In mathematics, a concrete category is a category that is equipped with a faithful functor to the category of sets. This functor makes it possible to think of the objects of the category as sets with additional structure, and of its morphisms as structure-preserving functions. Many important categories have obvious interpretations as concrete categories, for example the category of topological spaces and the category of groups, and trivially also the category of sets itself. On the other hand, the homotopy category of topological spaces is not concretizable, i.e. it does not admit a faithful functor to the category of sets.

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  • In mathematics, a concrete category is a category that is equipped with a faithful functor to the category of sets. This functor makes it possible to think of the objects of the category as sets with additional structure, and of its morphisms as structure-preserving functions. Many important categories have obvious interpretations as concrete categories, for example the category of topological spaces and the category of groups, and trivially also the category of sets itself. On the other hand, the homotopy category of topological spaces is not concretizable, i.e. it does not admit a faithful functor to the category of sets. A concrete category, when defined without reference to the notion of a category, consists of a class of objects, each equipped with an underlying set; and for any two objects A and B a set of functions, called morphisms, from the underlying set of A to the underlying set of B. Furthermore, for every object A, the identity function on the underlying set of A must be a morphism from A to A, and the composition of a morphism from A to B followed by a morphism from B to C must be a morphism from A to C. (en)
  • Eine konkrete Kategorie ist in der Mathematik eine Kategorie zusammen mit einem treuen Funktor von ihr in die Kategorie der Mengen („Vergissfunktor“). Eine Kategorie, zu der solch ein Vergissfunktor existiert, heißt konkretisierbare Kategorie.Vermöge dieses Vergissfunktors kann man sich die Objekte der an sich abstrakten Kategorie auch als Mengen mit einer zusätzlichen mathematischen Struktur vorstellen, wobei die Morphismen genau die mit dieser Struktur verträglichen Abbildungen zwischen den entsprechenden Mengen sind. (de)
  • En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une catégorie concrète sur une catégorie est un couple où est une catégorie et est un foncteur fidèle. Le foncteur est appelé le foncteur d'oubli et est appelée la catégorie base pour . Si n'est pas précisée, il est sous-entendu qu'il s'agit de la catégorie des ensembles . Dans ce cas, les objets de la catégorie sont des ensembles munis de certaines structures, et les morphismes de cette catégorie sont les morphismes entre ensembles munis de ces structures. C'est cette structure que fait disparaître le foncteur d'oubli. À l'inverse, de nombreuses catégories utilisées en mathématiques sont construites à partir de la catégorie des ensembles en définissant des structures sur les ensembles et en munissant les ensembles de ces structures. Ces constructions constituent, avec les identifications appropriées, des catégories concrètes. (fr)
  • In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt een concrete categorie vaak opgevat als een categorie, waarvan de objecten gestructureerde verzamelingen zijn, wier morfismen structuurbehoudende functies zijn, en wier samenstellende operatie de samenstelling van functies is. De formele definitie komt niet helemaal overeen met deze intuïtie. De categorie van verzamelingen en functies, Set is een triviale concrete categorie, aangezien elke verzameling als de drager van een triviale structuur kan worden gezien. Andere belangrijke voorbeelden zijn Top, de categorie van topologische ruimten en continue functies en Grp, de categorie van groepen en groepshomomorfismen. (nl)
  • 在數學裡,具體範疇一般被認為是這樣的一種範疇,其物件為結構性的集合,態射為結構保持的函數,而態射複合則為函數複合。其形式定義並不和此直觀完全吻合。 集合與函數的範疇Set 當然為一具體範疇,因為每個集合都可以被認為戴有一個「當然結構」。更重要的例子還包括了拓樸空間和連續函數的範疇Top與群和同態的範疇Grp。 (zh)
  • Конкретная категория в математике — категория, снабжённая строгим функтором в категорию множеств. Благодаря этому функтору можно оперировать с объектами такой категории образом, сходным с работой с множествами с дополнительной структурой, а морфизмы представлять как функции, сохраняющих дополнительную структуру. Многие категории имеют очевидную интерпретацию конкретных категорий, например категория групп, категория топологических пространств и собственно категория множеств. С другой стороны, существуют неконкретизируемые категории, например, категория гомотопий топологических пространств неконкретизируема, то есть не допускает строгого функтора в категорию множеств. (ru)
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  • Eine konkrete Kategorie ist in der Mathematik eine Kategorie zusammen mit einem treuen Funktor von ihr in die Kategorie der Mengen („Vergissfunktor“). Eine Kategorie, zu der solch ein Vergissfunktor existiert, heißt konkretisierbare Kategorie.Vermöge dieses Vergissfunktors kann man sich die Objekte der an sich abstrakten Kategorie auch als Mengen mit einer zusätzlichen mathematischen Struktur vorstellen, wobei die Morphismen genau die mit dieser Struktur verträglichen Abbildungen zwischen den entsprechenden Mengen sind. (de)
  • 在數學裡,具體範疇一般被認為是這樣的一種範疇,其物件為結構性的集合,態射為結構保持的函數,而態射複合則為函數複合。其形式定義並不和此直觀完全吻合。 集合與函數的範疇Set 當然為一具體範疇,因為每個集合都可以被認為戴有一個「當然結構」。更重要的例子還包括了拓樸空間和連續函數的範疇Top與群和同態的範疇Grp。 (zh)
  • Конкретная категория в математике — категория, снабжённая строгим функтором в категорию множеств. Благодаря этому функтору можно оперировать с объектами такой категории образом, сходным с работой с множествами с дополнительной структурой, а морфизмы представлять как функции, сохраняющих дополнительную структуру. Многие категории имеют очевидную интерпретацию конкретных категорий, например категория групп, категория топологических пространств и собственно категория множеств. С другой стороны, существуют неконкретизируемые категории, например, категория гомотопий топологических пространств неконкретизируема, то есть не допускает строгого функтора в категорию множеств. (ru)
  • In mathematics, a concrete category is a category that is equipped with a faithful functor to the category of sets. This functor makes it possible to think of the objects of the category as sets with additional structure, and of its morphisms as structure-preserving functions. Many important categories have obvious interpretations as concrete categories, for example the category of topological spaces and the category of groups, and trivially also the category of sets itself. On the other hand, the homotopy category of topological spaces is not concretizable, i.e. it does not admit a faithful functor to the category of sets. (en)
  • In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt een concrete categorie vaak opgevat als een categorie, waarvan de objecten gestructureerde verzamelingen zijn, wier morfismen structuurbehoudende functies zijn, en wier samenstellende operatie de samenstelling van functies is. De formele definitie komt niet helemaal overeen met deze intuïtie. (nl)
  • En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une catégorie concrète sur une catégorie est un couple où est une catégorie et est un foncteur fidèle. Le foncteur est appelé le foncteur d'oubli et est appelée la catégorie base pour . Si n'est pas précisée, il est sous-entendu qu'il s'agit de la catégorie des ensembles . Dans ce cas, les objets de la catégorie (fr)
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  • Concrete category (en)
  • Konkrete Kategorie (de)
  • Catégorie concrète (fr)
  • Concrete categorie (nl)
  • Конкретная категория (ru)
  • 具體範疇 (zh)
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