и обе доказуемы». Класс формул данной формальной системы называется непротиворечивым, если не всякая формула этой системы выводима из данного класса. Формальная система называется содержательно непротиворечивой, если существует модель, в которой истинны все теоремы этой системы. Если формальная система содержательно непротиворечива, то она формально непротиворечива. Для формальных систем, основанных на классическом исчислении предикатов, справедливо и обратное утверждение: в силу теоремы Гёделя о полноте классического исчисления предикатов, всякая такая непротиворечивая система имеет модель. Таким образом, один из способов доказательства непротиворечивости формальной системы состоит в построении модели. Другой, так называемый метаматематический метод доказательства непротиворечивости, предложенный в начале XX в. Гильбертом, состоит в том, что утверждение о непротиворечивости некоторой формальной системы рассматривается как высказывание о доказательствах, возможных в этой системе. Теория, объектами которой являются произвольные математические доказательства, называется теорией доказательств, или метаматематикой. Примером применения метаматематического метода может служить предложенное Генценом доказательство непротиворечивости формальной системы арифметики [[К:Википедия:Статьи без источников (страна: )]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: )]][[К:Википедия:Статьи без источников (страна: )]]НепротиворечивостьНепротиворечивостьНепротиворечивость. Любое доказательство непротиворечивости использует средства той или иной математической теории, а потому лишь сводит вопрос о непротиворечивости одной теории к вопросу о непротиворечивости другой. При этом говорят также, что первая теория непротиворечива относительно второй теории. Большое значение имеет вторая теорема Гёделя, которая утверждает, что непротиворечивость формальной теории, содержащей арифметику, невозможно доказать с помощью средств самой рассматриваемой теории (при условии, что эта теория действительно непротиворечива). Наличие логической противоречивости подрывает основу рассуждения, доказательства. теории, поскольку логическая противоречивость является ахиллесовой пятой неправильного рассуждения и учения. Установление логической противоречивости теории или концепции разрушает теорию или концепцию без каких-либо дальнейших аргументов их несостоятельности (ru)
  • 邏輯上,一致性(consistency)、相容性、或自洽性,是指一個形式系統中不蘊涵矛盾。 所謂的矛盾有二種解讀方式: * 語義上:當一個命題S是由許多命題組成時,如果所有命題可同時為真,則S是一致的,否則S是不一致的。 * 語法上:公理系統不能推導出兩個相反的結果。亦即不存在命題P,使得P→Q和P→~Q同時成立。 (zh)
  • Na lógica clássica dedutiva, uma teoria é chamada de consistente se não contém contradição. A ausência de contradição pode ser definida tanto em termos sintáticos como em termos semânticos. A definição semântica diz que uma teoria é consistente, se e somente se, tem um modelo, i.e. existe uma interpretação sob as quais todas as fórmulas são verdadeiras. Essa é a compreensão usada na lógica aristotélica, embora na lógica matemática contemporânea o termo usado é satisfatível. A definição sintática diz que uma teoria é consistente, se e somente se, não existe nenhuma fórmula P, tal que tanto P como sua negação são demonstráveis a partir dos axiomas da teoria do sistema dedutivo, as quais estão associados. Se as definições semânticas e sintáticas são equivalentes para qualquer teoria formulada usando a lógica dedutiva, a lógica é chamada de completa. A completude da lógica proposicional foi provada por Paul Bernays em 1918 e Emil Post em 1921, enquanto a completude da lógica de predicados foi provada por Kurt Gödel em 1930 e a prova de consistência para aritmética restrita que serve para o axioma da indução matemática foi provada por Ackermann (1924), von Neumann (1927) e Herbrand (1931). Lógicas mais fortes, como a lógica de segunda ordem, não são completas. Uma prova de consistência é uma prova matemática que uma teoria particular é consistente. O desenvolvimento precoce da teoria da prova matemática foi dirigida pelo desejo de fornecer provas finitas consistentes para toda a matemáticas, como parte do programa de Hilbert. O programa de Hilbert foi fortemente impactado pelos teoremas da incompletude, que mostraram que teorias de provas suficientemente fortes não podem provar suas próprias consistências (dado que elas sejam de fato consistentes). Embora consistência possa ser provada por meio da teoria dos modelos, muitas vezes é feito simplesmente pelo método sintático, sem precisar de fazer nenhuma referência a algum modelo da lógica. O teorema da eliminação do corte (ou equivalentemente a normalização do cálculo subjacente, caso exista algum) implica a consistência do cálculo: desde de que não exista obviamente uma prova de corte livre da falsidade, no geral, não existe nenhuma contradição. (pt)
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 75802 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 722518948 (xsd:integer)
dct:subject
rdfs:comment
  • In der Logik gilt eine Menge von Aussagen als konsistent oder widerspruchsfrei, wenn aus ihr kein Widerspruch abgeleitet werden kann, also kein Ausdruck und zugleich dessen Negation. Da man mit inkonsistenten Aussagenmengen Beliebiges beweisen könnte, auch Unsinniges, ist die Widerspruchsfreiheit unerlässlich für brauchbare wissenschaftliche Theorien, logische Kalküle oder mathematische Axiomensysteme. Die relative Konsistenz bedeutet, dass in einem als konsistent angenommenen Axiomensystem die Erweiterung durch Zusatzaxiome konsistent ist. (de)
  • En lógica, la consistencia o consistencia lógica es una propiedad que pueden tener los conjuntos de fórmulas lógicas. Intuitivamente, un conjunto de fórmulas es consistente cuando no contiene una contradicción, es decir, que si p puede ser deducido de () entonces su negación ¬p no puede ser deducida del mismo conjunto. Equivalentemente, esto se puede expresar diciendo que para ninguna proposición lógica p: y simultáneamente. (es)
  • Consistent betekent in de logica: innerlijk samenhangend en niet tegenstrijdig, inconsistent is daarvan het antoniem en betekent: tegenstrijdig en niet innerlijk samenhangend. Kurt Gödel heeft bewezen dat geen enkel systeem dat de wiskunde probeert te formaliseren zowel consistent als compleet kan zijn, dit heet de onvolledigheidsstelling. (nl)
  • 邏輯上,一致性(consistency)、相容性、或自洽性,是指一個形式系統中不蘊涵矛盾。 所謂的矛盾有二種解讀方式: * 語義上:當一個命題S是由許多命題組成時,如果所有命題可同時為真,則S是一致的,否則S是不一致的。 * 語法上:公理系統不能推導出兩個相反的結果。亦即不存在命題P,使得P→Q和P→~Q同時成立。 (zh)
  • In classical deductive logic, a consistent theory is one that does not contain a contradiction. The lack of contradiction can be defined in either semantic or syntactic terms. The semantic definition states that a theory is consistent if and only if it has a model, i.e., there exists an interpretation under which all formulas in the theory are true. This is the sense used in traditional Aristotelian logic, although in contemporary mathematical logic the term satisfiable is used instead. A theory is consistent if and only if there is no formula such that both and its negation . Let is. (en)
  • الاتساق يقال في علم المنطق عن نظرية أنها متناسقة عندما تخلو من أي تناقضات، والاتساق (عدم التناقض) هو مقياس الصواب والخطأ في العلوم الصورية (المنطق والرياضيات)، أما العلوم الطبيعية فإن مقياس الصواب والخطأ فيها هو تطابق النتائج مع الواقع. (ar)
  • In logica matematica, una teoria formale si dice coerente (o non contraddittoria, talvolta anche consistente, per assonanza con l'inglese consistent) se in essa è impossibile dimostrare una contraddizione. A priori si distiguono due livelli di consistenza: * consistenza sintattica se nella teoria non si possono dimostrare contemporaneamente una formula ben formata e la sua negazione; * consistenza semantica se la teoria ammette almeno un modello. Un esempio semplice di teoria del primo ordine non consistente è dato dalla teoria che ha un unico simbolo predicativo P e come unico assioma: (it)
  • Niesprzeczność – brak sprzeczności teorii logicznej. Można go zdefiniować semantycznie albo syntaktycznie. Definicja semantyczna postuluje, że teoria jest niesprzeczna, jeśli posiada model. Odpowiada to pojęciu niesprzeczności w tradycyjnej logice Arystotelesa, aczkolwiek w dzisiejszej logice matematycznej używa się w zamian określenia spełnialności. Definicja syntaktyczna mówi, że teoria jest niesprzeczna, jeśli nie ma takiej formuły P, że zarówno P jak i jej zaprzeczenie można wyprowadzić z aksjomatów danej teorii za pomocą powiązanego z nią systemu dedukcji. (pl)
  • 45xCe modèle est-il pertinent ? Cliquez pour en voir d'autres.Des informations de cet article ou section devraient être mieux reliées aux sources mentionnées dans la bibliographie, sources ou liens externes (avril 2015). Améliorez sa vérifiabilité en les associant par des références à l'aide d'appels de notes. (fr)
  • Непротиворечивость — свойство формальной системы, заключающееся в невыводимости из неё противоречия. Если отрицание какого-то предложения из системы может быть доказано в теории, то о самом предложении говорится, что оно опровержимо в ней. Непротиворечивость системы означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто. Требование Непротиворечивости является обязательным требованием к научной и, в частности, логической теории. Противоречивая система заведомо несовершенна: наряду с истинными положениями она включает также ложные, в ней что-то одновременно и доказывается, и опровергается. Во многих системах имеет место закон Дунса Скота. В этих условиях доказуемость противоречия означает, что становится доказуемым. (ru)
  • Na lógica clássica dedutiva, uma teoria é chamada de consistente se não contém contradição. A ausência de contradição pode ser definida tanto em termos sintáticos como em termos semânticos. A definição semântica diz que uma teoria é consistente, se e somente se, tem um modelo, i.e. existe uma interpretação sob as quais todas as fórmulas são verdadeiras. Essa é a compreensão usada na lógica aristotélica, embora na lógica matemática contemporânea o termo usado é satisfatível. A definição sintática diz que uma teoria é consistente, se e somente se, não existe nenhuma fórmula P, tal que tanto P como sua negação são demonstráveis a partir dos axiomas da teoria do sistema dedutivo, as quais estão associados. (pt)
rdfs:label
  • Consistency (en)
  • اتساق (ar)
  • Widerspruchsfreiheit (de)
  • Consistencia (lógica) (es)
  • Coerenza (logica matematica) (it)
  • Cohérence (logique) (fr)
  • Consistentie (logica) (nl)
  • Niesprzeczność (pl)
  • Непротиворечивость (ru)
  • Consistência (pt)
  • 一致性 (邏輯) (zh)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is http://purl.org/linguistics/gold/hypernym of
is rdfs:seeAlso of
is foaf:primaryTopic of